Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 10-11 класс, Функции

Область значений функции


Всем здравствуйте! Тренируемся находить область значений функции! Кто еще не понял, что такое область определения (а она нам тоже понадобится непременно), тому сюда.

Что же такое область значений функции? Это та “часть” оси ординат, та область, где можно наткнуться на какие-либо точки, принадлежащие функции. То есть можно сказать, что если область значений найдена, то все точки функции находятся в ней, не выше и не ниже. Это почти тоже самое, что и область определения, только теперь это “область определения по оси ординат”. Здесь никаких особых ограничений нет, поэтому, чтобы найти область значений, нужно иметь представление об элементарных функциях – например, как выглядят парабола или гипербола, как определить, направлены ли ветви параболы вверх или вниз и т.п. Все это рассказано и показано здесь.

Ну, поехали!

Примеры.

1. Найдите область значений функции y=x^2+4x-21

Решение: функция – квадратичная, представляет собой параболу с положительным старшим коэффициентом, ветви направлены вверх. Понятно тогда, что весь график располагается выше координаты своей вершины (вершина – самая низшая точка). Ордината вершины: y_0=-D/{4a}=-100/4=25, тогда E(f)=(-25, {+infty}).

 

2. Найдите область значений функции y=sqrt{x^2+4x-21}

Решение: область определения функции D(f)=( {-infty};{-7}] union[3;{+infty}).

В точках (-7) и (3) двучлен обращается в ноль. Поскольку результат извлечения корня – величина положительная, то вся функция располагается выше оси абсцисс, и ее область значений E(f)=[0;{+infty})

 

3. Найти область значений функции y=-1/{x^4}

Область определения – вся числовая ось, кроме ноля. Можем подставить любое число из области определения, при этом функция всегда отрицательна.

Из графика также видно, что E(f)=({-infty};0)

4. Найти область значений функции: y=1/{3^{sqrt{2x-x^2}}}

Решение. Область определения:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2x-x^2>=0} {3^{sqrt{2x-x^2}}<>0}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2x-x^2>=0} {3^{sqrt{2x-x^2}}<>0}}}{ }”/> <img src=

0<=x<=2
На концах отрезка функция принимает значение 1, под корнем имеем квадратный двучлен, наибольшее значение он принимает в вершине, при , значит, функция будет принимать в этой точке наименьшее значение.

Подставив 1, получаем y=1/3

Ответ: E(f)=[{1/3};1]

 

5. Найдите область значений функции: y=x^2+5delim{|}{x}{|}-6

Очевидно, что график данной функции может быть получен из графика обычной параболы y=x^2+5x-6, область значений которой легко найти: ветви направлены вверх, поэтому низшая точка – вершина параболы. Однако заметим также, что если аргумент функции под знаком модуля, то график такой функции может быть построен с помощью отражения части  графика, лежащей в правой вертикальной полуплоскости, в левую полуплоскость(см. рисунок). Тогда от нашей параболы останется только часть, лежащая правее оси ординат, и именно она будет отражена относительно оси y, и тогда низшей точкой окажется та, в которой график пересечет ось ординат, а это – значение свободного члена (коэффициента с), который у нас равен (-6).

Область значений нашей функции E(f)=[{-6};{+infty})

6. Найдите область значений функции: y=delim{|}{x^2+5x-6}{|}

Очевидно, что график данной функции может быть получен из графика обычной параболы y=x^2+5x-6. Так как все выражение находится под знаком модуля, то для  того, чтобы построить такой график, нужно отразить всю часть графика, расположенную ниже оси х, вверх, поэтому E(f)=[0;{+infty}).

 

 

 

 

 

 

 

7. Найдите область значений функции: y=2-7/{4x+1}

Данная функция получена преобразованием обычной гиперболы. Данная функция не существует при 4x+1=0, или x=-{1/4}.  При x{right}{pm}{infty}  второе слагаемое обращается в ноль, и функция стремится к  значению y=2, причем можно заметить, что при положительных больших значениях х данная функция приближается к 2 снизу, а при отрицательных  – сверху.

Ответ: E(f)=({-infty};2)union(2; {+infty})

 

8. Найти область значений функции: y={0,7}^{sqrt{x+7}}

Решение. Область определения:

x+7>=0″ title=”x+7>=0″/> <img src=

x>=-7″ title=”x>=-7″/> <img src=

При x=-7  функция принимает наибольшее значение y=1,

При x, стремящемся к бесконечности, функция стремится к нулю. Но мы запишем область значений от меньшего к большему:

Ответ: E(f)= (0;1]


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *