[latexpage]
Две задачи. Обе связаны с гидростатикой и газовыми законами. Обе – довольно сложны. Предлагаются время от времени на различных олимпиадах.
Задача 1. Стакан высотой $h=9$ см, наполненный на 2/3 водой, плавает в воде так, что его края находятся на уровне ее поверхности. Этот же стакан с воздухом, нагретым до $87^{\circ}$, погружают в воду вверх дном, при этом стакан и воздух в нем охлаждаются до температуры воды, равной $27^{\circ}$. На какую глубину $H$ надо погрузить стакан, чтобы он не всплывал и не тонул? Атмосферное давление $p_0=10^5$ Па. Давлением насыщенных паров в стакане пренебречь.

К задаче 1
Сначала запишем условие плавания стакана.
$$(m_{st}+m)g=F_A$$
Здесь $ m_{st}$ – масса стакана, $m$ – масса воды в нем.
Преобразуем:
$$m_{st}g+mg=\rho g V$$
($\rho$ – плотность воды).
$$m_{st}g+\rho \frac{2}{3}V g=\rho g V$$
$$m_{st}=\frac{1}{3}\rho V$$
Теперь погрузим наш стакан в воду. Для воздуха, заключенного внутри, можно записать объединенный газовый закон:
$$\frac{p_1 V_1}{T_1}=\frac{p_2 V_2}{T_2}$$
Кстати, воздуха там по-прежнему треть объема. Поэтому условие плавания стакана будет выполнено в виде:
$$ m_{st}g=\rho g \frac{1}{3}V$$
Давление воздуха в стакане получим из равенства:
$$p_0+\rho g H=p+\rho g \frac{2h}{3}$$
То есть давление воздуха в стакане и столба воды, заключенной в нем, равно давлению атмосферы и столба воды снаружи.
Подставляя в объединенный газовый закон все «добытые» величины, получим:
$$\frac{p_0 hS}{T_1}=\frac{ \left(p_0+\rho g H -\rho g \frac{2h}{3}\right)\cdot\frac{hS}{3}}{T_2}$$
Откуда
$$H=\frac{p_0(3T_2-T_1)}{\rho g T_1}+\frac{2h}{3}=\frac{10^5(3\cdot 300-360)}{10^4\cdot360}+0,06=15,06$$
Ответ: 15 м 6 см.
Задача 2. Опрокинутый стакан высотой $H=10$ см погружается в воду так, что дно стакана оказывается вровень с уровнем жидкости. На каком уровне $h$ установится жидкость в стакане, если давление воздуха на поверхность воды равно $p_0=0,1$ атм?

К задаче 2
Начальный объем воздуха в стакане равен
$$V_0=SH$$
Конечный объем после погружения
$$V=S(H-h)$$
Так как про изменение температуры ничего не сказано, то будем считать процесс изотермическим:
$$p_0V_0=pV$$
Давление воздуха внутри погруженного стакана и столба воды в нем уравновешивается давлением атмосферы и столба воды вне стакана:
$$p_0+\rho g H=p+\rho g h$$
Подставим давление, полученное из закона Бойля-Мариотта:
$$p=\frac{ p_0V_0}{V}=\frac{p_0H}{H-h}$$
$$p_0+\rho g H=\frac{p_0H}{H-h}+\rho g h$$
Перепишем так:
$$\rho g H-\rho g h=\frac{p_0H}{H-h}-p_0$$
$$\rho g (H-h)= \frac{p_0h}{H-h}$$
Или, наконец,
$$p_0h=\rho g (H-h)^2$$
Раскрываем скобки и сокращаем на $\rho g$:
$$h^2-h\left(2H+\frac{p_0}{\rho g}\right)+H^2=0$$
Получили квадратное уравнение, дискриминант:
$$D=\left(2H+\frac{p_0}{\rho g}\right)^2-4H^2=1,4$$
Корни уравнения:
$$h=\frac{2H+\frac{p_0}{\rho g }\pm\sqrt{D}}{2}=0,0084$$
Ответ: 8,4 мм.
Комментариев - 4
Ваш ответ во второй задаче не сходится с ответом из учебника 3800. Скорее всего у вас завелась ошибка
Да, я знаю, что не сходится. Но ошибки я не нашла.
Здравствуйте, мы отправили Вам письмо с “задачкой” про поплавок внутри гидростатических весов Паскаля, проверьте почту пожалуйста
Вечный двигатель? Сами разбирайтесь, что у вас не так. Я время не хочу терять.