Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Неравенства (15 (С3))

Обобщенный метод интервалов-1

Неравенство включает в себя логарифм по переменному основанию и модули. При раскрытии модуля не забывайте проверить принадлежность полученных корней рассматриваемому промежутку. Также помним: где логарифм – там ОДЗ!

Решите неравенство:

    \[\log_{x^2-2x-3} \frac{\left |x \right |-\left|x-4\right|}{x+1}>0\]

Применим обобщенный метод интервалов. Но сначала определим ОДЗ:

    \[\begin{Bmatrix}{ x^2-2x-3>0}\\{ x^2-2x-3\neq 1}\\{\frac{\left |x \right |-\left|x-4\right|}{x+1}>0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ x^2-2x-3>0}\\{ x^2-2x-4\neq 0}\\{\frac{\left |x \right |-\left|x-4\right|}{x+1}>0}\end{matrix}\]

Для того, чтобы решить первое неравенство системы, решим уравнение

    \[x^2-2x-3=0\]

Так как второй его коэффициент равен сумме первого и третьего, то корни уравнения x_1=-1, x_2=3. Таким образом, расставив знаки интервалов, находим решение неравенства: x \in (-\infty;-1) \cup (3;+\infty).

Рисунок 1

Точки выколоты: неравенство строгое.

Решим теперь уравнение

    \[x^2-2x-4=0\]

Его корни обращают в единицу основание логарифма, поэтому их необходимо будет выколоть из решения.

    \[D=(-2)^2+4\cdot(-4)=20\]

Корни:

    \[x_{1,2}=\frac{2 \pm \sqrt{20}}{2}=1\pm\sqrt{5}\]

Теперь предстоит решить неравенство

    \[\frac{\left |x \right |-\left|x-4\right|}{x+1}>0\]

Для этого приравняем подмодульные выражения к 0, получаем x=0 и x=4. В этих точках модули будут менять знаки.  Нарисуем для себя, где какой знак принимают оба подмодульных выражения.

Рисунок 2

Таким образом, нам нужно снять оба модуля со знаком «минус» на промежутке  x \in (-\infty; 0), оба со знаком «плюс» на промежутке x \in (4;\infty), и первый с «плюсом» а второй – с «минусом» на промежутке x \in (0;4).

Рассмотрим первый интервал x \in (-\infty; 0).

Неравенство преобразуется к виду:

    \[\frac{-x+(x-4)}{x+1}>0\]

    \[\frac{-4}{x+1}>0\]

Решением будет x<-1.  Полученный корень принадлежит данному промежутку – отметим это.

На интервале x \in (0;4) неравенство преобразуется к виду:

    \[\frac{x+(x-4)}{x+1}>0\]

    \[\frac{2x-4}{x+1}>0\]

Корень числителя – x=2, корень знаменателя – x=-1. Заметим: он не принадлежит промежутку. На данном интервале знаменатель всегда положителен, поэтому решение неравенства на этом промежутке – x>2.

Наконец, на третьем интервале оба модуля раскрываем со знаком «плюс»:

    \[\frac{x-(x-4)}{x+1}>0\]

    \[\frac{4}{x+1}>0\]

Решение – неравенство всегда выполняется на этом промежутке.

Рисунок 3

Тогда, накладывая друг на друга все три решения трех условий ОДЗ, получаем:

В итоге полная ОДЗ неравенства – x \in (-\infty;1-\sqrt{5}) \cup (1-\sqrt{5};-1) \cup(3; 1+\sqrt{5})\cup(1+\sqrt{5}; +\infty).

Рисунок 4

Теперь можем перейти к решению самого неравенства. Решать будем обобщенным методом интервалов, поэтому перейдем от переменного основания к основанию 10 (можно взять любое число, большее 1):

    \[\frac{\lg \frac{ \left |x \right |-\left|x-4\right|}{x+1}}{\lg {x^2-2x-3}}>0\]

Далее необходимо найти корни числителя и знаменателя. Для этого приравняем и числитель, и знаменатель к нулю.

    \[\lg \frac{ \left |x \right |-\left|x-4\right|}{x+1}=0\]

    \[\lg {x^2-2x-3}=0\]

Логарифм равен нулю, когда подлогарифмическое выражение равно 1:

    \[\frac{ \left |x \right |-\left|x-4\right|}{x+1}=1\]

    \[x^2-2x-3=1\]

Решим два полученных уравнения по очереди и определим их корни. Между прочим, второе мы уже решали, когда искали ОДЗ, его корни: 1\pm\sqrt{5}. Остается решить первое:

    \[\frac{ \left |x \right |-\left|x-4\right|}{x+1}-1=0\]

    \[\frac{ \left |x \right |-\left|x-4\right|}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}=0\]

    \[\frac{ \left |x \right |-\left|x-4\right|-x-1}{x+1}=0\]

Подмодульные выражения те же, точки смены их знаков – те же, раскроем модули на полученных промежутках.

На промежутке x \in (-\infty; 0) уравнение преобразуется к виду:

    \[\frac{-x+(x-4)-x-1}{x+1}=0\]

    \[\frac{-x-5}{x+1}=0\]

Корень числителя x=-5.

На промежутке  x \in (0;4) получаем уравнение:

    \[\frac{x+(x-4)-x-1}{x+1}=0\]

    \[\frac{x-5}{x+1}=0\]

При этом корень числителя не принадлежит рассматриваемому промежутку.

На промежутке  x \in (4;\infty)получаем уравнение:

    \[\frac{x-(x-4)-x-1}{x+1}=0\]

    \[\frac{-x+3}{x+1}>0\]

Корень числителя x=3 не принадлежит рассматриваемому промежутку.

Таким образом, получили точки : x=-1 – корень знаменателя, выколотая точка,  x=-5 – выколотая точка (неравенство строгое), x=1-\sqrt{5}  -выколотая точка,  x=1+\sqrt{5}  -выколотая точка.

Отмечаем все эти точки на прямой и отыскиваем знаки интервалов.

Возьмем для этого точку, заведомо принадлежащую ОДЗ, из любого интервала. Например, 10. При этом \lg {x^2-2x-3} – число положительное, а

\lg \frac{ \left |x \right |-\left|x-4\right|}{x+1}? Проверим:

    \[\lg \frac{ \left |10 \right |-\left|10-4\right|}{10+1}=\lg \frac{ \left |10 \right |-\left|6\right|}{11}=\lg \frac{ 4}{11}\]

Получаем отрицательное число. Поэтому знак на самом правом промежутке – отрицательный. Далее, так как корней четной кратности нет, знаки будут чередоваться. Тогда:

Рисунок 5

Выбираем те промежутки, над которыми стоит знак «плюс»: x \in (-5;1-\sqrt{5}) \cup(-1; 1+\sqrt{5}).

Но надо не забыть про ОДЗ, тогда, с учетом ОДЗ, получаем ответ:

x \in (-5;1-\sqrt{5}) \cup(3; 1+\sqrt{5}).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *