Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Несложная стереометрическая задачка с шестиугольной пирамидой

Задачу прислала ученица, которая с ней не справилась. Построение сечений пирамид у многих вызывает затруднения, особенно если пирамида шестиугольная. Поэтому очень советую посмотреть статьи на эту тему: построение сечения шестиугольной пирамиды, построение сечения четырехугольной пирамиды, сложные случаи построения сечений.

Задача. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую AB и середину высоты SH пирамиды.

б) Пусть K – точка пересечения этой плоскости с ребром SC. Найдите угол между прямой BK и плоскостью ASB, если AB:AS=1:2.

Построим сначала сечение. Для этого определим основание высоты пирамиды H: это точка пересечения отрезков BE, AD, CF. Построим высоту SH и определим ее середину P. Через точку P проведем прямую, параллельную AB. Она пересечет ребра CS и SF в точках K и L.  Построим апофемы SJ и SR. Через точку J пересечения апофемы SJ с ребром AB и точку P проведем прямую, и найдем точку пересечения этой прямой с апофемой SRN. Через полученную точку N проведем прямую, параллельную AB, и найдем точки пересечения этой прямой с ребрами SD и SEI и M. Соединяя точки M, L, A, B, K, I получим многоугольник сечения.

Определим теперь угол между прямой BK и плоскостью ASB. Так как KL является средней линией треугольника  CSF, то KL=a=AB (стороне основания пирамиды). Кроме того, KL \parallel AB. Таким образом, ABKL – прямоугольник. Следовательно, BK \parallel JP. Тогда искомый угол – SJP. Чтобы найти этот угол, определим длины некоторых отрезков: SJ, JH, SH, SP.

Треугольник ABH – равносторонний со стороной a, JH – его высота:

    \[JH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]

Так как SA=2a, а AH=a, то

    \[SH=\sqrt{(2a)^2-a^2}=a\sqrt{3}\]

Теперь апофема:

    \[SJ=\sqrt{SA^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\sqrt{4a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{15}}{2}\]

Длина половины высоты пирамиды:

    \[SP=PH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]

Площадь треугольника SJP можно найти двумя способами:

    \[2S=JS\cdot h=SP\cdot JH\]

Где h – расстояние от точки P до прямой SJ. Определим h:

    \[h=\frac{ SP\cdot JH }{ JS } =\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{15}}{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}\]

Определим JP: треугольник JHP прямоугольный и равнобедренный, поэтому JP=PH\cdot \sqrt{2}=a\sqrt{\frac{2}{3}}.

Тогда синус искомого угла равен:

    \[\sin SJP=\frac{h}{JP}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\]

То же самое можно найти и координатным методом: введем систему координат так, что ее начало расположено в точке  J, ось x направлена вдоль AB (от B к A), ось y – вдоль прямой JH, ось z – вверх. Тогда координаты точек J(0; 0; 0), A(\frac{a}{2}; 0; 0), B(-\frac{a}{2}; 0; 0), K(-\frac{a}{2}; \frac{a\sqrt{3}}{2}; -\frac{a\sqrt{3}}{2}), S(0; \frac{a\sqrt{3}}{2}; a\sqrt{3}).

Координаты  направляющего вектора прямой BK (0; \frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}). Определим уравнение плоскости ASB:

    \[\begin{Bmatrix} {-\frac{a}{2}\cdotA=0}\\{\frac{a\sqrt{3}}{2}B+\frac{a\sqrt{3}}{2}C=0}\end{matrix}\]

Откуда A=0 и C=-\frac{B}{2}. Тогда координаты нормали к плоскости ASB : \vec{n} (0; 1; -2), а искомый угол

    \[\sin SJP=\cos{\alpha}=\frac{\vec{n}\cdot \vec{BK}}{\mid \vec{n} \mid \cdot \mid \vec{BK}\mid}=\frac{ \mid \frac{a\sqrt{3}}{2}- a\sqrt{3} \mid}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}}}=\frac{ a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{5}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\]

Ответ: \sin SJP=\frac{1}{\sqrt{10}}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *