Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Нестандартные задачи

Нестандартные задачи

Иногда встретишь пару -тройку задач, на которые в повседневности не наталкиваешься. Всегда интересно решить такую, додуматься, как это сделать.

Задача 1. Вычислите все возможные значения выражения -8\varphi-3z, если величины \varphi и z являются решением уравнения:

    \[(112\varphi +73+49\varphi^2)\cdot(-12z+10+4z^2)-9=0\]

Поскольку в уравнении присутствуют две разные переменные, то перепишем его в таком виде:

    \[(112\varphi +73+49\varphi^2)\cdot(-12z+10+4z^2)=9\]

Произведение двух множителей положительно и равно 9. Следовательно, если подбирать возможные варианты, то можно рассмотреть следующие: 1  и 9, 9 и 1, 3 и 3. Отрицательные варианты не рассматриваем, так как первый квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант, следовательно, он всегда положителен, при всех значениях переменной \varphi.

Также можно заметить, что трехчлен 112\varphi +64+49\varphi^2 является полным квадратом:

    \[112\varphi +73+49\varphi^2=(7\varphi+8)^2+9\]

А также можно заметить, что

    \[-12z+10+4z^2=(2z-3)^2+1\]

То есть можно предположить, что

    \[\begin{Bmatrix}{ 112\varphi +73 + 49\varphi^2=9 }\\{ -12z+10+4z^2=1}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ 112\varphi +64 + 49\varphi^2=0 }\\{ -12z+9+4z^2=0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ (7\varphi+8)^2=0 }\\{ (2z-3)^2=0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ \varphi=-\frac{8}{7}}\\{ z=1,5}\end{matrix}\]

Другие варианты дают отрицательный дискриминант, и корней не будет. Поэтому значение выражения будет равно:

    \[-8\varphi-3z=8\cdot \frac{8}{7}-3\cdot1,5=\frac{64}{7}-\frac{9}{2}=\frac{64\cdot2-9\cdot7}{14}=\frac{65}{14}\]

Ответ: \frac{65}{14}.

 

Задача 2. В некоторой системе счисления квадрат числа записывается как 200010211. В той же системе счисления само число записывается как 11021. Найдите десятичную запись этого числа.

Вспомним двоичную систему. Числа в этой системе записываются с помощью нулей и единиц. В предложенной системе присутствуют и двойки также, поэтому логично предположить, что загаданная система – троичная. Попробуем определить загаданное число:

    \[1\cdot 3^0+2\cdot 3^1+0+1\cdot 3^3+1\cdot 3^4+1\cdot 3^5=1+6+27+81=115\]

Проверим предположение, воспользовавшись тем, что дан квадрат числа:

    \[1\cdot 3^0+1\cdot 3^1+2\cdot 3^2+1\cdot 3^4+2\cdot 3^8=1+3+18+81+13122=13225\]

Полученное число – как раз квадрат 115.

Ответ: 115.

 

Задача 3. Чему равно наибольшее значение, которое может принимать наибольший общий делитель чисел 17u+49 и 21u+14, где u – натуральное число?

Можно предположить, что второе число может быть больше, чем первое, вследствие того, что коэффициент при u больше. Применим алгоритм Евклида. Разделим большее на меньшее:

Задача 3. Рисунок 1.

Теперь, согласно алгоритму, возьмем предыдущий делитель и разделим на остаток:

Задача 3. Рисунок 2.

И еще раз повторим операцию:

Задача 3. Рисунок 3.

Алгоритм заканчивается числом 791, это и есть искомый делитель.

Ответ: 791.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *