Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 18 (С5)

Несложная задача 20 (С5). Графическое решение.



Всех с Новым Годом!  Чем еще заниматься 1 января, как не математикой? )) Разберем простенькую задачку.

При каком значении параметра а уравнение delim{|}{delim{|}{3^{x+2}-5}{|}-2}{|}=a имеет наибольшее количество решений?

Решить такую задачу можно, построив два графика: y=delim{|}{delim{|}{3^{x+2}-5}{|}-2}{|} и y=a. Второй из них – прямая, параллельная оси х. Тогда, двигая такую прямую вверх-вниз, можно найти такой диапазон значений параметра а, где пересечений графиков будет наибольшее количество – такой диапазон и будет ответом.

Начинаем строить график  y=delim{|}{delim{|}{3^{x+2}-5}{|}-2}{|}, и делать это будем поэтапно.

1. Начнем “изнутри” – построим график y=3^x:

 

2. Теперь построим график y=3^{x+2}. Для того, чтобы из уже построенного нами графика получить второй, просто сдвигаем все точки влево на 2 единицы:

3. Теперь надо сдвинуть наш график вниз на 5 единиц, и тогда получим график y=3^{x+2}-5:

Найдем координаты точки, в которой график пересекает ось абсцисс: 3^{x+2}-5=0

3^{x+2}=5

9*3^x=5

3^x=5/9

x=log_3 {5/9}. Координаты точки пересечения графика с осью х {log_3 {5/9}, 0}

4. Строим дальше. Чтобы получить график функции  y=delim{|}{3^{x+2}-5}{|}, нужно отразить всю часть графика, располагающуюся ниже оси х, вверх:

5. Получившийся график опускаем на 2 единицы вниз, и получим график  y=delim{|}{3^{x+2}-5}{|}-2:

Можем определить координаты наинизшей точки графика, просто изменив ординату на 2 единицы: {x=log_3 {5/9}, -2}. Если кому-то любопытно определить координаты точек пересечения с осью х, то для этого необходимо решить уравнения:

 3^{x+2}-7=0 – для точки, расположенной ближе к началу координат. Решение дает {log_3 {7/9}, 0}

 -3^{x+2}+3=0 – для точки, расположенной дольше от начала координат. Решение дает {-1, 0}. Но эти точки нам совсем не пригодятся для решения этой задачи.

Интереснее найти ординату пересечения графика с осью у, для этого просто подставим ноль в уравнение y=3^{x+2}-7. Тогда y=3^{2}-7=2

6. Наконец, последнее преобразование графика: строим график y=delim{|}{delim{|}{3^{x+2}-5}{|}-2}{|} – для этого вновь отразим всю часть графика, расположенную ниже оси х, вверх:

Теперь уже видно решение: если параметр a<0, то решений нет. Если параметр a=0, то прямая y=0 два раза пересечет построенную нами кривую (коснется нижних пиков графика). Если  параметр a>0″ title=”a>0″/><img src=,  то решений будет 4 – и это наибольшее количество. Так будет до a=2 – тут имеем три решения. Если a>2″ title=”a>2″/><img src=, то прямая y=a пересечет наш график два раза, и два решения будет до a=3. При a>=3″ title=”a>=3″/><img src= решение одно.

 

Итак, ответ: a in (0;2).



Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *