И снова решаем! Набиваем руку, чтобы любые задачи были бы не страшными чужаками, а близкими друзьями и хорошими знакомыми!
Для решения задач, связанных с окружностью, нужно вспомнить несколько теорем:
1. Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу. 2. Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. 3. Во вписанном четырехугольнике суммы противоположных углов равны. 4. Центральный угол правильного многоугольника . 5. Радиус окружности, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.
1. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен , угол CAD равен
. Найдите угол ABC, ответ дайте в градусах.
Искомый угол ABC делится хордой BD на два угла: ABD и DBC. При этом один из них нам дан: это угол ABD. Осталось найти второй. Вспомним, что вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Тогда угол , а угол АВС, соответственно,
.
Ответ: 110.
2. Угол между хордой АВ и касательной ВС к окружности равен . Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой АВ. Ответ дайте в градусах.
В этой задаче важно правильно выполнить рисунок: у касательной и хорды есть общая точка. Дополним рисунок некоторыми построениями: построим радиусы OB и OA. Радиус ОВ, построенный к точке касания, перпендикулярен касательной BC.
Тогда угол ОВС -прямой, а угол ОВА равен . В то же время треугольник АОВ – равнобедренный, так как образован двумя радиусами окружности. Поэтому оба острых угла этого треугольника равны, а тупой угол (он же – центральный угол) равен:
. Тогда искомая дуга также
.
Можно и тот факт применить, что угол между хордой и касательной равен половине дуги, заключенной в нем. Получим тот же результат.
Ответ: .
3. AC и BD – диаметры окружности с центром О. Центральный угол AOD равен . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Угол ВОС равен , как вертикальный с углом AOD. Треугольник ВОС равнобедренный, его стороны – радиусы окружности, а значит, углы ОВС и ОСВ (или АСВ) равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Остается их вычислить:
.
Ответ: 31.
4. Угол ACO равен . Его сторона СА касается окружности. Найдите градусную величину большей дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Чтобы найти дугу AD, нужно определить центральный угол AOD. Для этого проведем радиус ОА:
Так как СА – касательная, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касатальной и угол САО – прямой. В прямоугольном треугольнике САО найдем угол СОА: из суммы острых углов прямоугольного треугольника, которая равна
, вычтем данный угол АСО:
. Теперь определим угол AOD, который является смежным с углом АСО:
.
Ответ: 100.
5. Стороны AB, BC, CD, и AD четырехугольника ABCD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно ,
,
,
. Найдите угол В этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Угол B является вписанным, поэтому достаточно найти центральный угол, соответствующий ему, и разделить пополам, и дело в шляпе!
Градусная мера дуги АС (большей дуги) соответствует искомому центральному углу: . Тогда вписанный угол В:
.
Ответ: 108.
6. Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен . Найдите радиус окружности.
Треугольник АОВ – равнобедренный, так как его стороны – радиусы окружности.
Но он также и равносторонний, так как все его углы оказываются равны . Тогда все стороны треугольника равны, и радиус окружности равен 6.
Ответ: 6.
7. Найдите градусную меру угла MON, если известно, что NP – диаметр, а градусная мера угла MNP .
Угол MON – вписанный, а опирается он на ту же дугу, что и центральный угол MOP. Тогда угол MOP в два раза больше: . Искомый же угол является смежным с углом MOP:
.
Ответ: 144.
8. Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см.
Радиус ОВ равен 5 см, а отрезок BD – 1. Тогда отрезок OD – 4 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOD. Его катет равен 4 см, а гипотенуза – 5. Это египетский треугольник, второй его катет равен 3. Треугольник АОС равнобедренный, поэтому его высота также является и медианой. Тогда искомая хорда: .
Ответ: 6.
9. Точки A и B делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 9:11. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.
Если одна из дуг – это 11 частей, а вторая – 9, то полная окружность () – это 20 частей. Тогда одна часть:
. Найдем градусную меру меньшей дуги:
.
Ответ: 162.
10. В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла ABC.
Угол АВС – вписанный, и найти соответствующий ему центральный угол не составит для нас труда. Это угол AOC:
. Вписанный угол равен половине центрального:
.
Ответ: 22,5.
Комментариев - 6
Спасибо,хорошие тренировочные задачи.
Полно ошибок и опечаток!
Укажите, пожалуйста, в какой задаче Вы заметили опечатку.
Задача №3 из темы Термодинамика Изопроцессы Газовые законы: графические задачи :
Почему Вы решили что на диаграмме V-T процесс 1-2 линейный? Это тоже парабола
Нет, не парабола, а именно прямая. Параболой он будет в осях p-T.
У вас отличный сайт!) Очень качественно проработан как сам сайт, так и материал!
*God bless your efforts!