Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Астрономия

Несколько разных задач по астрономии

Решим несколько задач по астрономии. Меня попросили помочь с ними, я решила оформить решение.

 

Задача 1. Определите, во сколько раз диаметр галактики больше а) Солнечной системы; б) ближайшей к Солнцу звезды; в) звездных скоплений.

Решение: диаметр Галактики равен примерно 100000 св. лет, в то время как диаметр Солнечной системы (будем считать диаметром диаметр сферы Хилла, то есть расстояние, на котором объект еще может удержать свой спутник) примерно 4 св. года (расстояния отличаются в 25000 раз). До ближайшей звезды Проксима Центавра тоже около 4 св. лет.

Диаметр звездного скопления может колебаться от 20 до 60 пк, что составляет 65-200 св. лет (диаметр галактики больше в 500 раз).

 

Задача 2. Лучевая скорость звезды равна 10 км/с, ее перемещение на фоне далеких звезд составляет 0,1’’ в год. Расстояние до звезды – 60 св. лет. Вычислите полную скорость звезды.

Решение: одна из составляющих скорости дана, нам осталось вычислить тангенциальную скорость и затем полную. Тангенциальная скорость звезды равна

    \[\upsilon_{\tau}=4,74\mu \cdot r\]

Где \mu – собственное движение в с, а r – расстояние до звезды в пк.

    \[\upsilon_{\tau}=4,74\cdot 0,1 \cdot \frac{60}{3,26}=8,72\]

Получена тангенциальная скорость звезды в км/с. Определяем полную скорость:

    \[\upsilon=\sqrt{\upsilon_{\tau}^2+\upsilon_l^2}=\sqrt{8,72^2+10^2}=13,27\]

Ответ: 13,3 км/с.

 

Задача 3. Звезда, находясь на расстоянии 10 пк, имеет тангенциальную (перпендикулярную лучу зрения) скорость 20 км/с. За сколько лет она переместится по небу на угловой диаметр Луны (0,5^{\circ})?

Тангенциальная скорость \upsilon_{\tau} звезды в километрах в секунду определяется по ее годичному параллаксу \pi и собственному движению \mu, т. е. по дуге, на которую смещается звезда на небе за 1 год:

    \[\upsilon_{\tau}=4,74\cdot \frac{\mu}{\pi}=4,74\mu r\]

причем \mu и \pi выражены в секундах дуги (“), а расстояние r до звезды — в парсеках.

\mu – собственное движение звезды.

    \[\mu=\frac{\upsilon_{\tau}}{4,74r}=\frac{20}{4,74\cdot10}=0,42\]

Если за год звезда смещается на 0,42” за год, то на 30’ – 1800” – она сместится за

    \[t=\frac{D}{\mu}=\frac{1800}{0,42}=4266\]

Ответ: 4266 лет.

Задача 4. Найдите массу газа, который содержится в межзвездном пространстве в объеме, равном объему земного шара.

Плотность межзвездного газа примерно равна 10^{-21} кг/м^3. Поэтому масса будет равна

    \[m=\rho\cdot V=\rho\cdot \frac{4\pi R^3}{3}=\frac{4\cdot \pi \cdot 6400000^3\cdot 10^{-21}}{3}=1,1\]

Ответ: 1,1 кг

 

Задача 5. Диаметр молекулярного облака – 2 св. года, концентрация частиц в нем – 10^4 молекул в 1 см^3. Найдите массу этого облака, учитывая, что все молекулы – это H_2.

Решение: объем облака определяется формулой объема шара,

    \[V=\frac{4}{3}\pi R^3\]

Концентрация – это число частиц в объеме. Она равна (переведем ее при подсчетах в СИ)

    \[n=\frac{N}{V}\]

Число частиц равно

    \[N=nV=\frac{4}{3}n \pi R^3\]

Масса облака равна (все единицы подставлены в СИ)

    \[M=Nm_0=\frac{4}{3} n\pi R^3 m_0=\frac{4}{3} \cdot 10^10\cdot \pi  \cdot (9,46\cdot 10^{15})^3 \cdot 3,32\cdot10{-26}=3,7\cdot10^{32}\]

Ответ: 3,7\cdot10^{32} кг

 

Задача 6. Звезда в спиральной галактике M51 в созвездии Гончих Псов излучает в 70 раз больше энергии, чем Солнце. Ее температура составляет 11700 К. Определите радиус звезды.

Решение. Применим закон Стефана-Больцмана: полная энергия, излучаемая за 1 с абсолютно черным телом с единицы поверхности равна

    \[E=\sigma T^4=5,67\cdot 10^{-8}\cdot 11700^4=1,062\cdot 10^9\]

Светимость Солнца равна 4\cdot10^{26} Вт, значит, звезда из созвездия Гончих Псов имеет светимость 280\cdot10^{26} Вт – в 70 раз больше. Тогда площадь поверхности такой звезды равна

    \[S=4\pi R^2=\frac{L}{E}\]

Откуда

    \[R=\sqrt{\frac{L}{4\pi E}}=\sqrt{\frac{280\cdot10^{26}}{4\pi \cdot 1,062\cdot 10^9}}=14,5\cdot 10^8\]

Ответ: R=14,5\cdot 10^8 м.

 

Задача 7. Какую температуру должна иметь  звезда, чтобы максимум в её спектре приходился на область ультрафиолетового излучения?

Длины волн ультрафиолетового излучения лежат в интервале от  10 до 400 нм. Тогда температура звезды должна быть по закону Вина от

    \[T=\frac{b}{\lambda}=\frac{0,0029}{4\cdot 10^{-7}}=7250\]

До

    \[T=\frac{b}{\lambda}=\frac{0,0029}{10^{-8}}=290000\]

Ответ: от 7250 К до 290 тыс. К.

Задача 8. Один из спутников отстоит от центра планеты на 185000 км и имеет период обращения 0,94 сут. Найдите массу Сатурна.

Решение. Согласно третьему обобщенному закону Кеплера

    \[T^2=\frac{4\pi^2 a^3}{G(m+M)}\]

    \[M+m=\frac{4\pi^2 a^3}{GT^2}=\frac{4\pi^2\cdot 185000000^3}{6,67\cdot10^{-11}\cdot 81216^2}=5,68\cdot 10^{26}\]

Мы перевели для расчета период в с, а расстояние – в м. Получили ответ в кг. Массой спутника пренебрегли по сравнению с массой Сатурна.

Ответ: M=5,68\cdot 10^{26} кг.

Задача 9. Диаметр зрачка – 5 мм. Определите теоретическое разрешение глаза.

Решение. Разрешающую способность глаза или оптического прибора можно определить по формуле

    \[\varphi_{min}=1,22\frac{\lambda}{D}\]

Где \lambda=550\cdot10^{-9}, D – диаметр зрачка.

    \[\varphi_{min}=1,22\frac{550\cdot10^{-9}}{5\cdot10^{-3}}=0,134\cdot10^{-3}\]

Это угол в радианах, переведем в с: 28 с.

Ответ: 28 с

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *