Нетонущие стаканы

[latexpage]

Две задачи. Обе связаны с гидростатикой и газовыми законами. Обе – довольно сложны. Предлагаются время от времени на различных олимпиадах.

Задача 1. Стакан высотой $h=9$ см, наполненный на 2/3 водой, плавает в воде так, что его края находятся на уровне ее поверхности. Этот же стакан с воздухом, нагретым до $87^{\circ}$, погружают в воду вверх дном, при этом стакан и воздух в нем охлаждаются до температуры воды, равной $27^{\circ}$. На какую глубину $H$ надо погрузить стакан, чтобы он не всплывал и не тонул? Атмосферное давление $p_0=10^5$ Па. Давлением насыщенных паров в стакане пренебречь.

К задаче 1

Сначала запишем условие плавания стакана.

$$(m_{st}+m)g=F_A$$

Здесь $ m_{st}$ – масса стакана, $m$ – масса воды в нем.

Преобразуем:

$$m_{st}g+mg=\rho g V$$

($\rho$ – плотность воды).

$$m_{st}g+\rho \frac{2}{3}V g=\rho g V$$

$$m_{st}=\frac{1}{3}\rho V$$

Теперь погрузим наш стакан в воду. Для воздуха, заключенного внутри, можно записать объединенный газовый закон:

$$\frac{p_1 V_1}{T_1}=\frac{p_2 V_2}{T_2}$$

Кстати, воздуха там по-прежнему треть объема. Поэтому условие плавания стакана будет выполнено в виде:

$$ m_{st}g=\rho g \frac{1}{3}V$$

Давление воздуха в стакане получим из равенства:

$$p_0+\rho g H=p+\rho g \frac{2h}{3}$$

То есть давление воздуха в стакане и столба воды, заключенной в нем, равно давлению атмосферы и столба воды снаружи.

Подставляя в объединенный газовый закон все «добытые» величины, получим:

$$\frac{p_0 hS}{T_1}=\frac{ \left(p_0+\rho g H -\rho g \frac{2h}{3}\right)\cdot\frac{hS}{3}}{T_2}$$

Откуда

$$H=\frac{p_0(3T_2-T_1)}{\rho g T_1}+\frac{2h}{3}=\frac{10^5(3\cdot 300-360)}{10^4\cdot360}+0,06=15,06$$

Ответ: 15 м 6 см.

Задача 2. Опрокинутый стакан высотой $H=10$ см погружается в воду так, что дно стакана оказывается вровень с уровнем жидкости. На каком уровне $h$ установится жидкость в стакане, если давление воздуха на поверхность воды равно $p_0=0,1$ атм?

К задаче 2

Начальный объем воздуха в стакане равен

$$V_0=SH$$

Конечный объем после погружения

$$V=S(H-h)$$

Так как про изменение температуры ничего не сказано, то будем считать процесс изотермическим:

$$p_0V_0=pV$$

Давление воздуха внутри погруженного стакана и столба воды в нем уравновешивается давлением атмосферы и столба воды вне стакана:

$$p_0+\rho g H=p+\rho g h$$

Подставим давление, полученное из закона Бойля-Мариотта:

$$p=\frac{ p_0V_0}{V}=\frac{p_0H}{H-h}$$

$$p_0+\rho g H=\frac{p_0H}{H-h}+\rho g h$$

Перепишем так:

$$\rho g H-\rho g h=\frac{p_0H}{H-h}-p_0$$

$$\rho g (H-h)= \frac{p_0h}{H-h}$$

Или, наконец,

$$p_0h=\rho g (H-h)^2$$

Раскрываем скобки и сокращаем на $\rho g$:

$$h^2-h\left(2H+\frac{p_0}{\rho g}\right)+H^2=0$$

Получили квадратное уравнение, дискриминант:

$$D=\left(2H+\frac{p_0}{\rho g}\right)^2-4H^2=1,4$$

Корни уравнения:

$$h=\frac{2H+\frac{p_0}{\rho g }\pm\sqrt{D}}{2}=0,0084$$

Ответ: 8,4 мм.