Неравенство включает в себя логарифм по переменному основанию и модули. При раскрытии модуля не забывайте проверить принадлежность полученных корней рассматриваемому промежутку. Также помним: где логарифм – там ОДЗ!
Решите неравенство:
Применим обобщенный метод интервалов. Но сначала определим ОДЗ:
Для того, чтобы решить первое неравенство системы, решим уравнение
Так как второй его коэффициент равен сумме первого и третьего, то корни уравнения ,
. Таким образом, расставив знаки интервалов, находим решение неравенства:
.

Рисунок 1
Точки выколоты: неравенство строгое.
Решим теперь уравнение
Его корни обращают в единицу основание логарифма, поэтому их необходимо будет выколоть из решения.
Корни:
Теперь предстоит решить неравенство
Для этого приравняем подмодульные выражения к 0, получаем и
. В этих точках модули будут менять знаки. Нарисуем для себя, где какой знак принимают оба подмодульных выражения.

Рисунок 2
Таким образом, нам нужно снять оба модуля со знаком «минус» на промежутке , оба со знаком «плюс» на промежутке
, и первый с «плюсом» а второй – с «минусом» на промежутке
.
Рассмотрим первый интервал .
Неравенство преобразуется к виду:
Решением будет . Полученный корень принадлежит данному промежутку – отметим это.
На интервале неравенство преобразуется к виду:
Корень числителя – , корень знаменателя –
. Заметим: он не принадлежит промежутку. На данном интервале знаменатель всегда положителен, поэтому решение неравенства на этом промежутке –
.
Наконец, на третьем интервале оба модуля раскрываем со знаком «плюс»:
Решение – неравенство всегда выполняется на этом промежутке.

Рисунок 3
Тогда, накладывая друг на друга все три решения трех условий ОДЗ, получаем:
В итоге полная ОДЗ неравенства – .

Рисунок 4
Теперь можем перейти к решению самого неравенства. Решать будем обобщенным методом интервалов, поэтому перейдем от переменного основания к основанию 10 (можно взять любое число, большее 1):
Далее необходимо найти корни числителя и знаменателя. Для этого приравняем и числитель, и знаменатель к нулю.
Логарифм равен нулю, когда подлогарифмическое выражение равно 1:
Решим два полученных уравнения по очереди и определим их корни. Между прочим, второе мы уже решали, когда искали ОДЗ, его корни: . Остается решить первое:
Подмодульные выражения те же, точки смены их знаков – те же, раскроем модули на полученных промежутках.
На промежутке уравнение преобразуется к виду:
Корень числителя .
На промежутке получаем уравнение:
При этом корень числителя не принадлежит рассматриваемому промежутку.
На промежутке получаем уравнение:
Корень числителя не принадлежит рассматриваемому промежутку.
Таким образом, получили точки : – корень знаменателя, выколотая точка,
– выколотая точка (неравенство строгое),
-выколотая точка,
-выколотая точка.
Отмечаем все эти точки на прямой и отыскиваем знаки интервалов.
Возьмем для этого точку, заведомо принадлежащую ОДЗ, из любого интервала. Например, 10. При этом – число положительное, а
? Проверим:
Получаем отрицательное число. Поэтому знак на самом правом промежутке – отрицательный. Далее, так как корней четной кратности нет, знаки будут чередоваться. Тогда:

Рисунок 5
Выбираем те промежутки, над которыми стоит знак «плюс»: .
Но надо не забыть про ОДЗ, тогда, с учетом ОДЗ, получаем ответ:
.
Эта потеря есть для обоих лучей. Ведь каждый в итоге отразился от...
Доброго времени суток! Разве во второй задаче не надо учесть потерю половины...
...
[latexpage] $$\Delta l_1=\frac{(m_A+M)g}{k_1}$$ $$\Delta l_2=\frac{Mg}{k_2}$$ $$\Delta l_1+\Delta...
В таких ситуациях я обычно говорю ученикам: не надо думать, надо формулы писать :)))...