Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Текстовая задача (22 задание), Текстовые задачи (11)

Нетривиальные задачи на движение

Попались хорошие задачи на движение. Задала ученице не глядя, а потом пришлось самой потратить время на решение… Понравились!

Задача 1. Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист, а навстречу ему одновременно из В в А выехал велосипедист. Мотоциклист прибыл в В через 2ч после встречи с велосипедистом, а велосипедист прибыл в А через 4,5 ч после встречи. Сколько часов они были в пути?

Мотоциклист до встречи проехал расстояние \upsilon_m t, где t – время до встречи. Велосипедист до встречи проехал путь \upsilon_v t. Тогда именно это расстояние мотоциклист и преодолевает за 2 часа, а расстояние \upsilon_m t велосипедист проезжает за 4,5 ч:

    \[\upsilon_v=\frac{\upsilon_m t }{4,5}\]

    \[\upsilon_m=\frac{\upsilon_v t }{2}\]

Тогда можно записать, что

    \[\frac{\upsilon_v}{\upsilon_m }=\frac{t}{4,5}\]

Или из второго уравнения

    \[\frac{\upsilon_v}{\upsilon_m }=\frac{2}{t}\]

То есть получается, что

    \[\frac{t}{4,5}=\frac{2}{t}\]

    \[t^2=9\]

    \[t=3\]

То есть мотоциклист был в пути 2+3=5 часов, а велосипедист 4,5+3=7,5.

Ответ: 5ч   и 7,5 ч

 

Задача 2. Два поезда отправились одновременно в одном направлении из городов А и В, расстояние между которыми 60 км., и одновременно прибыли в город С. Если бы один из поездов увеличил скорость на 25 км/ч, а другой – на 20 км/ч, то оба поезда прибыли бы в С одновременно, но на два часа раньше. Найти скорости поездов.

Поезд из А проезжает расстояние S (от В до С)  и еще плюс 60 км. Поезд из B – только расстояние S.  А времени у них уходит на это одинаковое количество:

    \[\frac{S+60}{\upsilon_A }=\frac{S}{\upsilon_B }\]

Потом, когда скорости выросли, повторяется та же ситуация:

    \[\frac{S+60}{\upsilon_A+25 }=\frac{S}{\upsilon_B +20}\]

То есть

    \[\frac{\upsilon_A }{\upsilon_B }=\frac{\upsilon_A +25}{\upsilon_B +20}\]

Или можем переписать, пользуясь свойствами пропорции:

    \[\frac{\upsilon_A +25}{\upsilon_A}=\frac{\upsilon_B +20}{\upsilon_B }\]

Откуда находим, что

    \[\frac{25}{\upsilon_A}=\frac{20}{\upsilon_B }\]

Или

    \[\upsilon_A=1,25\upsilon_B\]

Поезд  из A тратит на весь путь время t=\frac{S+60}{\upsilon_A }, а поезд из  Bt=\frac{S}{\upsilon_B }, и прибывают они одновременно, то есть

    \[\frac{S+60}{\upsilon_A }=\frac{S}{\upsilon_B }\]

    \[\frac{S+60}{1,25\upsilon_B }=\frac{S}{\upsilon_B }\]

    \[\frac{S+60}{1,25}=S\]

То есть 60 км – это четверть пути S. Если S=240, весь путь тогда 300 км.

Следовательно, из сравнения времени движения поезда A до увеличения скорости и после имеем:

    \[\frac{300}{\upsilon_A }=\frac{300}{\upsilon_A +25}+2\]

    \[\frac{300}{\upsilon_A }-\frac{300}{\upsilon_A +25}-2=0\]

Приводим к общему знаменателю:

    \[\frac{300(\upsilon_A +25)}{\upsilon_A(\upsilon_A +25) }-\frac{300\upsilon_A }{\upsilon_A(\upsilon_A +25)}-\frac{2\upsilon_A(\upsilon_A +25)}{ \upsilon_A(\upsilon_A +25)}=0\]

    \[\frac{300(\upsilon_A +25)-300\upsilon_A -2\upsilon_A(\upsilon_A +25)}{ \upsilon_A(\upsilon_A +25)}=0\]

Получили квадратное уравнение:

    \[300\cdot25-2\upsilon_A^2-50\upsilon_A =0\]

    \[\upsilon_A^2+25\upsilon_A -3750=0\]

Корни по Виету – 50 и (-75), выбираем положительный. Следовательно, скорость поезда из пункта B равна 0,8\cdot50=40 км/ч.

Ответ: 50 км/ч, 40 км/ч .

Задача 3. Поезд должен был пройти перегон в 120 км по расписанию с постоянной скоростью. Однако, пройдя половину перегона с этой скоростью, поезд остановился на 5 минут. Увеличив на второй половине перегона скорость на 10 км/ч, поезд вовремя прибыл в конечный пункт. Определить скорость поезда по расписанию.

Разобьем путь на два куска по 60 км. На преодоление первого у поезда ушло время t_1=\frac{60}{\upsilon}, а на второй кусок ушло время t_2=\frac{60}{\upsilon+10}. Время t_2 меньше времени t_1 на 5 минут, поэтому можно записать, что

    \[t_2+\frac{5}{60}=t_1\]

Или

    \[\frac{60}{\upsilon+10}+\frac{5}{60}=\frac{60}{\upsilon}\]

Приведем к общему знаменателю:

    \[\frac{60}{\upsilon+10}+\frac{1}{12}-\frac{60}{\upsilon}=0\]

    \[\frac{720\upsilon }{12(\upsilon+10) \upsilon }+\frac{(\upsilon+10) \upsilon }{12(\upsilon+10) \upsilon }-\frac{720(\upsilon +10)}{12\upsilon(\upsilon+10)}=0\]

    \[\frac{720\upsilon+(\upsilon+10) \upsilon-720(\upsilon +10)}{12\upsilon(\upsilon+10)}=0\]

    \[\frac{(\upsilon+10) \upsilon-7200}{12\upsilon(\upsilon+10)}=0\]

    \[\upsilon^2+10 \upsilon-7200=0\]

Корни по Виету (-90) и 80, выбираем положительный.

Ответ: 80 км/ч.

 

Задача 4. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу, первый из пункта А, второй – из пункта В. До встречи пешеходов первый прошел на 1 км больше, чем второй. Первый пешеход прибыл в В через 45 мин после встречи, а второй прибыл в А через 1ч 20 мин после встречи. Найти расстояние от А до В.

Скорость первого пешехода такова, что за три четверти часа он прошел то расстояние, которое прошел второй до встречи:

    \[\upsilon_B t=\upsilon_A\cdot\frac{3}{4}\]

И наоборот, скорость второго такова, что расстояние, пройденное первым до встречи, он преодолевает за \frac{4}{3} часа:

    \[\upsilon_A t=\upsilon_B \cdot\frac{4}{3}\]

Тогда из первого уравнения

    \[\frac{\upsilon_A }{\upsilon_B }=\frac{4t}{3}\]

А из второго

    \[\frac{\upsilon_A }{\upsilon_B }=\frac{4}{3t}\]

Или

    \[\frac{4t}{3}=\frac{4}{3 t }\]

    \[12t^2=12\]

    \[t=1\]

Получили, что \frac{\upsilon_A }{\upsilon_B }=\frac{4}{3}.

Тогда до встречи первый прошел расстояние \upsilon_A\cdot 1, а второй \frac{3\upsilon_A}{4}\cdot 1. Разница между этими расстояниями  – 1 км, тогда

    \[\upsilon_A\cdot 1-\frac{3\upsilon_A}{4}\cdot 1=1\]

Откуда

    \[\frac{1\upsilon_A}{4}\cdot 1=1\]

И

    \[\upsilon_A=4\]

Полное расстояние между A и B равно \frac{7}{4}\upsilon_A или  7 км.

Ответ: 7 км.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *