Нетонущие стаканы

Две задачи. Обе связаны с гидростатикой и газовыми законами. Обе – довольно сложны. Предлагаются время от времени на различных олимпиадах.

Задача 1. Стакан высотой см, наполненный на 2/3 водой, плавает в воде так, что его края находятся на уровне ее поверхности. Этот же стакан с воздухом, нагретым до , погружают в воду вверх дном, при этом стакан и воздух в нем охлаждаются до температуры воды, равной . На какую глубину надо погрузить стакан, чтобы он не всплывал и не тонул? Атмосферное давление Па. Давлением насыщенных паров в стакане пренебречь.

К задаче 1

Сначала запишем условие плавания стакана.

Здесь – масса стакана, – масса воды в нем.

Преобразуем:

( – плотность воды).

Теперь погрузим наш стакан в воду. Для воздуха, заключенного внутри, можно записать объединенный газовый закон:

Кстати, воздуха там по-прежнему треть объема. Поэтому условие плавания стакана будет выполнено в виде:

Давление воздуха в стакане получим из равенства:

То есть давление воздуха в стакане и столба воды, заключенной в нем, равно давлению атмосферы и столба воды снаружи.

Подставляя в объединенный газовый закон все «добытые» величины, получим:

Откуда

Ответ: 15 м 6 см.

Задача 2. Опрокинутый стакан высотой см погружается в воду так, что дно стакана оказывается вровень с уровнем жидкости. На каком уровне установится жидкость в стакане, если давление воздуха на поверхность воды равно атм?

К задаче 2

Начальный объем воздуха в стакане равен

Конечный объем после погружения

Так как про изменение температуры ничего не сказано, то будем считать процесс изотермическим:

Давление воздуха внутри погруженного стакана и столба воды в нем уравновешивается давлением атмосферы и столба воды вне стакана:

Подставим давление, полученное из закона Бойля-Мариотта:

Перепишем так:

Или, наконец,

Раскрываем скобки и сокращаем на :

Получили квадратное уравнение, дискриминант:

Корни уравнения:

Ответ: 8,4 мм.