Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ОГЭ 22 (ГИА С2), Текстовые задачи (11)

Нетривиальные задачи на движение

Попались хорошие задачи на движение. Задала ученице не глядя, а потом пришлось самой потратить время на решение… Понравились!

Задача 1. Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист, а навстречу ему одновременно из В в А выехал велосипедист. Мотоциклист прибыл в В через 2ч после встречи с велосипедистом, а велосипедист прибыл в А через 4,5 ч после встречи. Сколько часов они были в пути?

Мотоциклист до встречи проехал расстояние , где – время до встречи. Велосипедист до встречи проехал путь . Тогда именно это расстояние мотоциклист и преодолевает за 2 часа, а расстояние велосипедист проезжает за 4,5 ч:

   

   

Тогда можно записать, что

   

Или из второго уравнения

   

То есть получается, что

   

   

   

То есть мотоциклист был в пути часов, а велосипедист .

Ответ: 5ч   и 7,5 ч

 

Задача 2. Два поезда отправились одновременно в одном направлении из городов А и В, расстояние между которыми 60 км., и одновременно прибыли в город С. Если бы один из поездов увеличил скорость на 25 км/ч, а другой – на 20 км/ч, то оба поезда прибыли бы в С одновременно, но на два часа раньше. Найти скорости поездов.

Поезд из А проезжает расстояние (от В до С)  и еще плюс 60 км. Поезд из B – только расстояние .  А времени у них уходит на это одинаковое количество:

   

Потом, когда скорости выросли, повторяется та же ситуация:

   

То есть

   

Или можем переписать, пользуясь свойствами пропорции:

   

Откуда находим, что

   

Или

   

Поезд  из A тратит на весь путь время , а поезд из  , и прибывают они одновременно, то есть

   

   

   

То есть 60 км – это четверть пути . Если , весь путь тогда 300 км.

Следовательно, из сравнения времени движения поезда A до увеличения скорости и после имеем:

   

   

Приводим к общему знаменателю:

   

   

Получили квадратное уравнение:

   

   

Корни по Виету – 50 и (-75), выбираем положительный. Следовательно, скорость поезда из пункта равна км/ч.

Ответ: 50 км/ч, 40 км/ч .

Задача 3. Поезд должен был пройти перегон в 120 км по расписанию с постоянной скоростью. Однако, пройдя половину перегона с этой скоростью, поезд остановился на 5 минут. Увеличив на второй половине перегона скорость на 10 км/ч, поезд вовремя прибыл в конечный пункт. Определить скорость поезда по расписанию.

Разобьем путь на два куска по 60 км. На преодоление первого у поезда ушло время , а на второй кусок ушло время . Время меньше времени на 5 минут, поэтому можно записать, что

   

Или

   

Приведем к общему знаменателю:

   

   

   

   

   

Корни по Виету (-90) и 80, выбираем положительный.

Ответ: 80 км/ч.

 

Задача 4. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу, первый из пункта А, второй – из пункта В. До встречи пешеходов первый прошел на 1 км больше, чем второй. Первый пешеход прибыл в В через 45 мин после встречи, а второй прибыл в А через 1ч 20 мин после встречи. Найти расстояние от А до В.

Скорость первого пешехода такова, что за три четверти часа он прошел то расстояние, которое прошел второй до встречи:

   

И наоборот, скорость второго такова, что расстояние, пройденное первым до встречи, он преодолевает за часа:

   

Тогда из первого уравнения

   

А из второго

   

Или

   

   

   

Получили, что .

Тогда до встречи первый прошел расстояние , а второй . Разница между этими расстояниями  – 1 км, тогда

   

Откуда

   

И

   

Полное расстояние между и равно или  7 км.

Ответ: 7 км.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *