Задача 1.
Среднее арифметическое первых десяти членов арифметической прогрессии равно 20. Найдите первый член и разность этой арифметической прогрессии, если известно, что они являются натуральными числами.
Для начала сразу вспомним, какие числа мы называем натуральными. Это такие числа, которые нами используются, когда мы считаем что-то, например, овец при попытке уснуть. В натуральный ряд не входят, таким образом, ноль и отрицательные числа.
Теперь вспомним, что такое среднее арифметическое. Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все слагаемые, и эту сумму поделить на их количество, например: среднее арифметическое чисел 6, 10 и 20:
Среднее арифметическое чисел 2, 5, 6 и 13: .
Тогда условие задачи можно записать так:
или
Вспомним теперь, что мы имеем дело с арифметической прогрессией, каждый последующий член которой отличается от предыдущего на одинаковую величину, называемую разностью прогрессии .
Тогда:
Получим:
Получается, что количество разностей в нашей сумме также изменяется по закону арифметической прогрессии Тогда найдем количество
воспользовавшись формулами для арифметической прогрессии: Первый член –
, разность прогрессии – тоже
, количество членов – 9, так как в состав первого члена исходной прогрессии
не входит. Тогда сумма прогрессии:
.
Имеем:
или
Получили уравнение в целых числах. Чтобы решить его, выразим любую величину, например, :
Выделим целую часть:
Тогда становится видно, что не может быть нечетно, и, кроме того, чтобы выполнялось требование
, должно выполняться
, или
.
То есть в формулу осталось подставить
и
. Тогда
или
.
Ответ: или
.
Решение поменялось бы, если в условии требовалось, чтобы разность и первый член были бы числами целыми. Тогда подошел бы ноль и отрицательные числа. Решим задачу при этом условии: по-прежнему должно быть четным. Тогда:
и далее,
и так далее.
Задача 2.
Среднее арифметическое первых восьми членов арифметической прогрессии равно 23. Найдите первый член и разность этой арифметической прогрессии, если известно, что они являются натуральными числами.
Условие задачи можно записать так:
или
Определим количество разностей, вошедших в эту сумму, найдем сумму прогрессии, которую образуют разности аналогично предыдущей задаче:
Тогда сумма прогрессии:
.
Имеем:
или
Получили уравнение в целых числах. Чтобы решить его, выразим любую величину, например, :
Выделим целую часть:
Очевидно, что четно, и, кроме того, чтобы выполнялось требование
, должно выполняться
, или
.
То есть в формулу осталось подставить
,
и
. Тогда
,
, или
.
Ответ: или
или
.
Задача 3.
Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если сумма первых трех ее членов равна 0, а сумма первых четырех равна 1.
Запишем условие задачи в виде системы уравнений:
Понятно тогда, что .
Первое уравнение можно переписать так:
, откуда
Вернемся к факту, что . Это можно записать так:
, а с учетом
получим
или
, откуда
,
.
Осталось определить сумму прогрессии:
.
Ответ: .
Теперь рассмотрим задачи на геометрическую прогрессию.
Задача 4.
В геометрической прогрессии, первый член которой – число положительное, , а
. Найдите эти четыре члена геометрической прогрессии.
Запишем условие задачи в виде системы уравнений:
Перепишем немного иначе, записав все члены этой прогрессии, кроме первого, через первый член и знаменатель прогрессии:
Или:
Теперь разделим второе уравнение системы на первое:
Тогда:
,
,
,
.
Ответ: ,
,
,
.
Задача 5.
В геометрической прогрессии, первый член которой – число отрицательное, , а
. Найдите эти четыре члена геометрической прогрессии.
Эта задача решается аналогично, однако она поинтереснее, так как первый член – число отрицательное. Значит, нам предстоит догадаться, какой знак имеет знаменатель прогрессии. Составляем систему:
Или:
Из первого уравнения делаем вывод, что знаменатель прогрессии – число отрицательное. Теперь снова применим прием деления одного уравнения на другое:
Тогда:
,
,
,
.
Ответ: ,
,
,
.
А куда делся квадрат синуса альфа в точке...
К зад.20 и аналогичным: Вектор конечной скорости можно разложить на...
Александр, закралась опечатка, теперь благодаря Вам она...
...
Да, спасибо, почему-то иногда право и лево... хм... меняются...