Несложная задача 20 (С5). Графическое решение.

Всех с Новым Годом! Чем еще заниматься 1 января, как не математикой? )) Разберем простенькую задачку.

При каком значении параметра а уравнение $delim{|}{delim{|}{3^{x+2}-5}{|}-2}{|}=a$ имеет наибольшее количество решений?

Решить такую задачу можно, построив два графика: $y=delim{|}{delim{|}{3^{x+2}-5}{|}-2}{|}$ и y=a . Второй из них – прямая, параллельная оси х. Тогда, двигая такую прямую вверх-вниз, можно найти такой диапазон значений параметра а, где пересечений графиков будет наибольшее количество – такой диапазон и будет ответом.

Начинаем строить график $y=delim{|}{delim{|}{3^{x+2}-5}{|}-2}{|}$ , и делать это будем поэтапно.

1. Начнем “изнутри” – построим график y=3^x :

2. Теперь построим график $y=3^{x+2}$ . Для того, чтобы из уже построенного нами графика получить второй, просто сдвигаем все точки влево на 2 единицы:

3. Теперь надо сдвинуть наш график вниз на 5 единиц, и тогда получим график $y=3^{x+2}-5$ :

Найдем координаты точки, в которой график пересекает ось абсцисс: $3^{x+2}-5=0$

$3^{x+2}=5$

9*3^x=5

3^x=5/9

$x=log_3 {5/9}$ . Координаты точки пересечения графика с осью х { $log_3 {5/9}$ , 0}

4. Строим дальше. Чтобы получить график функции $y=delim{|}{3^{x+2}-5}{|}$ , нужно отразить всю часть графика, располагающуюся ниже оси х, вверх:

5. Получившийся график опускаем на 2 единицы вниз, и получим график $y=delim{|}{3^{x+2}-5}{|}-2$ :

Можем определить координаты наинизшей точки графика, просто изменив ординату на 2 единицы: { $x=log_3 {5/9}$ , -2}. Если кому-то любопытно определить координаты точек пересечения с осью х, то для этого необходимо решить уравнения:

$3^{x+2}-7=0$ – для точки, расположенной ближе к началу координат. Решение дает { $log_3 {7/9}$ , 0}

$-3^{x+2}+3=0$ – для точки, расположенной дольше от начала координат. Решение дает {-1, 0}. Но эти точки нам совсем не пригодятся для решения этой задачи.

Интереснее найти ординату пересечения графика с осью у, для этого просто подставим ноль в уравнение $y=3^{x+2}-7$ . Тогда $y=3^{2}-7=2$

6. Наконец, последнее преобразование графика: строим график $y=delim{|}{delim{|}{3^{x+2}-5}{|}-2}{|}$ – для этого вновь отразим всю часть графика, расположенную ниже оси х, вверх:

Теперь уже видно решение: если параметр a<0 , то решений нет. Если параметр a=0 , то прямая y=0 два раза пересечет построенную нами кривую (коснется нижних пиков графика). Если параметр a>0″ title=”a>0″/><img src= , то решений будет 4 – и это наибольшее количество. Так будет до a=2 – тут имеем три решения. Если a>2″ title=”a>2″/><img src= , то прямая y=a пересечет наш график два раза, и два решения будет до a=3 . При a>=3″ title=”a>=3″/><img src= решение одно.