[latexpage]
Иногда встретишь пару -тройку задач, на которые в повседневности не наталкиваешься. Всегда интересно решить такую, додуматься, как это сделать.
Задача 1. Вычислите все возможные значения выражения $-8\varphi-3z$, если величины $\varphi$ и $z$ являются решением уравнения:
$$(112\varphi +73+49\varphi^2)\cdot(-12z+10+4z^2)-9=0$$
Поскольку в уравнении присутствуют две разные переменные, то перепишем его в таком виде:
$$(112\varphi +73+49\varphi^2)\cdot(-12z+10+4z^2)=9$$
Произведение двух множителей положительно и равно 9. Следовательно, если подбирать возможные варианты, то можно рассмотреть следующие: 1 и 9, 9 и 1, 3 и 3. Отрицательные варианты не рассматриваем, так как первый квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант, следовательно, он всегда положителен, при всех значениях переменной $\varphi$.
Также можно заметить, что трехчлен $112\varphi +64+49\varphi^2$ является полным квадратом:
$$112\varphi +73+49\varphi^2=(7\varphi+8)^2+9$$
А также можно заметить, что
$$-12z+10+4z^2=(2z-3)^2+1$$
То есть можно предположить, что
$$\begin{Bmatrix}{ 112\varphi +73 + 49\varphi^2=9 }\\{ -12z+10+4z^2=1}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{ 112\varphi +64 + 49\varphi^2=0 }\\{ -12z+9+4z^2=0}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{ (7\varphi+8)^2=0 }\\{ (2z-3)^2=0}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{ \varphi=-\frac{8}{7}}\\{ z=1,5}\end{matrix}$$
Другие варианты дают отрицательный дискриминант, и корней не будет. Поэтому значение выражения будет равно:
$$-8\varphi-3z=8\cdot \frac{8}{7}-3\cdot1,5=\frac{64}{7}-\frac{9}{2}=\frac{64\cdot2-9\cdot7}{14}=\frac{65}{14}$$
Ответ: $\frac{65}{14}$.
Задача 2. В некоторой системе счисления квадрат числа записывается как 200010211. В той же системе счисления само число записывается как 11021. Найдите десятичную запись этого числа.
Вспомним двоичную систему. Числа в этой системе записываются с помощью нулей и единиц. В предложенной системе присутствуют и двойки также, поэтому логично предположить, что загаданная система – троичная. Попробуем определить загаданное число:
$$1\cdot 3^0+2\cdot 3^1+0+1\cdot 3^3+1\cdot 3^4+1\cdot 3^5=1+6+27+81=115$$
Проверим предположение, воспользовавшись тем, что дан квадрат числа:
$$1\cdot 3^0+1\cdot 3^1+2\cdot 3^2+1\cdot 3^4+2\cdot 3^8=1+3+18+81+13122=13225$$
Полученное число – как раз квадрат 115.
Ответ: 115.
Задача 3. Чему равно наибольшее значение, которое может принимать наибольший общий делитель чисел $17u+49$ и $21u+14$, где $u$ – натуральное число?
Можно предположить, что второе число может быть больше, чем первое, вследствие того, что коэффициент при $u$ больше. Применим алгоритм Евклида. Разделим большее на меньшее:

Задача 3. Рисунок 1.
Теперь, согласно алгоритму, возьмем предыдущий делитель и разделим на остаток:

Задача 3. Рисунок 2.
И еще раз повторим операцию:

Задача 3. Рисунок 3.
Алгоритм заканчивается числом 791, это и есть искомый делитель.
Ответ: 791.
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...