Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 10-11 класс, Функции

Область определения функции


Сегодня потренируемся в отыскании области определения выражения и функции.

Когда отыскивают область определения функции, то часто она совпадает с областью определения выражения, задающего функцию: такая область определения называется естественной. Но бывает и так, что условия задачи накладывают особые ограничения: например, естественная область определения функции от (-8) до 8, но аргумент этой функции – время (или вес). Понятно тогда, что время (как и вес) не может быть отрицательной величиной и тогда естественная область определения  такой функции сужается до промежутка (0; 8).
При отыскании области определения функции надо помнить о следующих ограничениях:
1. При извлечении корня четной степени подкоренное выражение обязано быть неотрицательным (что не запрещает ему быть равным нулю). 2. Знаменатель дроби не может быть равным нулю. 3. Выражение, стоящее под знаком логарифма, не может быть отрицательным или равняться нулю. 4. Выражение, стоящее под знаком арксинуса или арккосинуса, не может превышать 1 по модулю
Также надо помнить, что область определения всегда нужно искать для исходной функции, до каких-либо преобразований.
Например, функции y=-1 и y=-x/x имеют разные области определения: для первой это – вся числовая ось, а вторая не определена в точке 0. То же относится к функциям y=sqrt{x^2} и y=(sqrt{x})^2 –  у первой область определения – также вся числовая ось, а у второй – x{in}[0;{infty})

1. Найдите область определения выражения:
sqrt{(x^2-11x+24)^{-1}}
Перепишем выражение:
sqrt{1/{x^2-11x+24}}
Так как выражение стоит под корнем четной степени, значение его не должно быть отрицательным:
{1/{x^2-11x+24}}>=0″ title=”{1/{x^2-11x+24}}>=0″/> <img src=
Дробь положительна, если числитель и знаменатель ее одновременно положительны или отрицательны. У нас в числителе положительное число, поэтому знаменатель неотрицателен. Кроме того, знаменатель не может быть равен нулю, поэтому неравенство становится таким:
{x^2-11x+24}>0″ title=”{x^2-11x+24}>0″/> <img src=
Получили квадратное неравенство. Находим корни квадратного уравнения, чтобы выяснить точки перемены знака:
{x^2-11x+24}=0
D={b^2-4ac}=121-4*24=25
x_1={11-5}/2=3
x_2={11+5}/2=8
Наносим полученные точки на координатную прямую и расставляем знаки. Так как x^2  (старший член) – со знаком «плюс», то ветви параболы направлены вверх, на самом правом отрезке ставим знак «плюс», а далее знаки меняются. Точки выкалываем, поскольку неравенство строгое:


Ответ: {x}in({-infty};3)union(8;infty) – круглые скобки показывают, что концы интервалов не входят в ответ.
2. Найдите область определения выражения:
sqrt{-2x^2+5x+2}
Так как выражение стоит под корнем четной степени, значение его не должно быть отрицательным:
{-2x^2+5x+2}>=0″ title=”{-2x^2+5x+2}>=0″/> <img src=
Получили квадратное неравенство. Находим корни квадратного уравнения, чтобы выяснить точки перемены знака:
{2x^2-5x-2}=0
D={b^2-4ac}=25-4*(-2)2=41
x_1={5+sqrt{41}}/4
x_2={5-sqrt{41}}/4


Наносим полученные точки на координатную прямую и расставляем знаки. Так как x^2  (старший член) в исходном неравенстве – со знаком «минус», то ветви параболы направлены вниз, на самом правом отрезке ставим знак «минус», а далее знаки меняются. Точки закрашиваем, поскольку неравенство нестрогое.
Ответ: {x}in=[{{5-sqrt{41}}/4};{{5+sqrt{41}}/4}]– квадратные скобки показывают, что концы отрезка  входят в ответ.

3. Найдите область определения функции:
y=sqrt{(2x+3)(x-1)}
Очевидно, что область определения функции будет совпадать с областью определения выражения sqrt{(2x+3)(x-1)} – ищем естественную  область определения функции.  Данное выражение имеет смысл только при (2x+3)(x-1)>=0″ title=”(2x+3)(x-1)>=0″/> <img src= – задача сводится к решению этого неравенства. Определяем точки перемены знака:
delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2x+3=0} {x-1=0}}}{ }
delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x=-1,5} {x=1}}}{ }
Изображаем полученные точки на числовой оси, ставим знаки:


Точки закрашены, концы интервалов входят в решение. Тогда область определения функции: {D(f)}=({-{infty};-1,5}] union [{1;{infty}})
4. Найдите область определения функции: y=sqrt{2x+3}*sqrt{x-1}
Очевидно, что область определения функции будет совпадать с областью определения выражения sqrt{2x+3}*sqrt{x-1} – ищем естественную  область определения функции.  Данное выражение имеет смысл только при {2x+3}>=0″ title=”{2x+3}>=0″/> <img src=; {x-1}>=0″ title=”{x-1}>=0″/><img src= – задача сводится к решению системы неравенств. Определяем точки перемены знака:
delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x>=-1,5}{x>=1}}}{}” title=”delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x>=-1,5}{x>=1}}}{}”/><img src=
Изображаем полученные точки на числовой оси:


Решение системы неравенств:  {x>=1}” title=”{x>=1}”/><img src=
Область определения функции: D(f)=[ 1;{infty})
5. Найдите область определения функции: y=sqrt{{3x-2}/{x+2}}
Очевидно, что область определения функции будет совпадать с областью определения выражения sqrt{{3x-2}/{x+2}}
– ищем естественную  область определения функции.  Данное выражение имеет смысл только при y={{3x-2}/{x+2}}>=0″ title=”y={{3x-2}/{x+2}}>=0″/> <img src= – задача сводится к решению неравенства.
Рассмотрим два случая:
delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{3x-2>=0}{x+2>0}}}{}” title=”delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{3x-2>=0}{x+2>0}}}{}”/><img src=
delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x>={2/3}}{x>{-2}}}}{}” title=”delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x>={2/3}}{x>{-2}}}}{}”/><img src=
Решение: x>={2/3}” title=”x>={2/3}”/><img src=
Или
delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{3x-2<=0}{x+2<0}}}{}
delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x<={2/3}}{x<{-2}}}}{}
Решение: x<{-2}
Область определения функции: D(f)=({-infty};-2)union[{{2/3};{infty}})
6. Найти область определения функции:
y=log_3{delim{|}{x+3}{|}}+2log_3{1-x^3)
Решение:
delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{1-x^3}>0}{delim{|}{x+3}{|}>0}}}{}” title=”delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{1-x^3}>0}{delim{|}{x+3}{|}>0}}}{}”/><img src=
delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x<1}{x+3>0}{-x-3>0}}}{}” title=”delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x<1}{x+3>0}{-x-3>0}}}{}”/><img src=
delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x<1}{x>-3}{x<-3}}}{}
Ответ: {D(f)}=({-infty};-3)union(-3;1)

7. Найти область определения функции: y=log_{0,3}(4^{2x-1}-2^{3x})
Решение:
4^{2x-1}-2^{3x}>0″ title=”4^{2x-1}-2^{3x}>0″/><img src=
{1/4}*8^{x}*2^{x}-8^{x}>0″ title=”{1/4}*8^{x}*2^{x}-8^{x}>0″/><img src=
8^{x}*({1/4}*2^{x}-1)>0″ title=”8^{x}*({1/4}*2^{x}-1)>0″/><img src=
2^{x}-4>0″ title=”2^{x}-4>0″/><img src=
2^{x}>2^2″ title=”2^{x}>2^2″/><img src=
x>2″ title=”x>2″/><img src=
Ответ: D(f)=(2;{infty})
8. Найти область определения функции:
y={{lg(x+3)-sqrt{x^2-x-6}}/{25-x^2}}*arccos{{1/7}(x-1)}
Решение:
delim{lbrace}{matrix{5}{1}{{{x+3}>0}{x^2-x-6>=0}{25-x^2<>0}{{1/7}(x-1)>=-1}{{1/7}(x-1)<=1}}}{}
delim{lbrace}{matrix{5}{1}{{x>-3}{(x+2)(x-3)>=0}{x<>pm{5}}{x>=-6}{x<=8}}}{}
Ответ: D(f)=(-3;2)union(-2;5)union(5;8)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *