Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ОГЭ (ГИА) по математике, ОГЭ 22 (ГИА С2), Прогрессии

ОГЭ 2015. Задания 22. Задачи на прогрессии



Задача 1.

Среднее арифметическое первых десяти членов арифметической прогрессии равно 20. Найдите первый член и разность этой арифметической прогрессии, если  известно, что они являются натуральными числами.

Для начала сразу вспомним, какие числа мы называем натуральными. Это такие числа, которые нами используются, когда мы считаем что-то, например, овец при попытке уснуть. В натуральный ряд не входят, таким образом, ноль и отрицательные числа.

Теперь вспомним, что такое среднее арифметическое. Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все слагаемые, и эту сумму поделить на их количество, например: среднее арифметическое чисел 6, 10 и 20: {6+10+20}/3=12

Среднее арифметическое чисел 2, 5, 6 и 13: {2+5+6+13}/4=6,5.

Тогда условие задачи можно записать так: {a_1+a_2+...+a_10}/10=20

или

{a_1+a_2+...+a_10}=200

Вспомним теперь, что мы имеем дело с арифметической прогрессией, каждый последующий член которой отличается от предыдущего на одинаковую величину, называемую разностью прогрессии d.

Тогда:

a_2=a_1+d

a_3=a_2+d=a_1+2d

a_4=a_3+d=a_1+3d

Получим: {a_1+a_1+d+a_1+2d+...}=200

Получается, что количество разностей d в нашей сумме также изменяется по закону арифметической прогрессии Тогда найдем количество d воспользовавшись формулами для арифметической прогрессии: Первый член – d, разность прогрессии – тоже d, количество членов – 9, так как в состав первого члена исходной прогрессии d не входит. Тогда сумма прогрессии:

S_n={{2a_1+d(n-1)}n}/2={{2d+d(9-1)}9}/2=45d.

Имеем:  {10a_1+45d}=200

или {2a_1+9d}=40

Получили уравнение в целых числах. Чтобы решить его, выразим любую величину, например, a_1:

a_1={40-9d}/2

Выделим целую часть:

a_1=20-{9d}/2

Тогда становится видно, что d не может быть нечетно, и, кроме того, чтобы выполнялось требование a_1>0″ title=”a_1>0″/><img src=, должно выполняться 20-{9d}/2>0″ title=”20-{9d}/2>0″/><img src=, или d<4{4/9}.

То есть в формулу a_1=20-{9d}/2 осталось подставить d=2 и d=4. Тогда a_1=11 или a_1=2.

Ответ: d=2, a_1=11 или d=4, a_1=2.

Решение поменялось бы, если в условии требовалось, чтобы разность и первый член были бы числами целыми. Тогда подошел бы ноль и отрицательные числа. Решим задачу при этом условии:  d по-прежнему должно быть четным. Тогда:

d=0, a_1=20

d=2, a_1=11

d=4, a_1=2

d=6, a_1=-7

d=8, a_1=-16

d=10, a_1=-25 и далее,

d=-2, a_1=29

d=-4, a_1=38

d=-6, a_1=47

d=-8, a_1=56 и так далее.



Задача 2.

Среднее арифметическое первых восьми членов арифметической прогрессии равно 23. Найдите первый член и разность этой арифметической прогрессии, если  известно, что они являются натуральными числами.

Условие задачи можно записать так: {a_1+a_2+...+a_8}/8=23

или

{a_1+a_2+...+a_8}=184

Определим количество разностей, вошедших в эту сумму, найдем сумму прогрессии, которую образуют разности аналогично предыдущей задаче:

Тогда сумма прогрессии:

S_n={{2a_1+d(n-1)}n}/2={{2d+d(7-1)}7}/2=28d.

Имеем:  {8a_1+28d}=184

или {2a_1+7d}=46

Получили уравнение в целых числах. Чтобы решить его, выразим любую величину, например, a_1:

a_1={46-7d}/2

Выделим целую часть:

a_1=23-{7d}/2

Очевидно, что d четно, и, кроме того, чтобы выполнялось требование a_1>0″ title=”a_1>0″/><img src=, должно выполняться 23-{7d}/2>0″ title=”23-{7d}/2>0″/><img src=, или d<6{4/7}.

То есть в формулу a_1=23-{7d}/2 осталось подставить d=2, d=4 и d=6 . Тогда a_1=16, a_1=9, или a_1=2.

Ответ: d=2, a_1=16 или d=4, a_1=9 или d=6, a_1=2 .

Задача 3.

Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если сумма первых трех ее членов равна 0, а сумма первых четырех равна 1.

Запишем условие задачи в виде системы уравнений:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{a_1+a_2+a_3=0} {a_1+a_2+a_3+a_4=1} }}{ }

Понятно тогда, что a_4=1.

Первое уравнение можно переписать так:

3a_1+3d=0, откуда  a_1=-d

Вернемся к факту, что a_4=1. Это можно записать так:a_1+3d=1, а с учетом a_1=-d получим a_1-3a_1=1 или -2a_1=1, откуда a_1=-{1/2}d={1/2}.

Осталось определить сумму прогрессии:

S_{10}={{2a_1+d(n-1)}n}/2={{2{-{1/2}}+{1/2}(10-1)}10}/2=17,5.

Ответ: S_{10}=17,5.

Теперь рассмотрим задачи на геометрическую прогрессию.

Задача 4.

В геометрической прогрессии, первый член которой – число положительное, {b_1}{b_2}=27, а {b_3}{b_4}={1/3}. Найдите эти четыре члена геометрической прогрессии.

Запишем условие задачи в виде системы уравнений:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{b_1}{b_2}=27} {{b_3}{b_4}={1/3}} }}{ }

Перепишем немного иначе, записав все члены этой прогрессии, кроме первого, через первый член и знаменатель прогрессии:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{b_1}{b_1}q=27} {{b_1}q^2{b_1}q^3={1/3}} }}{ }

Или:delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{(b_1)^2q=27} {(b_1)^2q^5={1/3}} }}{ }

Теперь разделим второе уравнение системы на первое:

q^4={1/81}

q^4={1/{3^4}}

q={1/3}

Тогда:

q(b_1)^2=27

(b_1)^2=81

b_1=9b_2=3b_3=1b_4={1/3}.

Ответ: b_1=9b_2=3b_3=1b_4={1/3}.

Задача 5. 

В геометрической прогрессии, первый член которой – число отрицательное, {b_1}{b_2}=-{1/2}, а {b_3}{b_4}=-8. Найдите эти четыре члена геометрической прогрессии.

Эта задача решается аналогично, однако она поинтереснее, так как первый член – число отрицательное. Значит, нам предстоит догадаться, какой знак имеет знаменатель прогрессии. Составляем систему:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{b_1}{b_2}=-{1/2}} {{b_3}{b_4}=-8} }}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{b_1}{b_1}q=-{1/2}} {{b_1}q^2{b_1}q^3=-8} }}{ }

Или:delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{(b_1)^2q=-{1/2}} {(b_1)^2q^5=-8} }}{ }

Из первого уравнения делаем вывод, что знаменатель прогрессии – число отрицательное. Теперь снова применим прием деления одного уравнения на другое:

q^4=16

q=-2

Тогда:

q(b_1)^2=-{1/2}

(b_1)^2={1/4}

b_1=-{1/2}

b_1=-{1/2}b_2=1b_3=-2b_4=4.

Ответ: b_1=-{1/2}b_2=1b_3=-2b_4=4.



Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *