Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Несложная задача с параметром

Задача. Найдите все положительные значения параметра p, при каждом из которых система

    \[\begin{Bmatrix}{-7y+2x+4=0}\\{y-2<0}\\{y^2+x^2-p^2=0}\\{0-y\leqslant0}\end{matrix}\]

относительно величин x и y имеет ровно одно решение.

Упростим:

    \[\begin{Bmatrix}{y=\frac{2x+4}{7}}\\{y<2}\\{y^2+x^2=p^2}\\{y\geqslant0}\end{matrix}\]

Первое уравнение – уравнение прямой, оба коэффициента которой известны, следовательно, прямая «стационарна». Второе и четвертое неравенства задают две горизонтальные прямые и ограничивают область, в которой должно находиться решение, сверху и снизу, причем точки прямой y=2 в эту область не входят, что показано штриховкой. Третье уравнение задает окружность с центром в начале координат и переменным радиусом. Вот его-то величину нам и надо подобрать так, чтобы прямая и окружность пересекались лишь раз (или касались бы друг друга) и при этом в заданной области – в полосе от 0 до 2 по оси у.

Рассмотрим сначала касание.

Касание

Подобные треугольники

Треугольники EFC и EDC подобны.  Найдем искомый радиус DC из соотношения сходственных сторон:

    \[\frac{DC}{FC}=\frac{EC}{EF}\]

    \[DC=\frac{EC\cdot FC}{EF}\]

FC=\frac{4}{7}, это следует из уравнения прямой. При подстановке в это же уравнение нуля вместо координаты y найдем EC:

    \[0=\frac{2 EC+4}{7}\]

    \[EC=-2\]

Надо заметить, что далее нас будет интересовать модуль EC, то есть просто длина отрезка, а не координата.

EF можно найти по теореме Пифагора:

    \[EF^2=EC^2+FC^2=4+\frac{16}{49}\]

    \[EF=\sqrt{\frac{4\cdot49+16}{49}}=\sqrt{\frac{212}{49}}=\frac{2\sqrt{53}}{7}\]

Теперь можно найти радиус окружности в случае касания окружности и прямой:

    \[DC=\frac{EC\cdot FC}{EF}=\frac{2\cdot \frac{4}{7}}{\frac{2\sqrt{53}}{7}}=\frac{4}{\sqrt{53}}\]

После касания, если радиус будет расти, то произойдет пересечение окружности и прямой. Прямая из касательной станет секущей, и нам надо уловит момент, когда только одна из точек, образующих хорду сечения, останется в голубой области. Очевидно, это произойдет, когда радиус окружности станет больше, чем EC.

Одна из точек покидает голубую зону

И такое пересечение будет существовать в голубой области, пока радиус не станет больше отрезка AC. Длину AC найдем из условия пересечения прямой y=\frac{2x+4}{7} с прямой y=2:

    \[2=\frac{2x+4}{7}\]

    \[2x+4=14\]

    \[x=5\]

Тогда

    \[AC^2=CP^2+AP^2=5^2+2^2=29\]

    \[AC=\sqrt{29}\]

Вторая точка покинет голубую зону, когда радиус станет раdным AC

Наконец, формулируем ответ: нас устраивает значение параметра (длина радиуса окружности), при котором происходит касание – это p=\frac{4}{\sqrt{53}}, а также все длины радиусов от 2 до \sqrt{29}.

Ответ: p \in {\frac{4}{\sqrt{53}}} \cup (2; \sqrt{29}).

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *