Обобщенный метод интервалов-1

Неравенство включает в себя логарифм по переменному основанию и модули. При раскрытии модуля не забывайте проверить принадлежность полученных корней рассматриваемому промежутку. Также помним: где логарифм – там ОДЗ!

Решите неравенство:

Применим обобщенный метод интервалов. Но сначала определим ОДЗ:

Для того, чтобы решить первое неравенство системы, решим уравнение

Так как второй его коэффициент равен сумме первого и третьего, то корни уравнения , . Таким образом, расставив знаки интервалов, находим решение неравенства: .

Рисунок 1

Точки выколоты: неравенство строгое.

Решим теперь уравнение

Его корни обращают в единицу основание логарифма, поэтому их необходимо будет выколоть из решения.

Корни:

Теперь предстоит решить неравенство

Для этого приравняем подмодульные выражения к 0, получаем и . В этих точках модули будут менять знаки.  Нарисуем для себя, где какой знак принимают оба подмодульных выражения.

Рисунок 2

Таким образом, нам нужно снять оба модуля со знаком «минус» на промежутке  , оба со знаком «плюс» на промежутке , и первый с «плюсом» а второй – с «минусом» на промежутке .

Рассмотрим первый интервал .

Неравенство преобразуется к виду:

Решением будет .  Полученный корень принадлежит данному промежутку – отметим это.

На интервале неравенство преобразуется к виду:

Корень числителя – , корень знаменателя – . Заметим: он не принадлежит промежутку. На данном интервале знаменатель всегда положителен, поэтому решение неравенства на этом промежутке – .

Наконец, на третьем интервале оба модуля раскрываем со знаком «плюс»:

Решение – неравенство всегда выполняется на этом промежутке.

Рисунок 3

Тогда, накладывая друг на друга все три решения трех условий ОДЗ, получаем:

В итоге полная ОДЗ неравенства – .

Рисунок 4

Теперь можем перейти к решению самого неравенства. Решать будем обобщенным методом интервалов, поэтому перейдем от переменного основания к основанию 10 (можно взять любое число, большее 1):

Далее необходимо найти корни числителя и знаменателя. Для этого приравняем и числитель, и знаменатель к нулю.

Логарифм равен нулю, когда подлогарифмическое выражение равно 1:

Решим два полученных уравнения по очереди и определим их корни. Между прочим, второе мы уже решали, когда искали ОДЗ, его корни: . Остается решить первое:

Подмодульные выражения те же, точки смены их знаков – те же, раскроем модули на полученных промежутках.

На промежутке уравнение преобразуется к виду:

Корень числителя .

На промежутке  получаем уравнение:

При этом корень числителя не принадлежит рассматриваемому промежутку.

На промежутке  получаем уравнение:

Корень числителя не принадлежит рассматриваемому промежутку.

Таким образом, получили точки : – корень знаменателя, выколотая точка,  – выколотая точка (неравенство строгое),  -выколотая точка,   -выколотая точка.

Отмечаем все эти точки на прямой и отыскиваем знаки интервалов.

Возьмем для этого точку, заведомо принадлежащую ОДЗ, из любого интервала. Например, 10. При этом – число положительное, а

? Проверим:

Получаем отрицательное число. Поэтому знак на самом правом промежутке – отрицательный. Далее, так как корней четной кратности нет, знаки будут чередоваться. Тогда:

Рисунок 5

Выбираем те промежутки, над которыми стоит знак «плюс»: .

Но надо не забыть про ОДЗ, тогда, с учетом ОДЗ, получаем ответ:

.