Несложная задача с параметром

Задача. Найдите все положительные значения параметра , при каждом из которых система

относительно величин и имеет ровно одно решение.

Упростим:

Первое уравнение – уравнение прямой, оба коэффициента которой известны, следовательно, прямая «стационарна». Второе и четвертое неравенства задают две горизонтальные прямые и ограничивают область, в которой должно находиться решение, сверху и снизу, причем точки прямой в эту область не входят, что показано штриховкой. Третье уравнение задает окружность с центром в начале координат и переменным радиусом. Вот его-то величину нам и надо подобрать так, чтобы прямая и окружность пересекались лишь раз (или касались бы друг друга) и при этом в заданной области – в полосе от 0 до 2 по оси у.

Рассмотрим сначала касание.

Касание

Подобные треугольники

Треугольники и подобны.  Найдем искомый радиус из соотношения сходственных сторон:

, это следует из уравнения прямой. При подстановке в это же уравнение нуля вместо координаты найдем :

Надо заметить, что далее нас будет интересовать модуль , то есть просто длина отрезка, а не координата.

можно найти по теореме Пифагора:

Теперь можно найти радиус окружности в случае касания окружности и прямой:

После касания, если радиус будет расти, то произойдет пересечение окружности и прямой. Прямая из касательной станет секущей, и нам надо уловит момент, когда только одна из точек, образующих хорду сечения, останется в голубой области. Очевидно, это произойдет, когда радиус окружности станет больше, чем .

Одна из точек покидает голубую зону

И такое пересечение будет существовать в голубой области, пока радиус не станет больше отрезка . Длину найдем из условия пересечения прямой с прямой :

Тогда

Вторая точка покинет голубую зону, когда радиус станет раdным AC

Наконец, формулируем ответ: нас устраивает значение параметра (длина радиуса окружности), при котором происходит касание – это , а также все длины радиусов от 2 до .

Ответ: .