Нестандартные задачи

[latexpage]

Иногда встретишь пару -тройку задач, на которые в повседневности не наталкиваешься. Всегда интересно решить такую, додуматься, как это сделать.

Задача 1. Вычислите все возможные значения выражения $-8\varphi-3z$, если величины $\varphi$ и $z$ являются решением уравнения:

$$(112\varphi +73+49\varphi^2)\cdot(-12z+10+4z^2)-9=0$$

Поскольку в уравнении присутствуют две разные переменные, то перепишем его в таком виде:

$$(112\varphi +73+49\varphi^2)\cdot(-12z+10+4z^2)=9$$

Произведение двух множителей положительно и равно 9. Следовательно, если подбирать возможные варианты, то можно рассмотреть следующие: 1  и 9, 9 и 1, 3 и 3. Отрицательные варианты не рассматриваем, так как первый квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант, следовательно, он всегда положителен, при всех значениях переменной $\varphi$.

Также можно заметить, что трехчлен $112\varphi +64+49\varphi^2$ является полным квадратом:

$$112\varphi +73+49\varphi^2=(7\varphi+8)^2+9$$

А также можно заметить, что

$$-12z+10+4z^2=(2z-3)^2+1$$

То есть можно предположить, что

$$\begin{Bmatrix}{ 112\varphi +73 + 49\varphi^2=9 }\\{ -12z+10+4z^2=1}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ 112\varphi +64 + 49\varphi^2=0 }\\{ -12z+9+4z^2=0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ (7\varphi+8)^2=0 }\\{ (2z-3)^2=0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ \varphi=-\frac{8}{7}}\\{ z=1,5}\end{matrix}$$

Другие варианты дают отрицательный дискриминант, и корней не будет. Поэтому значение выражения будет равно:

$$-8\varphi-3z=8\cdot \frac{8}{7}-3\cdot1,5=\frac{64}{7}-\frac{9}{2}=\frac{64\cdot2-9\cdot7}{14}=\frac{65}{14}$$

Ответ: $\frac{65}{14}$.

Задача 2. В некоторой системе счисления квадрат числа записывается как 200010211. В той же системе счисления само число записывается как 11021. Найдите десятичную запись этого числа.

Вспомним двоичную систему. Числа в этой системе записываются с помощью нулей и единиц. В предложенной системе присутствуют и двойки также, поэтому логично предположить, что загаданная система – троичная. Попробуем определить загаданное число:

$$1\cdot 3^0+2\cdot 3^1+0+1\cdot 3^3+1\cdot 3^4+1\cdot 3^5=1+6+27+81=115$$

Проверим предположение, воспользовавшись тем, что дан квадрат числа:

$$1\cdot 3^0+1\cdot 3^1+2\cdot 3^2+1\cdot 3^4+2\cdot 3^8=1+3+18+81+13122=13225$$

Полученное число – как раз квадрат 115.

Ответ: 115.

Задача 3. Чему равно наибольшее значение, которое может принимать наибольший общий делитель чисел $17u+49$ и $21u+14$, где $u$ – натуральное число?

Можно предположить, что второе число может быть больше, чем первое, вследствие того, что коэффициент при $u$ больше. Применим алгоритм Евклида. Разделим большее на меньшее:

Задача 3. Рисунок 1.

Теперь, согласно алгоритму, возьмем предыдущий делитель и разделим на остаток:

Задача 3. Рисунок 2.

И еще раз повторим операцию:

Задача 3. Рисунок 3.

Алгоритм заканчивается числом 791, это и есть искомый делитель.

Ответ: 791.