Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Неравенство с параметром: применение различных приемов.

При решении этого неравенства применяется целый комплекс приемов и подходов: тут и домножение на сопряженное выражение, и искуственный прием при использовании рационализации логарифма, и сам метод рационализации, и использование графического метода при  доведении до получения ответа.

Задача. Решите неравенство:

    \[\log_a (x+4)\cdot \left((a+1)^{x+2}-a-1\right)( \mid x -4 \mid -2) \geqslant 0\]

В этом неравенстве имеется разность \mid x -4 \mid -2, и здесь может быть применен прием домножения на сопряженное.  К логарифму и степенной функции применим метод рационализации, только перед этим сделаем вот такое преобразование:

    \[\log_a (x+4)= \log_a (x+4)-\log_a 1\]

То есть мы просто вычли 0 из логарифма, поскольку множитель  в виде логарифма неудобен для применения рационализации.

Тогда:

    \[(\log_a (x+4) -\log_a 1)\cdot \left((a+1)^{x+2}-(a+1)\right)(x -4 -2)(x-4+2 )\geqslant 0\]

    \[\frac{x+4-1}{a- 1} (a+1-1)(x+2-1)(x -6)(x-2 )\geqslant 0\]

    \[\frac{x+3}{a- 1} \cdot a(x+1)(x -6)(x-2 )\geqslant 0\]

Кроме того, учтем, что a>0, a \neq 1 – это уже учли, поставив a-1 в знаменатель, x>-4.

Изобразим на плоскости OXA соответствующие линии, и доведем решение до конца графически.

На рисунке показаны синим линии x=-3, x=-1, x=2, x=6; красным показана линия, отграничивающая x>-4, рыжим – a>0, a \neq 1.

Рисунок 1. Построение границ

Возьмем на нашей плоскости какую-то точку, например, A(1;2) и подставим ее координаты в неравенство. Получаем, что x+3>0, a-1>0, a>0, x+1>0, x-2<0 и x-6<0 – и неравенство выполняется:

Рисунок 2. Выбор произвольной точки и определение, выполняется ли для нее неравенство.

При переходе в любую соседнюю область: вправо, влево или вниз – одна из скобочек поменяет свой знак и поменяет знак все выражение, поэтому выполняться неравенство будет «через область», то есть в областях, расположенных в шахматном порядке от первой:

Рисунок 3. Определение всех областей выполнения неравенства.

Теперь можно записать ответ:  при a \in (0; 1) x \in [-3;-1] \cup [2;6], при

a \in (1; +\infty) x \in (-4;-3] \cup [-1;2] \cup [6; +\infty)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *