Нетонущие стаканы

Две задачи. Обе связаны с гидростатикой и газовыми законами. Обе – довольно сложны. Предлагаются время от времени на различных олимпиадах.

Задача 1. Стакан высотой $h=9$ см, наполненный на 2/3 водой, плавает в воде так, что его края находятся на уровне ее поверхности. Этот же стакан с воздухом, нагретым до $87^{\circ}$ , погружают в воду вверх дном, при этом стакан и воздух в нем охлаждаются до температуры воды, равной $27^{\circ}$ . На какую глубину $H$ надо погрузить стакан, чтобы он не всплывал и не тонул? Атмосферное давление $p_0=10^5$ Па. Давлением насыщенных паров в стакане пренебречь.

К задаче 1

Сначала запишем условие плавания стакана.

$(m_{st}+m)g=F_A$

Здесь $m_{st}$ – масса стакана, $m$ – масса воды в нем.

Преобразуем:

$m_{st}g+mg=\rho g V$

( $\rho$ – плотность воды).

$m_{st}g+\rho \frac{2}{3}V g=\rho g V$

$m_{st}=\frac{1}{3}\rho V$

Теперь погрузим наш стакан в воду. Для воздуха, заключенного внутри, можно записать объединенный газовый закон:

$\frac{p_1 V_1}{T_1}=\frac{p_2 V_2}{T_2}$

Кстати, воздуха там по-прежнему треть объема. Поэтому условие плавания стакана будет выполнено в виде:

$m_{st}g=\rho g \frac{1}{3}V$

Давление воздуха в стакане получим из равенства:

$p_0+\rho g H=p+\rho g \frac{2h}{3}$

То есть давление воздуха в стакане и столба воды, заключенной в нем, равно давлению атмосферы и столба воды снаружи.

Подставляя в объединенный газовый закон все «добытые» величины, получим:

$\frac{p_0 hS}{T_1}=\frac{ \left(p_0+\rho g H -\rho g \frac{2h}{3}\right)\cdot\frac{hS}{3}}{T_2}$

Откуда

$H=\frac{p_0(3T_2-T_1)}{\rho g T_1}+\frac{2h}{3}=\frac{10^5(3\cdot 300-360)}{10^4\cdot360}+0,06=15,06$

Ответ: 15 м 6 см.

Задача 2. Опрокинутый стакан высотой $H=10$ см погружается в воду так, что дно стакана оказывается вровень с уровнем жидкости. На каком уровне $h$ установится жидкость в стакане, если давление воздуха на поверхность воды равно $p_0=0,1$ атм?