Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Несложные задачи с параметром “для разминки”

Представляю несколько задач с параметром, которые показались мне одновременно несложными и полезными.

 

Задача 1. Найти количество решений уравнения в зависимости от параметра a:

    \[\mid \mid x+2\mid -1 \mid=x+a\]

Решение. Левая часть – неподвижная галка. Правая – подвижная прямая, которая, не меняя коэффициента наклона, может смещаться вверх и вниз в зависимости от параметра. Построим:

Из рисунков видно, что при a \in (-\infty; 1) решений нет – прямая не пересекает галку, при a=1 – бесконечно много решений (целый общий отрезок), при a \in (1;3) – одно решение, при a=3 – снова общий отрезок, бесконечно много решений, и при a>3 – одно решение.

Задача 2. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых следующая система уравнений имеет единственное решение:

    \[\begin{Bmatrix}{ (x-3a-2)^2+(y-a+1)^2=25}\\{ (x-2a-1)^2+(y-a-1)^2=81}\end{matrix}\]

Решение: имеем две окружности постоянного радиуса, которые перемещаются по некоторым прямым (центры). Тогда одно решение может быть при внешнем касании (тогда сумма радиусов равна 14) или внутреннем (тогда разность радиусов равна 4). Первый случай:

    \[\sqrt{(3a+2-2a-1)^2+(a-1-a-1)^2}=14\]

    \[\sqrt{(a+1)^2+4}=14\]

    \[(a+1)^2=200\]

    \[a=-1\pm \sqrt{200}\]

Второй случай:

    \[\sqrt{(3a+2-2a-1)^2+(a-1-a-1)^2}=4\]

    \[\sqrt{(a+1)^2+4}=4\]

    \[(a+1)^2=20\]

    \[a=-1\pm \sqrt{20}\]

Ответ: a=-1\pm \sqrt{200}, a=-1\pm \sqrt{20}.

Задача 3. Найдите все значения a, при которых уравнение

    \[10a+\sqrt{-48+14x-x^2}=ax+1\]

имеет единственный корень.

Решение. Правая часть – подвижная прямая, которая зафиксирована в точке (0; 1), но меняет свой коэффициент наклона – пучок прямых. Левая часть – подвижная полуокружность:

    \[y=\sqrt{-48+14x-x^2}\]

    \[y^2=-48+14x-x^2\]

    \[x^2-14x+49+y^2=1\]

    \[(x-7)^2+y^2=1\]

Это полуокружность (верхняя часть), радиус которой равен 1, а центр перемещается по прямой x=7.

Единственное решение будет, если прямая коснется окружности, или пройдет так, как показано на рисунке, пересекая полуокружность единственный раз.

Самая правая точка полуокружности имеет координаты (8; 10a), поэтому, если прямая через нее проходит, можно записать (подставляем координаты точки в уравнение прямой):

    \[10a=8a+1\]

    \[2a=1\]

    \[a=\frac{1}{2}\]

Если прямая пройдет через самую левую точку полуокружности (координаты (6; 10a)), то точек контакта с прямой уже две. Это значение параметра нас не устроит, зато устроят все между ним и значением 0,5:

    \[10a=6a+1\]

    \[4a=1\]

    \[a=0,25\]

Таким образом, все a \in (0,25; 0,5] нас устраивают.

Также одно решение может быть при касании. Рассмотрим уравнение окружности

    \[(x-7)^2+(y-10a)^2=1\]

Подставим в него y=ax+1:

    \[(x-7)^2+(ax+1-10a)^2=1\]

И потребуем, чтобы дискриминант был равен нулю:

    \[x^2-14x+49+a^2x^2+ax-10a^2x+ax+1-10a-10a^2x-10a+100+a^2-1=0\]

    \[(a^2+1)x^2-x(14-2a+20a^2)+49-20a+100a^2=0\]

    \[D_1=(7-a-10a^2)^2-(a^2+1)(49-20a+100a^2)\]

    \[D_1=49-7a+70a^2-7a+a^2-10a^3+70a^2-10a^3+100a^4-(49a^2-20a^3+100a^4+49-20a+100a^2)\]

    \[D_1=6a-8a^2=0\]

Тогда a=0  – подходит, и a=0,75 – не подходит, потому что при таком a произойдет касание прямой и нижней части окружности – а ее у нас не существует. Таким образом, ответ:

a \in (0,25; 0,5]\cup \{0\}

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *