Нетривиальные задачи на движение

Попались хорошие задачи на движение. Задала ученице не глядя, а потом пришлось самой потратить время на решение… Понравились!

Задача 1. Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист, а навстречу ему одновременно из В в А выехал велосипедист. Мотоциклист прибыл в В через 2ч после встречи с велосипедистом, а велосипедист прибыл в А через 4,5 ч после встречи. Сколько часов они были в пути?

Мотоциклист до встречи проехал расстояние $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , где $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – время до встречи. Велосипедист до встречи проехал путь $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Тогда именно это расстояние мотоциклист и преодолевает за 2 часа, а расстояние $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ велосипедист проезжает за 4,5 ч:

Тогда можно записать, что

Или из второго уравнения

То есть получается, что

То есть мотоциклист был в пути $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ часов, а велосипедист $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Ответ: 5ч и 7,5 ч

Задача 2. Два поезда отправились одновременно в одном направлении из городов А и В, расстояние между которыми 60 км., и одновременно прибыли в город С. Если бы один из поездов увеличил скорость на 25 км/ч, а другой – на 20 км/ч, то оба поезда прибыли бы в С одновременно, но на два часа раньше. Найти скорости поездов.

Поезд из А проезжает расстояние $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ (от В до С) и еще плюс 60 км. Поезд из B – только расстояние $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . А времени у них уходит на это одинаковое количество:

Потом, когда скорости выросли, повторяется та же ситуация:

То есть

Или можем переписать, пользуясь свойствами пропорции:

Откуда находим, что

Или

Поезд из A тратит на весь путь время $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , а поезд из $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , и прибывают они одновременно, то есть

То есть 60 км – это четверть пути $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Если $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , весь путь тогда 300 км.

Следовательно, из сравнения времени движения поезда A до увеличения скорости и после имеем:

Приводим к общему знаменателю:

Получили квадратное уравнение:

Корни по Виету – 50 и (-75), выбираем положительный. Следовательно, скорость поезда из пункта $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ равна $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ км/ч.

Ответ: 50 км/ч, 40 км/ч .

Задача 3. Поезд должен был пройти перегон в 120 км по расписанию с постоянной скоростью. Однако, пройдя половину перегона с этой скоростью, поезд остановился на 5 минут. Увеличив на второй половине перегона скорость на 10 км/ч, поезд вовремя прибыл в конечный пункт. Определить скорость поезда по расписанию.

Разобьем путь на два куска по 60 км. На преодоление первого у поезда ушло время $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , а на второй кусок ушло время $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Время $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ меньше времени $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ на 5 минут, поэтому можно записать, что

Или

Приведем к общему знаменателю:

Корни по Виету (-90) и 80, выбираем положительный.

Ответ: 80 км/ч.

Задача 4. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу, первый из пункта А, второй – из пункта В. До встречи пешеходов первый прошел на 1 км больше, чем второй. Первый пешеход прибыл в В через 45 мин после встречи, а второй прибыл в А через 1ч 20 мин после встречи. Найти расстояние от А до В.

Скорость первого пешехода такова, что за три четверти часа он прошел то расстояние, которое прошел второй до встречи:

И наоборот, скорость второго такова, что расстояние, пройденное первым до встречи, он преодолевает за $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ часа:

Тогда из первого уравнения

А из второго

Или

Получили, что $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Тогда до встречи первый прошел расстояние $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , а второй $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Разница между этими расстояниями – 1 км, тогда