Несложные неравенства профильного ЕГЭ

В статье собраны для вас четыре неравенства, которые являются несложными, но тем не менее достаточно интересными.

Задача 1. Решите неравенство:

ОДЗ:

Перейдем к новому основанию:

Избавимся от степени:

Чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть отрицательным:

Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: .

Задача 2. Решите неравенство:

Преобразуем:

Выясним, в каких точках модуль сменит знак: в этом неравенстве можно это сделать устно. Это точки 0 и 10. На интервалах и снимем модуль с положительным знаком:

Поменяем знак:

В точках 0 и (-10) смены знака интервала не произойдет, так как это корни четной кратности. Поэтому решение

На интервале снимем модуль с отрицательным знаком:

Знаменатель положителен, числитель в силу отрицательности дискриминанта и положительности коэффициента при старшей степени – тоже, то есть неравенство никогда не выполняется, решение – пустое множество.

Тогда наложим ранее полученное решение на ОДЗ.  ОДЗ неравенства сводится к двум выколотым точкам: , .

Ответ:

Задача 3. Решите неравенство:

ОДЗ этого неравенства:

Перейдем к основанию 3 во втором логарифме:

Благодаря ОДЗ определяем, что , поэтому

То есть либо , , ,

Либо , , – это наши точки, которые мы нанесем на числовую прямую. Расставив знаки интервалов, получаем промежуток , который подходит по ОДЗ.

Ответ: .

Задача 4. Решите неравенство:

Определим ОДЗ:

Решение:

А далее надо снять модуль. При он снимется с положительным знаком, а при – с отрицательным, и при этом надо не забыть знак неравенства поменять.

Делаем! Рассматриваем промежуток . А надо ли это делать? Ведь он не входит в ОДЗ! Вот вам преимущество предварительного  определения ОДЗ. Тогда снимаем модуль с отрицательным знаком:

Оба корня – положительные. Один меньше 1 и не попадает в интервал, на котором раскрывался модуль,  другой – попадает. Поэтому решение:

Ответ: