Окружность и ее элементы. ГИА В7

И снова решаем! Набиваем руку, чтобы любые задачи были бы не страшными чужаками, а близкими друзьями и хорошими знакомыми!

Для решения задач, связанных с окружностью, нужно вспомнить несколько теорем:

1. Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу. 2. Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. 3. Во вписанном четырехугольнике суммы противоположных углов равны. 4. Центральный угол правильного многоугольника . 5. Радиус окружности, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

1. Четырехугольник ABCD вписан  в окружность. Угол ABD равен , угол CAD равен  . Найдите угол ABC, ответ дайте в градусах.

Искомый угол ABC делится хордой BD на два угла: ABD и DBC. При этом один из них нам дан: это угол ABD. Осталось найти второй. Вспомним, что вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Тогда  угол , а угол АВС, соответственно, .

Ответ: 110.

2. Угол между хордой  АВ и касательной ВС к окружности равен . Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой АВ. Ответ дайте в градусах.

В этой задаче важно правильно выполнить рисунок: у касательной и хорды есть общая точка. Дополним рисунок некоторыми построениями: построим радиусы OB и OA. Радиус ОВ, построенный к точке касания, перпендикулярен касательной BC.

Тогда угол ОВС  -прямой, а угол ОВА равен . В то же время треугольник АОВ – равнобедренный, так как образован двумя радиусами окружности. Поэтому оба острых угла этого треугольника равны, а тупой угол (он же – центральный угол) равен: . Тогда искомая дуга также .

Можно и тот факт применить, что угол между хордой и касательной равен половине дуги, заключенной в нем. Получим тот же результат.

Ответ: .

3. AC и BD – диаметры окружности с центром О. Центральный угол AOD равен  . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Угол ВОС равен  , как вертикальный с углом AOD. Треугольник ВОС равнобедренный, его стороны – радиусы окружности, а значит, углы ОВС и ОСВ (или АСВ) равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Остается их вычислить:  .

Ответ: 31.

4. Угол ACO равен . Его сторона СА касается окружности. Найдите градусную величину большей дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Чтобы найти дугу AD, нужно определить центральный угол AOD. Для этого проведем радиус ОА:

Так как СА – касательная, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касатальной и угол САО – прямой. В прямоугольном треугольнике САО найдем угол СОА: из суммы острых углов прямоугольного треугольника, которая равна  , вычтем данный угол АСО:  . Теперь определим угол AOD, который является смежным с углом АСО:  .

Ответ: 100.

5. Стороны AB, BC, CD, и AD четырехугольника ABCD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно , , , . Найдите угол В этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Угол B является вписанным, поэтому достаточно найти центральный угол, соответствующий ему, и разделить пополам, и дело в шляпе!

Градусная мера дуги АС (большей дуги) соответствует искомому центральному углу: . Тогда вписанный угол В: .

Ответ: 108.

6. Цен­траль­ный угол AOB опи­ра­ет­ся на хорду AB дли­ной 6. При этом угол OAB равен . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти.

Треугольник АОВ – равнобедренный, так как его стороны – радиусы окружности.

Но он также и равносторонний, так как все его углы оказываются равны . Тогда все стороны треугольника равны, и радиус окружности равен 6.

Ответ: 6.

7. Найдите градусную меру угла MON, если известно, что NP – диаметр, а градусная мера угла MNP .

Угол MON – вписанный, а опирается он на ту же дугу, что и центральный угол MOP. Тогда угол MOP в два раза больше:  . Искомый же угол является смежным с углом MOP: .

Ответ: 144.

8. Ра­ди­ус OB окруж­но­сти с цен­тром в точке O пе­ре­се­ка­ет хорду AC в точке D и пер­пен­ди­ку­ля­рен ей. Най­ди­те длину хорды AC, если BD = 1 см, а ра­ди­ус окруж­но­сти равен 5 см.

Радиус ОВ равен 5 см, а отрезок BD – 1. Тогда отрезок OD – 4 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOD. Его катет равен 4 см, а гипотенуза – 5. Это египетский треугольник, второй его катет равен 3. Треугольник АОС равнобедренный, поэтому его высота также является и медианой. Тогда искомая хорда: .

Ответ: 6.

9. Точки A и B делят окруж­ность на две дуги, длины ко­то­рых от­но­сят­ся как 9:11. Най­ди­те ве­ли­чи­ну цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на мень­шую из дуг. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Если одна из дуг – это 11 частей, а вторая – 9, то полная окружность () – это 20 частей. Тогда одна часть: . Найдем градусную меру меньшей дуги: .

Ответ: 162.

10. В окруж­ность впи­сан рав­но­сто­рон­ний вось­ми­уголь­ник. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ABC.

Угол АВС – вписанный, и найти соответствующий ему центральный угол не составит для нас труда. Это угол AOC:

. Вписанный угол равен половине центрального: .

Ответ: 22,5.