Нетривиальные задачи на движение

Попались хорошие задачи на движение. Задала ученице не глядя, а потом пришлось самой потратить время на решение… Понравились!

Задача 1. Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист, а навстречу ему одновременно из В в А выехал велосипедист. Мотоциклист прибыл в В через 2ч после встречи с велосипедистом, а велосипедист прибыл в А через 4,5 ч после встречи. Сколько часов они были в пути?

Мотоциклист до встречи проехал расстояние $\upsilon_m t$ , где $t$ – время до встречи. Велосипедист до встречи проехал путь $\upsilon_v t$ . Тогда именно это расстояние мотоциклист и преодолевает за 2 часа, а расстояние $\upsilon_m t$ велосипедист проезжает за 4,5 ч:

$\upsilon_v=\frac{\upsilon_m t }{4,5}$

$\upsilon_m=\frac{\upsilon_v t }{2}$

Тогда можно записать, что

$\frac{\upsilon_v}{\upsilon_m }=\frac{t}{4,5}$

Или из второго уравнения

$\frac{\upsilon_v}{\upsilon_m }=\frac{2}{t}$

То есть получается, что

$\frac{t}{4,5}=\frac{2}{t}$

$t^2=9$

$t=3$

То есть мотоциклист был в пути $2+3=5$ часов, а велосипедист $4,5+3=7,5$ .

Ответ: 5ч и 7,5 ч

Задача 2. Два поезда отправились одновременно в одном направлении из городов А и В, расстояние между которыми 60 км., и одновременно прибыли в город С. Если бы один из поездов увеличил скорость на 25 км/ч, а другой – на 20 км/ч, то оба поезда прибыли бы в С одновременно, но на два часа раньше. Найти скорости поездов.

Поезд из А проезжает расстояние $S$ (от В до С) и еще плюс 60 км. Поезд из B – только расстояние $S$ . А времени у них уходит на это одинаковое количество:

$\frac{S+60}{\upsilon_A }=\frac{S}{\upsilon_B }$

Потом, когда скорости выросли, повторяется та же ситуация:

$\frac{S+60}{\upsilon_A+25 }=\frac{S}{\upsilon_B +20}$

То есть

$\frac{\upsilon_A }{\upsilon_B }=\frac{\upsilon_A +25}{\upsilon_B +20}$

Или можем переписать, пользуясь свойствами пропорции:

$\frac{\upsilon_A +25}{\upsilon_A}=\frac{\upsilon_B +20}{\upsilon_B }$

Откуда находим, что

$\frac{25}{\upsilon_A}=\frac{20}{\upsilon_B }$

Или

$\upsilon_A=1,25\upsilon_B$

Поезд из A тратит на весь путь время $t=\frac{S+60}{\upsilon_A }$ , а поезд из $B$ – $t=\frac{S}{\upsilon_B }$ , и прибывают они одновременно, то есть

$\frac{S+60}{\upsilon_A }=\frac{S}{\upsilon_B }$

$\frac{S+60}{1,25\upsilon_B }=\frac{S}{\upsilon_B }$

$\frac{S+60}{1,25}=S$

То есть 60 км – это четверть пути $S$ . Если $S=240$ , весь путь тогда 300 км.

Следовательно, из сравнения времени движения поезда A до увеличения скорости и после имеем:

$\frac{300}{\upsilon_A }=\frac{300}{\upsilon_A +25}+2$

$\frac{300}{\upsilon_A }-\frac{300}{\upsilon_A +25}-2=0$

Приводим к общему знаменателю:

$\frac{300(\upsilon_A +25)}{\upsilon_A(\upsilon_A +25) }-\frac{300\upsilon_A }{\upsilon_A(\upsilon_A +25)}-\frac{2\upsilon_A(\upsilon_A +25)}{ \upsilon_A(\upsilon_A +25)}=0$

$\frac{300(\upsilon_A +25)-300\upsilon_A -2\upsilon_A(\upsilon_A +25)}{ \upsilon_A(\upsilon_A +25)}=0$

Получили квадратное уравнение:

$300\cdot25-2\upsilon_A^2-50\upsilon_A =0$

$\upsilon_A^2+25\upsilon_A -3750=0$

Корни по Виету – 50 и (-75), выбираем положительный. Следовательно, скорость поезда из пункта $B$ равна $0,8\cdot50=40$ км/ч.

Ответ: 50 км/ч, 40 км/ч .

Задача 3. Поезд должен был пройти перегон в 120 км по расписанию с постоянной скоростью. Однако, пройдя половину перегона с этой скоростью, поезд остановился на 5 минут. Увеличив на второй половине перегона скорость на 10 км/ч, поезд вовремя прибыл в конечный пункт. Определить скорость поезда по расписанию.

Разобьем путь на два куска по 60 км. На преодоление первого у поезда ушло время $t_1=\frac{60}{\upsilon}$ , а на второй кусок ушло время $t_2=\frac{60}{\upsilon+10}$ . Время $t_2$ меньше времени $t_1$ на 5 минут, поэтому можно записать, что

$t_2+\frac{5}{60}=t_1$

Или

$\frac{60}{\upsilon+10}+\frac{5}{60}=\frac{60}{\upsilon}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{60}{\upsilon+10}+\frac{1}{12}-\frac{60}{\upsilon}=0$

$\frac{720\upsilon }{12(\upsilon+10) \upsilon }+\frac{(\upsilon+10) \upsilon }{12(\upsilon+10) \upsilon }-\frac{720(\upsilon +10)}{12\upsilon(\upsilon+10)}=0$

$\frac{720\upsilon+(\upsilon+10) \upsilon-720(\upsilon +10)}{12\upsilon(\upsilon+10)}=0$

$\frac{(\upsilon+10) \upsilon-7200}{12\upsilon(\upsilon+10)}=0$

$\upsilon^2+10 \upsilon-7200=0$

Корни по Виету (-90) и 80, выбираем положительный.

Ответ: 80 км/ч.

Задача 4. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу, первый из пункта А, второй – из пункта В. До встречи пешеходов первый прошел на 1 км больше, чем второй. Первый пешеход прибыл в В через 45 мин после встречи, а второй прибыл в А через 1ч 20 мин после встречи. Найти расстояние от А до В.

Скорость первого пешехода такова, что за три четверти часа он прошел то расстояние, которое прошел второй до встречи:

$\upsilon_B t=\upsilon_A\cdot\frac{3}{4}$

И наоборот, скорость второго такова, что расстояние, пройденное первым до встречи, он преодолевает за $\frac{4}{3}$ часа:

$\upsilon_A t=\upsilon_B \cdot\frac{4}{3}$

Тогда из первого уравнения

$\frac{\upsilon_A }{\upsilon_B }=\frac{4t}{3}$

А из второго

$\frac{\upsilon_A }{\upsilon_B }=\frac{4}{3t}$

Или

$\frac{4t}{3}=\frac{4}{3 t }$

$12t^2=12$

$t=1$

Получили, что $\frac{\upsilon_A }{\upsilon_B }=\frac{4}{3}$ .

Тогда до встречи первый прошел расстояние $\upsilon_A\cdot 1$ , а второй $\frac{3\upsilon_A}{4}\cdot 1$ . Разница между этими расстояниями – 1 км, тогда