Обобщенный метод интервалов-1

[latexpage]

Неравенство включает в себя логарифм по переменному основанию и модули. При раскрытии модуля не забывайте проверить принадлежность полученных корней рассматриваемому промежутку. Также помним: где логарифм – там ОДЗ!

Решите неравенство:

$$\log_{x^2-2x-3} \frac{\left |x \right |-\left|x-4\right|}{x+1}>0$$

Применим обобщенный метод интервалов. Но сначала определим ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{ x^2-2x-3>0}\\{ x^2-2x-3\neq 1}\\{\frac{\left |x \right |-\left|x-4\right|}{x+1}>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ x^2-2x-3>0}\\{ x^2-2x-4\neq 0}\\{\frac{\left |x \right |-\left|x-4\right|}{x+1}>0}\end{matrix}$$

Для того, чтобы решить первое неравенство системы, решим уравнение

$$ x^2-2x-3=0$$

Так как второй его коэффициент равен сумме первого и третьего, то корни уравнения $x_1=-1$, $x_2=3$. Таким образом, расставив знаки интервалов, находим решение неравенства: $x \in (-\infty;-1) \cup (3;+\infty)$.

Рисунок 1

Точки выколоты: неравенство строгое.

Решим теперь уравнение

$$ x^2-2x-4=0$$

Его корни обращают в единицу основание логарифма, поэтому их необходимо будет выколоть из решения.

$$D=(-2)^2+4\cdot(-4)=20$$

Корни:

$$x_{1,2}=\frac{2 \pm \sqrt{20}}{2}=1\pm\sqrt{5}$$

Теперь предстоит решить неравенство

$$\frac{\left |x \right |-\left|x-4\right|}{x+1}>0$$

Для этого приравняем подмодульные выражения к 0, получаем $x=0$ и $x=4$. В этих точках модули будут менять знаки.  Нарисуем для себя, где какой знак принимают оба подмодульных выражения.

Рисунок 2

Таким образом, нам нужно снять оба модуля со знаком «минус» на промежутке  $x \in (-\infty; 0)$, оба со знаком «плюс» на промежутке $x \in (4;\infty)$, и первый с «плюсом» а второй – с «минусом» на промежутке $x \in (0;4)$.

Рассмотрим первый интервал $x \in (-\infty; 0)$.

Неравенство преобразуется к виду:

$$\frac{-x+(x-4)}{x+1}>0$$

$$\frac{-4}{x+1}>0$$

Решением будет $x<-1$.  Полученный корень принадлежит данному промежутку – отметим это.

На интервале $x \in (0;4)$ неравенство преобразуется к виду:

$$\frac{x+(x-4)}{x+1}>0$$

$$\frac{2x-4}{x+1}>0$$

Корень числителя – $x=2$, корень знаменателя – $x=-1$. Заметим: он не принадлежит промежутку. На данном интервале знаменатель всегда положителен, поэтому решение неравенства на этом промежутке – $x>2$.

Наконец, на третьем интервале оба модуля раскрываем со знаком «плюс»:

$$\frac{x-(x-4)}{x+1}>0$$

$$\frac{4}{x+1}>0$$

Решение – неравенство всегда выполняется на этом промежутке.

Рисунок 3

Тогда, накладывая друг на друга все три решения трех условий ОДЗ, получаем:

В итоге полная ОДЗ неравенства – $x \in (-\infty;1-\sqrt{5}) \cup (1-\sqrt{5};-1) \cup(3; 1+\sqrt{5})\cup(1+\sqrt{5}; +\infty)$.

Рисунок 4

Теперь можем перейти к решению самого неравенства. Решать будем обобщенным методом интервалов, поэтому перейдем от переменного основания к основанию 10 (можно взять любое число, большее 1):

$$\frac{\lg \frac{ \left |x \right |-\left|x-4\right|}{x+1}}{\lg {x^2-2x-3}}>0$$

Далее необходимо найти корни числителя и знаменателя. Для этого приравняем и числитель, и знаменатель к нулю.

$$\lg \frac{ \left |x \right |-\left|x-4\right|}{x+1}=0$$

$$\lg {x^2-2x-3}=0$$

Логарифм равен нулю, когда подлогарифмическое выражение равно 1:

$$ \frac{ \left |x \right |-\left|x-4\right|}{x+1}=1$$

$$x^2-2x-3=1$$

Решим два полученных уравнения по очереди и определим их корни. Между прочим, второе мы уже решали, когда искали ОДЗ, его корни: $1\pm\sqrt{5}$. Остается решить первое:

$$ \frac{ \left |x \right |-\left|x-4\right|}{x+1}-1=0$$

$$ \frac{ \left |x \right |-\left|x-4\right|}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}=0$$

$$ \frac{ \left |x \right |-\left|x-4\right|-x-1}{x+1}=0$$

Подмодульные выражения те же, точки смены их знаков – те же, раскроем модули на полученных промежутках.

На промежутке $x \in (-\infty; 0)$ уравнение преобразуется к виду:

$$\frac{-x+(x-4)-x-1}{x+1}=0$$

$$\frac{-x-5}{x+1}=0$$

Корень числителя $x=-5$.

На промежутке  $x \in (0;4)$ получаем уравнение:

$$\frac{x+(x-4)-x-1}{x+1}=0$$

$$\frac{x-5}{x+1}=0$$

При этом корень числителя не принадлежит рассматриваемому промежутку.

На промежутке  $x \in (4;\infty)$получаем уравнение:

$$\frac{x-(x-4)-x-1}{x+1}=0$$

$$\frac{-x+3}{x+1}>0$$

Корень числителя $x=3$ не принадлежит рассматриваемому промежутку.

Таким образом, получили точки : $x=-1$ – корень знаменателя, выколотая точка,  $x=-5$ – выколотая точка (неравенство строгое), $x=1-\sqrt{5}$  -выколотая точка,  $x=1+\sqrt{5}$  -выколотая точка.

Отмечаем все эти точки на прямой и отыскиваем знаки интервалов.

Возьмем для этого точку, заведомо принадлежащую ОДЗ, из любого интервала. Например, 10. При этом $\lg {x^2-2x-3}$ – число положительное, а

$\lg \frac{ \left |x \right |-\left|x-4\right|}{x+1}$? Проверим:

$$\lg \frac{ \left |10 \right |-\left|10-4\right|}{10+1}=\lg \frac{ \left |10 \right |-\left|6\right|}{11}=\lg \frac{ 4}{11}$$

Получаем отрицательное число. Поэтому знак на самом правом промежутке – отрицательный. Далее, так как корней четной кратности нет, знаки будут чередоваться. Тогда:

Рисунок 5

Выбираем те промежутки, над которыми стоит знак «плюс»: $x \in (-5;1-\sqrt{5}) \cup(-1; 1+\sqrt{5})$.

Но надо не забыть про ОДЗ, тогда, с учетом ОДЗ, получаем ответ:

$x \in (-5;1-\sqrt{5}) \cup(3; 1+\sqrt{5})$.