Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Давление, Изопроцессы

Нетонущие стаканы

Две задачи. Обе связаны с гидростатикой и газовыми законами. Обе – довольно сложны. Предлагаются время от времени на различных олимпиадах.

Задача 1. Стакан высотой h=9 см, наполненный на 2/3 водой, плавает в воде так, что его края находятся на уровне ее поверхности. Этот же стакан с воздухом, нагретым до 87^{\circ}, погружают в воду вверх дном, при этом стакан и воздух в нем охлаждаются до температуры воды, равной 27^{\circ}. На какую глубину H надо погрузить стакан, чтобы он не всплывал и не тонул? Атмосферное давление p_0=10^5 Па. Давлением насыщенных паров в стакане пренебречь.

К задаче 1

Сначала запишем условие плавания стакана.

    \[(m_{st}+m)g=F_A\]

Здесь m_{st} – масса стакана, m – масса воды в нем.

Преобразуем:

    \[m_{st}g+mg=\rho g V\]

(\rho – плотность воды).

    \[m_{st}g+\rho \frac{2}{3}V g=\rho g V\]

    \[m_{st}=\frac{1}{3}\rho V\]

Теперь погрузим наш стакан в воду. Для воздуха, заключенного внутри, можно записать объединенный газовый закон:

    \[\frac{p_1 V_1}{T_1}=\frac{p_2 V_2}{T_2}\]

Кстати, воздуха там по-прежнему треть объема. Поэтому условие плавания стакана будет выполнено в виде:

    \[m_{st}g=\rho g \frac{1}{3}V\]

Давление воздуха в стакане получим из равенства:

    \[p_0+\rho g H=p+\rho g \frac{2h}{3}\]

То есть давление воздуха в стакане и столба воды, заключенной в нем, равно давлению атмосферы и столба воды снаружи.

Подставляя в объединенный газовый закон все «добытые» величины, получим:

    \[\frac{p_0 hS}{T_1}=\frac{ \left(p_0+\rho g H -\rho g \frac{2h}{3}\right)\cdot\frac{hS}{3}}{T_2}\]

Откуда

    \[H=\frac{p_0(3T_2-T_1)}{\rho g T_1}+\frac{2h}{3}=\frac{10^5(3\cdot 300-360)}{10^4\cdot360}+0,06=15,06\]

Ответ: 15 м 6 см.

Задача 2. Опрокинутый стакан высотой H=10 см погружается в воду так, что дно стакана оказывается вровень с уровнем жидкости. На каком уровне h установится жидкость в стакане, если давление воздуха на поверхность воды равно p_0=0,1 атм?

К задаче 2

Начальный объем воздуха в стакане равен

    \[V_0=SH\]

Конечный объем после погружения

    \[V=S(H-h)\]

Так как про изменение температуры ничего не сказано, то будем считать процесс изотермическим:

    \[p_0V_0=pV\]

Давление воздуха внутри погруженного стакана и столба воды в нем уравновешивается давлением атмосферы и столба воды вне стакана:

    \[p_0+\rho g H=p+\rho g h\]

Подставим давление, полученное из закона Бойля-Мариотта:

    \[p=\frac{ p_0V_0}{V}=\frac{p_0H}{H-h}\]

    \[p_0+\rho g H=\frac{p_0H}{H-h}+\rho g h\]

Перепишем так:

    \[\rho g H-\rho g h=\frac{p_0H}{H-h}-p_0\]

    \[\rho g (H-h)= \frac{p_0h}{H-h}\]

Или, наконец,

    \[p_0h=\rho g (H-h)^2\]

Раскрываем скобки и сокращаем на \rho g:

    \[h^2-h\left(2H+\frac{p_0}{\rho g}\right)+H^2=0\]

Получили квадратное уравнение, дискриминант:

    \[D=\left(2H+\frac{p_0}{\rho g}\right)^2-4H^2=1,4\]

Корни уравнения:

    \[h=\frac{-2H-\frac{p_0}{\rho g }\pm\sqrt{D}}{2}=0,0084\]

Ответ: 8,4 мм.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *