Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Неравенства (15 (С3))

Несложные неравенства профильного ЕГЭ

В статье собраны для вас четыре неравенства, которые являются несложными, но тем не менее достаточно интересными.

Задача 1. Решите неравенство:

    \[\log_{-9h+4} \frac{17}{19}-\log_{\sqrt[4]{-9h+4}} \frac{17}{19}>0\]

ОДЗ:

    \[\begin{Bmatrix}{-9h+4>0}\\{-9h+4 \neq 1}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{-9h>-4}\\{-9h\neq 3}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{h<\frac{4}{9}}\\{h\neq\frac{1}{3}}\end{matrix}\]

Перейдем к новому основанию:

    \[\frac{1}{\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)}-\frac{1}{\log_{\frac{17}{19}} \sqrt[4]{-9h+4}}>0\]

Избавимся от степени:

    \[\frac{1}{\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)}-\frac{1}{\frac{1}{4}\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)}>0\]

    \[-\frac{3}{\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)} >0\]

Чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть отрицательным:

    \[\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)<0\]

    \[\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)< \log_{\frac{17}{19}} 1\]

    \[-9h+4>1\]

    \[-9h>-3\]

    \[h<\frac{1}{3}\]

Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: h \in (-\infty; \frac{1}{3}).

Задача 2. Решите неравенство:

    \[(x^{-1}-(x+10)^{-1})^2<\frac{\mid x^2-10x \mid}{(x^2+10x)^2}\]

Преобразуем:

    \[\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x(x+10)}+\frac{1}{(x+10)^2}<\frac{\mid x^2-10x \mid}{(x^2+10x)^2}\]

    \[\frac{(x+10)^2-2x(x+10)+x^2}{(x^2+10x)^2}<\frac{\mid x^2-10x \mid}{(x^2+10x)^2}\]

    \[\frac{10^2 -\mid {x^2-10x}\mid}{(x^2+10x)^2}<0\]

Выясним, в каких точках модуль сменит знак: в этом неравенстве можно это сделать устно. Это точки 0 и 10. На интервалах (-\infty;0) и (10; \infty) снимем модуль с положительным знаком:

    \[\frac{10^2-x^2+10x}{(x^2+10x)^2}<0\]

Поменяем знак:

    \[\frac{ x^2- 10x -100}{(x^2+10x)^2}>0\]

В точках 0 и (-10) смены знака интервала не произойдет, так как это корни четной кратности. Поэтому решение

    \[\frac{ (x-5-5\sqrt{5})( x-5+5\sqrt{5})}{(x^2+10x)^2}>0\]

    \[x \in (-\infty; -10)\cup (-10; 5-5\sqrt{5})\cup (5+5\sqrt{5}; \infty)\]

На интервале (0;10) снимем модуль с отрицательным знаком:

    \[\frac{10^2+x^2-10x}{(x^2+10x)^2}<0\]

Знаменатель положителен, числитель в силу отрицательности дискриминанта и положительности коэффициента при старшей степени – тоже, то есть неравенство никогда не выполняется, решение – пустое множество.

Тогда наложим ранее полученное решение на ОДЗ.  ОДЗ неравенства сводится к двум выколотым точкам: x\neq 0, x\neq -10).

Ответ: x \in (-\infty; -10)\cup (-10; 5-5\sqrt{5})\cup (5+5\sqrt{5}; \infty)

Задача 3. Решите неравенство:

    \[\log_3 (x-1) \cdot \log_{x-1} (x+1) >\log_3^2 (x+1)\]

ОДЗ этого неравенства:x>1

Перейдем к основанию 3 во втором логарифме:

    \[\log_3 (x-1) \cdot \frac{\log_3 (x+1)}{\log_3 (x-1)} >\log_3^2 (x+1)\]

Благодаря ОДЗ определяем, что \log_3 (x-1)>0, поэтому

    \[(\log_3 (x+1))(1-\log_3 (x+1))>0\]

То есть либо \log_3 (x+1)=0, x+1=1, x=0,

Либо \log_3 (x+1)=1, x+1=3, x=2 – это наши точки, которые мы нанесем на числовую прямую. Расставив знаки интервалов, получаем промежуток (1;2), который подходит по ОДЗ.

Ответ: x \in (1,2).

 

Задача 4. Решите неравенство:

    \[\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{(h-2)^3}{-3h+3} -\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{-3h+3}{(h-2)}-20 \geqslant 0\]

Определим ОДЗ:

    \[\begin{Bmatrix}{-3h+3\neq 0}\\{\frac{-3h+3}{h-2}>0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{h\neq 1}\\{1<h<2}\end{matrix}\]

Решение:

    \[\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{(h-2)^4}{(-3h+3)^2} -20 \geqslant 0\]

    \[2\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{(h-2)^2}{\mid{-3h+3}\mid} \geqslant 20\]

    \[\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{(h-2)^2}{\mid{-3h+3}\mid} \geqslant 10\]

    \[\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{(h-2)^2}{\mid{-3h+3}\mid} \geqslant \log_{\sqrt[5]{5}} 25\]

    \[\frac{(h-2)^2}{\mid{-3h+3}\mid} \leqslant 25\]

    \[\frac{(h-2)^2}{\mid{-h+1}\mid} \leqslant 75\]

А далее надо снять модуль. При h<1 он снимется с положительным знаком, а при h>1 – с отрицательным, и при этом надо не забыть знак неравенства поменять.

Делаем! Рассматриваем промежуток h \in (-\infty; 1). А надо ли это делать? Ведь он не входит в ОДЗ! Вот вам преимущество предварительного  определения ОДЗ. Тогда снимаем модуль с отрицательным знаком:

    \[\frac{(h-2)^2}{h-1} \geqslant 75\]

    \[\frac{(h-2)^2-75(h-1)}{ h-1} \geqslant 0\]

    \[\frac{h^2-79h+79}{ h-1} \geqslant 0\]

    \[D=79^2-4\cdot 79=5925\]

    \[h_{1,2}=\frac{79 \pm \sqrt{5925}}{2}\]

Оба корня – положительные. Один меньше 1 и не попадает в интервал, на котором раскрывался модуль,  другой – попадает. Поэтому решение:

    \[h \in (1;39,5+\frac{\sqrt{5925}}{2})\]

Ответ: h \in (1;39,5+\frac{\sqrt{5925}}{2})

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *