Несложная стереометрическая задачка с шестиугольной пирамидой

Задачу прислала ученица, которая с ней не справилась. Построение сечений пирамид у многих вызывает затруднения, особенно если пирамида шестиугольная. Поэтому очень советую посмотреть статьи на эту тему: построение сечения шестиугольной пирамиды, построение сечения четырехугольной пирамиды, сложные случаи построения сечений.

Задача. Дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ с вершиной $S$ .

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую $AB$ и середину высоты $SH$ пирамиды.

б) Пусть $K$ – точка пересечения этой плоскости с ребром $SC$ . Найдите угол между прямой $BK$ и плоскостью $ASB$ , если $AB:AS=1:2$ .

Построим сначала сечение. Для этого определим основание высоты пирамиды $H$ : это точка пересечения отрезков $BE, AD, CF$ . Построим высоту $SH$ и определим ее середину $P$ . Через точку $P$ проведем прямую, параллельную $AB$ . Она пересечет ребра $CS$ и $SF$ в точках $K$ и $L$ . Построим апофемы $SJ$ и $SR$ . Через точку $J$ пересечения апофемы $SJ$ с ребром $AB$ и точку $P$ проведем прямую, и найдем точку пересечения этой прямой с апофемой $SR$ – $N$ . Через полученную точку $N$ проведем прямую, параллельную $AB$ , и найдем точки пересечения этой прямой с ребрами $SD$ и $SE$ – $I$ и $M$ . Соединяя точки $M, L, A, B, K, I$ получим многоугольник сечения.

Стереом_Вера

Определим теперь угол между прямой $BK$ и плоскостью $ASB$ . Так как $KL$ является средней линией треугольника $CSF$ , то $KL=a=AB$ (стороне основания пирамиды). Кроме того, $KL \parallel AB$ . Таким образом, $ABKL$ – прямоугольник. Следовательно, $BK \parallel JP$ . Тогда искомый угол – $SJP$ . Чтобы найти этот угол, определим длины некоторых отрезков: $SJ, JH, SH, SP$ .

Треугольник $ABH$ – равносторонний со стороной $a$ , $JH$ – его высота:

$JH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Так как $SA=2a$ , а $AH=a$ , то

$SH=\sqrt{(2a)^2-a^2}=a\sqrt{3}$

Теперь апофема:

$SJ=\sqrt{SA^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\sqrt{4a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{15}}{2}$

Длина половины высоты пирамиды:

$SP=PH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Площадь треугольника $SJP$ можно найти двумя способами:

$2S=JS\cdot h=SP\cdot JH$

Где $h$ – расстояние от точки $P$ до прямой $SJ$ . Определим $h$ :

$h=\frac{ SP\cdot JH }{ JS } =\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{15}}{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}$

Определим $JP$ : треугольник $JHP$ прямоугольный и равнобедренный, поэтому $JP=PH\cdot \sqrt{2}=a\sqrt{\frac{2}{3}}$ .

Тогда синус искомого угла равен:

$\sin SJP=\frac{h}{JP}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$

То же самое можно найти и координатным методом: введем систему координат так, что ее начало расположено в точке $J$ , ось $x$ направлена вдоль $AB$ (от $B$ к $A$ ), ось $y$ – вдоль прямой $JH$ , ось $z$ – вверх. Тогда координаты точек $J(0; 0; 0), A(\frac{a}{2}; 0; 0), B(-\frac{a}{2}; 0; 0), K(-\frac{a}{2}; \frac{a\sqrt{3}}{2}; -\frac{a\sqrt{3}}{2}), S(0; \frac{a\sqrt{3}}{2}; a\sqrt{3})$ .

Координаты направляющего вектора прямой $BK (0; \frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2})$ . Определим уравнение плоскости $ASB$ :

$\begin{Bmatrix} {-\frac{a}{2}\cdotA=0}\\{\frac{a\sqrt{3}}{2}B+\frac{a\sqrt{3}}{2}C=0}\end{matrix}$

Откуда $A=0$ и $C=-\frac{B}{2}$ . Тогда координаты нормали к плоскости $ASB$ : $\vec{n} (0; 1; -2)$ , а искомый угол

$\sin SJP=\cos{\alpha}=\frac{\vec{n}\cdot \vec{BK}}{\mid \vec{n} \mid \cdot \mid \vec{BK}\mid}=\frac{ \mid \frac{a\sqrt{3}}{2}- a\sqrt{3} \mid}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}}}=\frac{ a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{5}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$

Ответ: $\sin SJP=\frac{1}{\sqrt{10}}$ .

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Июн
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

Несложная стереометрическая задачка с шестиугольной пирамидой

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы