Нетривиальные задачи на движение

[latexpage]

Попались хорошие задачи на движение. Задала ученице не глядя, а потом пришлось самой потратить время на решение… Понравились!

Задача 1. Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист, а навстречу ему одновременно из В в А выехал велосипедист. Мотоциклист прибыл в В через 2ч после встречи с велосипедистом, а велосипедист прибыл в А через 4,5 ч после встречи. Сколько часов они были в пути?

Мотоциклист до встречи проехал расстояние $\upsilon_m t$, где $t$ – время до встречи. Велосипедист до встречи проехал путь $\upsilon_v t$. Тогда именно это расстояние мотоциклист и преодолевает за 2 часа, а расстояние $\upsilon_m t$ велосипедист проезжает за 4,5 ч:

$$\upsilon_v=\frac{\upsilon_m t }{4,5}$$

$$\upsilon_m=\frac{\upsilon_v t }{2}$$

Тогда можно записать, что

$$\frac{\upsilon_v}{\upsilon_m }=\frac{t}{4,5}$$

Или из второго уравнения

$$\frac{\upsilon_v}{\upsilon_m }=\frac{2}{t}$$

То есть получается, что

$$\frac{t}{4,5}=\frac{2}{t}$$

$$t^2=9$$

$$t=3$$

То есть мотоциклист был в пути $2+3=5$ часов, а велосипедист $4,5+3=7,5$.

Ответ: 5ч   и 7,5 ч

Задача 2. Два поезда отправились одновременно в одном направлении из городов А и В, расстояние между которыми 60 км., и одновременно прибыли в город С. Если бы один из поездов увеличил скорость на 25 км/ч, а другой – на 20 км/ч, то оба поезда прибыли бы в С одновременно, но на два часа раньше. Найти скорости поездов.

Поезд из А проезжает расстояние $S$ (от В до С)  и еще плюс 60 км. Поезд из B – только расстояние $S$.  А времени у них уходит на это одинаковое количество:

$$\frac{S+60}{\upsilon_A }=\frac{S}{\upsilon_B }$$

Потом, когда скорости выросли, повторяется та же ситуация:

$$\frac{S+60}{\upsilon_A+25 }=\frac{S}{\upsilon_B +20}$$

То есть

$$\frac{\upsilon_A }{\upsilon_B }=\frac{\upsilon_A +25}{\upsilon_B +20}$$

Или можем переписать, пользуясь свойствами пропорции:

$$\frac{\upsilon_A +25}{\upsilon_A}=\frac{\upsilon_B +20}{\upsilon_B }$$

Откуда находим, что

$$\frac{25}{\upsilon_A}=\frac{20}{\upsilon_B }$$

Или

$$\upsilon_A=1,25\upsilon_B$$

Поезд  из A тратит на весь путь время $t=\frac{S+60}{\upsilon_A }$, а поезд из  $B$ – $t=\frac{S}{\upsilon_B }$, и прибывают они одновременно, то есть

$$\frac{S+60}{\upsilon_A }=\frac{S}{\upsilon_B }$$

$$\frac{S+60}{1,25\upsilon_B }=\frac{S}{\upsilon_B }$$

$$\frac{S+60}{1,25}=S$$

То есть 60 км – это четверть пути $S$. Если $S=240$, весь путь тогда 300 км.

Следовательно, из сравнения времени движения поезда A до увеличения скорости и после имеем:

$$\frac{300}{\upsilon_A }=\frac{300}{\upsilon_A +25}+2$$

$$\frac{300}{\upsilon_A }-\frac{300}{\upsilon_A +25}-2=0$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{300(\upsilon_A +25)}{\upsilon_A(\upsilon_A +25) }-\frac{300\upsilon_A }{\upsilon_A(\upsilon_A +25)}-\frac{2\upsilon_A(\upsilon_A +25)}{ \upsilon_A(\upsilon_A +25)}=0$$

$$\frac{300(\upsilon_A +25)-300\upsilon_A -2\upsilon_A(\upsilon_A +25)}{ \upsilon_A(\upsilon_A +25)}=0$$

Получили квадратное уравнение:

$$300\cdot25-2\upsilon_A^2-50\upsilon_A =0$$

$$\upsilon_A^2+25\upsilon_A -3750=0$$

Корни по Виету – 50 и (-75), выбираем положительный. Следовательно, скорость поезда из пункта $B$ равна $0,8\cdot50=40$ км/ч.

Ответ: 50 км/ч, 40 км/ч .

Задача 3. Поезд должен был пройти перегон в 120 км по расписанию с постоянной скоростью. Однако, пройдя половину перегона с этой скоростью, поезд остановился на 5 минут. Увеличив на второй половине перегона скорость на 10 км/ч, поезд вовремя прибыл в конечный пункт. Определить скорость поезда по расписанию.

Разобьем путь на два куска по 60 км. На преодоление первого у поезда ушло время $t_1=\frac{60}{\upsilon}$, а на второй кусок ушло время $t_2=\frac{60}{\upsilon+10}$. Время $t_2$ меньше времени $t_1$ на 5 минут, поэтому можно записать, что

$$t_2+\frac{5}{60}=t_1$$

Или

$$\frac{60}{\upsilon+10}+\frac{5}{60}=\frac{60}{\upsilon}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{60}{\upsilon+10}+\frac{1}{12}-\frac{60}{\upsilon}=0$$

$$\frac{720\upsilon }{12(\upsilon+10) \upsilon }+\frac{(\upsilon+10) \upsilon }{12(\upsilon+10) \upsilon }-\frac{720(\upsilon +10)}{12\upsilon(\upsilon+10)}=0$$

$$\frac{720\upsilon+(\upsilon+10) \upsilon-720(\upsilon +10)}{12\upsilon(\upsilon+10)}=0$$

$$\frac{(\upsilon+10) \upsilon-7200}{12\upsilon(\upsilon+10)}=0$$

$$\upsilon^2+10 \upsilon-7200=0$$

Корни по Виету (-90) и 80, выбираем положительный.

Ответ: 80 км/ч.

Задача 4. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу, первый из пункта А, второй – из пункта В. До встречи пешеходов первый прошел на 1 км больше, чем второй. Первый пешеход прибыл в В через 45 мин после встречи, а второй прибыл в А через 1ч 20 мин после встречи. Найти расстояние от А до В.

Скорость первого пешехода такова, что за три четверти часа он прошел то расстояние, которое прошел второй до встречи:

$$\upsilon_B t=\upsilon_A\cdot\frac{3}{4}$$

И наоборот, скорость второго такова, что расстояние, пройденное первым до встречи, он преодолевает за $\frac{4}{3}$ часа:

$$\upsilon_A t=\upsilon_B \cdot\frac{4}{3}$$

Тогда из первого уравнения

$$\frac{\upsilon_A }{\upsilon_B }=\frac{4t}{3}$$

А из второго

$$\frac{\upsilon_A }{\upsilon_B }=\frac{4}{3t}$$

Или

$$\frac{4t}{3}=\frac{4}{3 t }$$

$$12t^2=12$$

$$t=1$$

Получили, что $\frac{\upsilon_A }{\upsilon_B }=\frac{4}{3}$.

Тогда до встречи первый прошел расстояние $\upsilon_A\cdot 1$, а второй $\frac{3\upsilon_A}{4}\cdot 1$. Разница между этими расстояниями  – 1 км, тогда

$$\upsilon_A\cdot 1-\frac{3\upsilon_A}{4}\cdot 1=1$$

Откуда

$$\frac{1\upsilon_A}{4}\cdot 1=1$$

И

$$\upsilon_A=4$$

Полное расстояние между $A$ и $B$ равно $\frac{7}{4}\upsilon_A $ или  7 км.

Ответ: 7 км.