Несложная стереометрическая задачка с шестиугольной пирамидой

Задачу прислала ученица, которая с ней не справилась. Построение сечений пирамид у многих вызывает затруднения, особенно если пирамида шестиугольная. Поэтому очень советую посмотреть статьи на эту тему: построение сечения шестиугольной пирамиды, построение сечения четырехугольной пирамиды, сложные случаи построения сечений.

Задача. Дана правильная шестиугольная пирамида с вершиной .

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую и середину высоты пирамиды.

б) Пусть – точка пересечения этой плоскости с ребром . Найдите угол между прямой и плоскостью , если .

Построим сначала сечение. Для этого определим основание высоты пирамиды : это точка пересечения отрезков . Построим высоту и определим ее середину . Через точку проведем прямую, параллельную . Она пересечет ребра и в точках и .  Построим апофемы и . Через точку пересечения апофемы с ребром и точку проведем прямую, и найдем точку пересечения этой прямой с апофемой – . Через полученную точку проведем прямую, параллельную , и найдем точки пересечения этой прямой с ребрами и – и . Соединяя точки получим многоугольник сечения.

Определим теперь угол между прямой и плоскостью . Так как является средней линией треугольника  , то (стороне основания пирамиды). Кроме того, . Таким образом, – прямоугольник. Следовательно, . Тогда искомый угол – . Чтобы найти этот угол, определим длины некоторых отрезков: .

Треугольник – равносторонний со стороной , – его высота:

Так как , а , то

Теперь апофема:

Длина половины высоты пирамиды:

Площадь треугольника можно найти двумя способами:

Где – расстояние от точки до прямой . Определим :

Определим : треугольник прямоугольный и равнобедренный, поэтому .

Тогда синус искомого угла равен:

То же самое можно найти и координатным методом: введем систему координат так, что ее начало расположено в точке  , ось направлена вдоль (от к ), ось – вдоль прямой , ось – вверх. Тогда координаты точек .

Координаты  направляющего вектора прямой . Определим уравнение плоскости :

Откуда и . Тогда координаты нормали к плоскости : , а искомый угол

Ответ: .