Нестандартные задачи

Иногда встретишь пару -тройку задач, на которые в повседневности не наталкиваешься. Всегда интересно решить такую, додуматься, как это сделать.

Задача 1. Вычислите все возможные значения выражения , если величины и являются решением уравнения:

Поскольку в уравнении присутствуют две разные переменные, то перепишем его в таком виде:

Произведение двух множителей положительно и равно 9. Следовательно, если подбирать возможные варианты, то можно рассмотреть следующие: 1  и 9, 9 и 1, 3 и 3. Отрицательные варианты не рассматриваем, так как первый квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант, следовательно, он всегда положителен, при всех значениях переменной .

Также можно заметить, что трехчлен является полным квадратом:

А также можно заметить, что

То есть можно предположить, что

Другие варианты дают отрицательный дискриминант, и корней не будет. Поэтому значение выражения будет равно:

Ответ: .

Задача 2. В некоторой системе счисления квадрат числа записывается как 200010211. В той же системе счисления само число записывается как 11021. Найдите десятичную запись этого числа.

Вспомним двоичную систему. Числа в этой системе записываются с помощью нулей и единиц. В предложенной системе присутствуют и двойки также, поэтому логично предположить, что загаданная система – троичная. Попробуем определить загаданное число:

Проверим предположение, воспользовавшись тем, что дан квадрат числа:

Полученное число – как раз квадрат 115.

Ответ: 115.

Задача 3. Чему равно наибольшее значение, которое может принимать наибольший общий делитель чисел и , где – натуральное число?

Можно предположить, что второе число может быть больше, чем первое, вследствие того, что коэффициент при больше. Применим алгоритм Евклида. Разделим большее на меньшее:

Задача 3. Рисунок 1.

Теперь, согласно алгоритму, возьмем предыдущий делитель и разделим на остаток:

Задача 3. Рисунок 2.

И еще раз повторим операцию:

Задача 3. Рисунок 3.

Алгоритм заканчивается числом 791, это и есть искомый делитель.

Ответ: 791.