Несложные неравенства профильного ЕГЭ

[latexpage]

В статье собраны для вас четыре неравенства, которые являются несложными, но тем не менее достаточно интересными.

Задача 1. Решите неравенство:

$$\log_{-9h+4} \frac{17}{19}-\log_{\sqrt[4]{-9h+4}} \frac{17}{19}>0$$

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{-9h+4>0}\\{-9h+4 \neq 1}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{-9h>-4}\\{-9h\neq 3}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{h<\frac{4}{9}}\\{h\neq\frac{1}{3}}\end{matrix}$$

Перейдем к новому основанию:

$$\frac{1}{\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)}-\frac{1}{\log_{\frac{17}{19}} \sqrt[4]{-9h+4}}>0$$

Избавимся от степени:

$$\frac{1}{\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)}-\frac{1}{\frac{1}{4}\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)}>0$$

$$-\frac{3}{\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)} >0$$

Чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть отрицательным:

$$\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)<0$$

$$\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)< \log_{\frac{17}{19}} 1$$

$$-9h+4>1$$

$$-9h>-3$$

$$h<\frac{1}{3}$$

Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $h \in (-\infty; \frac{1}{3})$.

Задача 2. Решите неравенство:

$$(x^{-1}-(x+10)^{-1})^2<\frac{\mid x^2-10x \mid}{(x^2+10x)^2}$$

Преобразуем:

$$\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x(x+10)}+\frac{1}{(x+10)^2}<\frac{\mid x^2-10x \mid}{(x^2+10x)^2}$$

$$\frac{(x+10)^2-2x(x+10)+x^2}{(x^2+10x)^2}<\frac{\mid x^2-10x \mid}{(x^2+10x)^2}$$

$$\frac{10^2 -\mid {x^2-10x}\mid}{(x^2+10x)^2}<0$$

Выясним, в каких точках модуль сменит знак: в этом неравенстве можно это сделать устно. Это точки 0 и 10. На интервалах $(-\infty;0)$ и $(10; \infty)$ снимем модуль с положительным знаком:

$$\frac{10^2-x^2+10x}{(x^2+10x)^2}<0$$

Поменяем знак:

$$\frac{ x^2- 10x -100}{(x^2+10x)^2}>0$$

В точках 0 и (-10) смены знака интервала не произойдет, так как это корни четной кратности. Поэтому решение

$$\frac{ (x-5-5\sqrt{5})( x-5+5\sqrt{5})}{(x^2+10x)^2}>0$$

$$x \in (-\infty; -10)\cup (-10; 5-5\sqrt{5})\cup (5+5\sqrt{5}; \infty)$$

На интервале $(0;10)$ снимем модуль с отрицательным знаком:

$$\frac{10^2+x^2-10x}{(x^2+10x)^2}<0$$

Знаменатель положителен, числитель в силу отрицательности дискриминанта и положительности коэффициента при старшей степени – тоже, то есть неравенство никогда не выполняется, решение – пустое множество.

Тогда наложим ранее полученное решение на ОДЗ.  ОДЗ неравенства сводится к двум выколотым точкам: $x\neq 0$, $x\neq -10)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -10)\cup (-10; 5-5\sqrt{5})\cup (5+5\sqrt{5}; \infty)$

Задача 3. Решите неравенство:

$$\log_3 (x-1) \cdot \log_{x-1} (x+1) >\log_3^2 (x+1)$$

ОДЗ этого неравенства:$x>1$

Перейдем к основанию 3 во втором логарифме:

$$\log_3 (x-1) \cdot \frac{\log_3 (x+1)}{\log_3 (x-1)} >\log_3^2 (x+1)$$

Благодаря ОДЗ определяем, что $\log_3 (x-1)>0$, поэтому

$$(\log_3 (x+1))(1-\log_3 (x+1))>0$$

То есть либо $\log_3 (x+1)=0$, $x+1=1$, $x=0$,

Либо $\log_3 (x+1)=1$, $x+1=3$, $x=2$ – это наши точки, которые мы нанесем на числовую прямую. Расставив знаки интервалов, получаем промежуток $(1;2)$, который подходит по ОДЗ.

Ответ: $x \in (1,2)$.

Задача 4. Решите неравенство:

$$\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{(h-2)^3}{-3h+3} -\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{-3h+3}{(h-2)}-20 \geqslant 0$$

Определим ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{-3h+3\neq 0}\\{\frac{-3h+3}{h-2}>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{h\neq 1}\\{1<h<2}\end{matrix}$$

Решение:

$$\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{(h-2)^4}{(-3h+3)^2} -20 \geqslant 0$$

$$2\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{(h-2)^2}{\mid{-3h+3}\mid} \geqslant 20$$

$$\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{(h-2)^2}{\mid{-3h+3}\mid} \geqslant 10$$

$$\log_{\sqrt[5]{5}} \frac{(h-2)^2}{\mid{-3h+3}\mid} \geqslant \log_{\sqrt[5]{5}} 25$$

$$\frac{(h-2)^2}{\mid{-3h+3}\mid} \leqslant 25$$

$$\frac{(h-2)^2}{\mid{-h+1}\mid} \leqslant 75$$

А далее надо снять модуль. При $h<1$ он снимется с положительным знаком, а при $h>1$ – с отрицательным, и при этом надо не забыть знак неравенства поменять.

Делаем! Рассматриваем промежуток $h \in (-\infty; 1)$. А надо ли это делать? Ведь он не входит в ОДЗ! Вот вам преимущество предварительного  определения ОДЗ. Тогда снимаем модуль с отрицательным знаком:

$$\frac{(h-2)^2}{h-1} \geqslant 75$$

$$\frac{(h-2)^2-75(h-1)}{ h-1} \geqslant 0$$

$$\frac{h^2-79h+79}{ h-1} \geqslant 0$$

$$D=79^2-4\cdot 79=5925$$

$$h_{1,2}=\frac{79 \pm \sqrt{5925}}{2}$$

Оба корня – положительные. Один меньше 1 и не попадает в интервал, на котором раскрывался модуль,  другой – попадает. Поэтому решение:

$$h \in (1;39,5+\frac{\sqrt{5925}}{2})$$

Ответ: $h \in (1;39,5+\frac{\sqrt{5925}}{2})$