Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 18 (С5)

Неравенство с параметром: применение различных приемов.

При решении этого неравенства применяется целый комплекс приемов и подходов: тут и домножение на сопряженное выражение, и искуственный прием при использовании рационализации логарифма, и сам метод рационализации, и использование графического метода при  доведении до получения ответа.

Задача. Решите неравенство:

   

В этом неравенстве имеется разность , и здесь может быть применен прием домножения на сопряженное.  К логарифму и степенной функции применим метод рационализации, только перед этим сделаем вот такое преобразование:

   

То есть мы просто вычли 0 из логарифма, поскольку множитель  в виде логарифма неудобен для применения рационализации.

Тогда:

   

   

   

Кроме того, учтем, что , – это уже учли, поставив в знаменатель, .

Изобразим на плоскости соответствующие линии, и доведем решение до конца графически.

На рисунке показаны синим линии , , , ; красным показана линия, отграничивающая , рыжим – , .

Рисунок 1. Построение границ

Возьмем на нашей плоскости какую-то точку, например, и подставим ее координаты в неравенство. Получаем, что , , , , и – и неравенство выполняется:

Рисунок 2. Выбор произвольной точки и определение, выполняется ли для нее неравенство.

При переходе в любую соседнюю область: вправо, влево или вниз – одна из скобочек поменяет свой знак и поменяет знак все выражение, поэтому выполняться неравенство будет «через область», то есть в областях, расположенных в шахматном порядке от первой:

Рисунок 3. Определение всех областей выполнения неравенства.

Теперь можно записать ответ:  при , при

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *