Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Движение по окружности

Неравномерное движение по окружности

В этой статье рассмотрено движение по окружности, причем по условию центр колеса движется с ускорением, неравномерно, вследствие чего у точек колеса кроме нормального ускорения также имеется и “линейное”. Так как оно направлено не по касательной к траектории движения, то оно не может быть названо тангенциальным, но оно содержит в себе тангенциальное ускорение: это одна из его проекций.

Задача. Скорость центра колеса, катящегося без проскальзывания по горизонтальной поверхности, изменяется со временем по закону . Радиус колеса равен м. Найти скорости и ускорения четырех точек: A, B, C и D колеса, лежащих на противоположных концах  взаимно перпендикулярных диаметров, один из которых горизонтален, в момент времени с.

Неравномерное движение по кругу.

Если вам доводилось уже решать задачи на движение по окружности, то вы знаете, что прежде всего надо найти мгновенный центр вращения. Здесь таким центром будет являться точка . Относительно этой точки скорость центра колеса будет равна , а, так как точка располагается от центра вращения на расстоянии двух радиусов – вдвое дальше, чем центр колеса, – то и скорость точки будет вдвое больше: . Так происходит, потому что скорость точки складывается из линейной скорости вращения (показана на рисунке рыжим) и скорости поступательного движения (черным), а вектора этих скоростей коллинеарны: направлены в точке параллельно линии  движения, и в одну сторону, поэтому мы их складываем. У точек и вектор скорости также будет суммой вектора скорости поступательного движения и линейной скорости вращения. Но в обеих этих точках данные векторы перпендикулярно направлены, хотя и равны по модулю, так что скорости точек будут равными по модулю, а направлены в разные стороны (показаны синими стрелками):

   

Здесь надо отметить, что угол между векторами скоростей точек и и горизонтом составит – это в дальнейшем пригодится.

Также из рисунка понятно, почему скорость точки равна нулю: линейная скорость вращения направлена против скорости поступательного движения и компенсирует ее.

Теперь скорости точек можно определить численно:

   

   

   

Давайте определим ускорение каждой точки.  У точки скорость нулевая, но это не означает, что ее ускорение тоже равно нулю, потому что линейная скорость вращения точки не равна нулю. Поэтому ускорение точки – обычное нормальное ускорение:

   

У точки ускорение будет складываться из двух составляющих: во-первых, она имеет нормальное ускорение, как и все остальные точки, только потому, что участвует во вращательном движении, во-вторых,  точка также имеет и составляющую ускорения, обусловленную тем, что скорость переменна:

   

   

Тогда полное ускорение точки может быть определено по теореме Пифагора, ведь векторы линейного и нормального ускорений перпендикулярны друг другу (именно для этой точки):

   

С точками и все будет немножечко сложнее: нормальное ускорение у них тоже есть, и есть ускорение «линейное» – связанное с изменением скорости, вызывающее это изменение, но вот направлены эти два вектора уже не перпендикулярно друг другу. Ускорение «линейное» совпадает по направлению с вектором мгновенной скорости. А эта скорость, как мы знаем, направлена под углом к горизонту и для точки , и для точки . Поэтому, согласно рисунку, ускорение точки найдем так:

   

   

   

   

   

Аналогично можно определить ускорение точки (глядя на рисунок):

   

   

   

   

   

Ответ: , м/с, м/с,

м/с,   м/с, м/с, м/с.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *