Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Неравенство с параметром: два способа решения.

Предлагаю вам решить неравенство двумя способами: на плоскости OXA и аналитически.

Задача. При каких a решением неравенства является отрезок длины 1?

    \[\mid 2x-a \mid +1 \leqslant \mid x+3 \mid\]

Первый способ решения.

Модули меняют знаки при a=2x и x=-3. Построим указанные прямые на параметрической плоскости OXA. Они нам разобьют плоскость на зоны (показаны цветом), где модули будут сняты с различными знаками. В зеленой зоне – оба плюса, в бежевой – оба минуса. В желтой – первый с «плюсом», второй – с «минусом»,  в голубой – наоборот.

Рисунок 1

Тогда снимаем с обоими «плюсами»:

    \[2x-a +1 \leqslant x+3\]

    \[a\geqslant x-2\]

С обоими «минусами»

    \[-2x+a +1 \leqslant -x-3\]

    \[a\leqslant x-4\]

Первый  – с «плюсом», второй – с «минусом».

    \[2x-a+1\leqslant -x-3\]

    \[a \geqslant 3x+4\]

Первый  – с «минусом», второй – с «плюсом».

    \[-2x+a+1\leqslant x+3\]

    \[a \leqslant 3x+2\]

Построим данные прямые:

Длина горизонтального отрезка, заключенного между прямыми, должна быть равна 1.

Таким образом,

    \[\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}{ a \leqslant-8}\\{\mid \frac{a-4}{3}-(a+4)\mid=1}\end{matrix}\\{\begin{Bmatrix}{ a\geqslant -4}\\{\mid a+2-\frac{a-2}{3}\mid = 1}\end{matrix}\end{matrix}\]

    \[\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}{ a \leqslant-8}\\{ a-4-3a-12=\pm 3}\end{matrix}\\{\begin{Bmatrix}{ a\geqslant -4}\\{3a+6-a+2 = \pm 3}\end{matrix}\end{matrix}\]

    \[\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}{ a \leqslant-8}\\{ -2a=\pm 3-16}\end{matrix}\\{\begin{Bmatrix}{ a\geqslant -4}\\{2a= \pm 3-8}\end{matrix}\end{matrix}\]

Значит, a=-9,5 и a=-2,5.

Ответ: a=-9,5 и a=-2,5.

Второй способ решения.

    \[\mid x+3 \mid \geqslant \mid 2x-a \mid +1\]

Или

    \[\begin{bmatrix}{ x+3 \geqslant \mid 2x-a \mid +1~~~~~~~~~(1)}\\{ x+3 \leqslant -\mid 2x-a \mid -1~~~~~~~~~~~(2)}\end{matrix}\]

Решаем (1)

    \[\mid 2x-a \mid \leqslant x+2\]

    \[-x-2 \leqslant 2x-a \leqslant x+2\]

    \[\begin{bmatrix}{ x \leqslant a+2}\\{ x \geqslant \frac{a-2}{3}}\end{matrix}\]

    \[a+2-\frac{a-2}{3}=1\]

    \[a=-2,5\]

Решаем (2)

    \[\mid 2x-a \mid \leqslant -x-4\]

    \[x+4\leqslant 2x-a \leqslant -x-4\]

    \[\begin{bmatrix}{ x \geqslant a+4}\\{ x \leqslant \frac{a-4}{3}}\end{matrix}\]

    \[\frac{a-4}{3}-(a+4)=1\]

    \[a=-9,5\]

Ответ: a=-9,5 и a=-2,5.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *