Несложные неравенства профильного ЕГЭ

В статье собраны для вас четыре неравенства, которые являются несложными, но тем не менее достаточно интересными.

Задача 1. Решите неравенство:

$\log_{-9h+4} \frac{17}{19}-\log_{\sqrt[4]{-9h+4}} \frac{17}{19}>0$

ОДЗ:

$\begin{Bmatrix}{-9h+4>0}\\{-9h+4 \neq 1}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{-9h>-4}\\{-9h\neq 3}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{h<\frac{4}{9}}\\{h\neq\frac{1}{3}}\end{matrix}$

Перейдем к новому основанию:

$\frac{1}{\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)}-\frac{1}{\log_{\frac{17}{19}} \sqrt[4]{-9h+4}}>0$

Избавимся от степени:

$\frac{1}{\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)}-\frac{1}{\frac{1}{4}\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)}>0$

$-\frac{3}{\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)} >0$

Чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть отрицательным:

$\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)<0$

$\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)< \log_{\frac{17}{19}} 1$

$-9h+4>1$

$-9h>-3$

$h<\frac{1}{3}$

Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $h \in (-\infty; \frac{1}{3})$ .

Задача 2. Решите неравенство:

$(x^{-1}-(x+10)^{-1})^2<\frac{\mid x^2-10x \mid}{(x^2+10x)^2}$

Преобразуем:

$\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x(x+10)}+\frac{1}{(x+10)^2}<\frac{\mid x^2-10x \mid}{(x^2+10x)^2}$

$\frac{(x+10)^2-2x(x+10)+x^2}{(x^2+10x)^2}<\frac{\mid x^2-10x \mid}{(x^2+10x)^2}$

$\frac{10^2 -\mid {x^2-10x}\mid}{(x^2+10x)^2}<0$

Выясним, в каких точках модуль сменит знак: в этом неравенстве можно это сделать устно. Это точки 0 и 10. На интервалах $(-\infty;0)$ и $(10; \infty)$ снимем модуль с положительным знаком:

$\frac{10^2-x^2+10x}{(x^2+10x)^2}<0$

Поменяем знак:

$\frac{ x^2- 10x -100}{(x^2+10x)^2}>0$

В точках 0 и (-10) смены знака интервала не произойдет, так как это корни четной кратности. Поэтому решение

$\frac{ (x-5-5\sqrt{5})( x-5+5\sqrt{5})}{(x^2+10x)^2}>0$

$x \in (-\infty; -10)\cup (-10; 5-5\sqrt{5})\cup (5+5\sqrt{5}; \infty)$

На интервале $(0;10)$ снимем модуль с отрицательным знаком:

$\frac{10^2+x^2-10x}{(x^2+10x)^2}<0$

Знаменатель положителен, числитель в силу отрицательности дискриминанта и положительности коэффициента при старшей степени – тоже, то есть неравенство никогда не выполняется, решение – пустое множество.

Тогда наложим ранее полученное решение на ОДЗ. ОДЗ неравенства сводится к двум выколотым точкам: $x\neq 0$ , $x\neq -10)$ .

Ответ: $x \in (-\infty; -10)\cup (-10; 5-5\sqrt{5})\cup (5+5\sqrt{5}; \infty)$

Задача 3. Решите неравенство:

$\log_3 (x-1) \cdot \log_{x-1} (x+1) >\log_3^2 (x+1)$

ОДЗ этого неравенства: $x>1$

Перейдем к основанию 3 во втором логарифме:

$\log_3 (x-1) \cdot \frac{\log_3 (x+1)}{\log_3 (x-1)} >\log_3^2 (x+1)$

Благодаря ОДЗ определяем, что $\log_3 (x-1)>0$ , поэтому

$(\log_3 (x+1))(1-\log_3 (x+1))>0$

То есть либо $\log_3 (x+1)=0$ , $x+1=1$ , $x=0$ ,

Либо $\log_3 (x+1)=1$ , $x+1=3$ , $x=2$ – это наши точки, которые мы нанесем на числовую прямую. Расставив знаки интервалов, получаем промежуток $(1;2)$ , который подходит по ОДЗ.

Ответ: $x \in (1,2)$ .

Задача 4. Решите неравенство:

$\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{(h-2)^3}{-3h+3} -\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{-3h+3}{(h-2)}-20 \geqslant 0$

Определим ОДЗ:

$\begin{Bmatrix}{-3h+3\neq 0}\\{\frac{-3h+3}{h-2}>0}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{h\neq 1}\\{1<h<2}\end{matrix}$

Решение:

$\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{(h-2)^4}{(-3h+3)^2} -20 \geqslant 0$

$2\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{(h-2)^2}{\mid{-3h+3}\mid} \geqslant 20$

$\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{(h-2)^2}{\mid{-3h+3}\mid} \geqslant 10$

$\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{(h-2)^2}{\mid{-3h+3}\mid} \geqslant \log_{\sqrt[5]{5}} 25$

$\frac{(h-2)^2}{\mid{-3h+3}\mid} \leqslant 25$

$\frac{(h-2)^2}{\mid{-h+1}\mid} \leqslant 75$

А далее надо снять модуль. При $h<1$ он снимется с положительным знаком, а при $h>1$ – с отрицательным, и при этом надо не забыть знак неравенства поменять.

Делаем! Рассматриваем промежуток $h \in (-\infty; 1)$ . А надо ли это делать? Ведь он не входит в ОДЗ! Вот вам преимущество предварительного определения ОДЗ. Тогда снимаем модуль с отрицательным знаком: