[latexpage]
В статье собраны для вас четыре неравенства, которые являются несложными, но тем не менее достаточно интересными.
Задача 1. Решите неравенство:
$$\log_{-9h+4} \frac{17}{19}-\log_{\sqrt[4]{-9h+4}} \frac{17}{19}>0$$
ОДЗ:
$$\begin{Bmatrix}{-9h+4>0}\\{-9h+4 \neq 1}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{-9h>-4}\\{-9h\neq 3}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{h<\frac{4}{9}}\\{h\neq\frac{1}{3}}\end{matrix}$$
Перейдем к новому основанию:
$$\frac{1}{\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)}-\frac{1}{\log_{\frac{17}{19}} \sqrt[4]{-9h+4}}>0$$
Избавимся от степени:
$$\frac{1}{\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)}-\frac{1}{\frac{1}{4}\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)}>0$$
$$-\frac{3}{\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)} >0$$
Чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть отрицательным:
$$\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)<0$$
$$\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)< \log_{\frac{17}{19}} 1$$
$$-9h+4>1$$
$$-9h>-3$$
$$h<\frac{1}{3}$$
Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $h \in (-\infty; \frac{1}{3})$.
Задача 2. Решите неравенство:
$$(x^{-1}-(x+10)^{-1})^2<\frac{\mid x^2-10x \mid}{(x^2+10x)^2}$$
Преобразуем:
$$\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x(x+10)}+\frac{1}{(x+10)^2}<\frac{\mid x^2-10x \mid}{(x^2+10x)^2}$$
$$\frac{(x+10)^2-2x(x+10)+x^2}{(x^2+10x)^2}<\frac{\mid x^2-10x \mid}{(x^2+10x)^2}$$
$$\frac{10^2 -\mid {x^2-10x}\mid}{(x^2+10x)^2}<0$$
Выясним, в каких точках модуль сменит знак: в этом неравенстве можно это сделать устно. Это точки 0 и 10. На интервалах $(-\infty;0)$ и $(10; \infty)$ снимем модуль с положительным знаком:
$$\frac{10^2-x^2+10x}{(x^2+10x)^2}<0$$
Поменяем знак:
$$\frac{ x^2- 10x -100}{(x^2+10x)^2}>0$$
В точках 0 и (-10) смены знака интервала не произойдет, так как это корни четной кратности. Поэтому решение
$$\frac{ (x-5-5\sqrt{5})( x-5+5\sqrt{5})}{(x^2+10x)^2}>0$$
$$x \in (-\infty; -10)\cup (-10; 5-5\sqrt{5})\cup (5+5\sqrt{5}; \infty)$$
На интервале $(0;10)$ снимем модуль с отрицательным знаком:
$$\frac{10^2+x^2-10x}{(x^2+10x)^2}<0$$
Знаменатель положителен, числитель в силу отрицательности дискриминанта и положительности коэффициента при старшей степени – тоже, то есть неравенство никогда не выполняется, решение – пустое множество.
Тогда наложим ранее полученное решение на ОДЗ. ОДЗ неравенства сводится к двум выколотым точкам: $x\neq 0$, $x\neq -10)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -10)\cup (-10; 5-5\sqrt{5})\cup (5+5\sqrt{5}; \infty)$
Задача 3. Решите неравенство:
$$\log_3 (x-1) \cdot \log_{x-1} (x+1) >\log_3^2 (x+1)$$
ОДЗ этого неравенства:$x>1$
Перейдем к основанию 3 во втором логарифме:
$$\log_3 (x-1) \cdot \frac{\log_3 (x+1)}{\log_3 (x-1)} >\log_3^2 (x+1)$$
Благодаря ОДЗ определяем, что $\log_3 (x-1)>0$, поэтому
$$(\log_3 (x+1))(1-\log_3 (x+1))>0$$
То есть либо $\log_3 (x+1)=0$, $x+1=1$, $x=0$,
Либо $\log_3 (x+1)=1$, $x+1=3$, $x=2$ – это наши точки, которые мы нанесем на числовую прямую. Расставив знаки интервалов, получаем промежуток $(1;2)$, который подходит по ОДЗ.
Ответ: $x \in (1,2)$.
Задача 4. Решите неравенство:
$$\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{(h-2)^3}{-3h+3} -\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{-3h+3}{(h-2)}-20 \geqslant 0$$
Определим ОДЗ:
$$\begin{Bmatrix}{-3h+3\neq 0}\\{\frac{-3h+3}{h-2}>0}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{h\neq 1}\\{1<h<2}\end{matrix}$$
Решение:
$$\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{(h-2)^4}{(-3h+3)^2} -20 \geqslant 0$$
$$2\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{(h-2)^2}{\mid{-3h+3}\mid} \geqslant 20$$
$$\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{(h-2)^2}{\mid{-3h+3}\mid} \geqslant 10$$
$$\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{(h-2)^2}{\mid{-3h+3}\mid} \geqslant \log_{\sqrt[5]{5}} 25$$
$$\frac{(h-2)^2}{\mid{-3h+3}\mid} \leqslant 25$$
$$\frac{(h-2)^2}{\mid{-h+1}\mid} \leqslant 75$$
А далее надо снять модуль. При $h<1$ он снимется с положительным знаком, а при $h>1$ – с отрицательным, и при этом надо не забыть знак неравенства поменять.
Делаем! Рассматриваем промежуток $h \in (-\infty; 1)$. А надо ли это делать? Ведь он не входит в ОДЗ! Вот вам преимущество предварительного определения ОДЗ. Тогда снимаем модуль с отрицательным знаком:
$$\frac{(h-2)^2}{h-1} \geqslant 75$$
$$\frac{(h-2)^2-75(h-1)}{ h-1} \geqslant 0$$
$$\frac{h^2-79h+79}{ h-1} \geqslant 0$$
$$D=79^2-4\cdot 79=5925$$
$$h_{1,2}=\frac{79 \pm \sqrt{5925}}{2}$$
Оба корня – положительные. Один меньше 1 и не попадает в интервал, на котором раскрывался модуль, другой – попадает. Поэтому решение:
$$h \in (1;39,5+\frac{\sqrt{5925}}{2})$$
Ответ: $h \in (1;39,5+\frac{\sqrt{5925}}{2})$
Ждем-с. Скоро...
Скоро сайт заработает нормально. Сама жду-не...
Спасибо за раздел "Олимпиадная физика". Ваш сайт-лучший сайт на эту...
Пример 2. При х=2.5,...
Уважаемая Анна Валерьевна! Можно еще раз спросить Вас, почему формулы в Ваших...