Неравенство Коши в задачах на оптимизацию

Предлагаю решение нескольких задач на оптимальный выбор, в ходе которого потребовалось использование неравенства Коши.

Вообще формулировка этого замечательного неравенства звучит так: «Среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ не меньше их среднего геометрического, причем равенство достигается только при $a=b$ ».

Неравенство Коши можно записать по-разному:

$a+b \geqslant 2\sqrt{ab}$

$a^2+b^2\geqslant 2ab$

$a+\frac{1}{a}\geqslant 2$

Причем равенство достигается только при $a=1$ .

$a^2+b^2+c^2\geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

Задача 1. Требуется изготовить бак с крышкой объемом 0,25 м $^3$ , имеющий квадратное основание. Сварка швов производится по всему периметру основания и одному боковому ребру. Стоимость сварки составляет 10 руб/м, а стоимость жести – 20 руб/м $^2$ . Необходимо выяснить размеры бака, при которых его стоимость будет наименьшей.

Пусть сторона основания бака $a$ , а высота $h$ . Тогда площадь его поверхности можно вычислить так: дно $a^2$ , такая же крышка, боковая поверхность $4a\cdot h$ . Если выразить высоту $h$ как $h=\frac{V}{a^2}$ , то полная площадь поверхности равна

$S=2a^2+4a\cdot \frac{V}{a^2}=2a^2+\frac{4V}{a}$

Стоимость жести, следовательно, будет

$P_1=20\left(2a^2+\frac{4V}{a}\right)$

Теперь швы. Их общая длина $4a+h=4a+\frac{V}{a^2}$ . Стоимость швов будет

$P_2=10\left(4a+\frac{V}{a^2}\right)$

Общая стоимость бака сложится из стоимости жести и швов:

$P=P_1+P_2=20\left(2a^2+\frac{4V}{a}\right)+ 10\left(4a+\frac{V}{a^2}\right)=40a^2+\frac{20}{a}+40a+\frac{2,5}{a^2}$

Эту-то функцию нам надо минимизировать. Перепишем иначе:

$P=40a^2+\frac{2,5}{a^2}+\frac{20}{a}+40a=10\left(4a^2+\frac{1}{4a^2}\right)+ \frac{20}{a}+40a$

С применением теоремы Коши минимизируем сумму первых двух слагаемых: если произведение двух положительных переменных постоянно, то сумма их имеет наименьшее значение при выполнении равенства:

$a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$

Тогда

$4a^2+\frac{1}{4a^2}\geqslant 2\sqrt{4a^2\cdot\frac{1}{4a^2}}$

$4a^2+\frac{1}{4a^2}\geqslant 2$

Если обозначить $t=4a^2$ , то

$t+\frac{1}{t}\geqslant 2$

Или

$t^2-2t+1\geqslant 0$

$(t-1)^2\geqslant 0$

$t=1$

Вернемся к основной переменной:

$4a^2=1$

$a=0,5$

Тогда

$h=1$

Исследование минимума суммы вторых двух слагаемых (либо с помощью неравенства Коши, либо с помощью производной) дает большее значение $a$ .

Ответ: $a=0,5$ м, $h=1$ .

Задача 2. Химический комбинат получил заказ на изготовление этилового спирта, соляной кислоты и дистиллированной воды. Для готовой продукции потребовалась 21 железнодорожная цистерна. При перекачивании были использованы три специализированных насоса: сначала первый насос заполнил четыре цистерны этиловым спиртом, затем второй насос заполнил шестнадцать цистерн соляной кислотой и в завершение третий насос заполнил одну цистерну дистиллированной водой. Найдите минимально возможное время, затраченное на перекачивание всей продукции, если известно, что суммарная производительность всех трёх насосов равна семи цистернам в сутки.

Решение Инны Фельдман.

Пусть производительность первого насоса $x$ цистерн в сутки, второго – $y$ цистерн в сутки, третьего – $z$ цистерн в сутки.

Тогда время работы первого насоса равно $\frac{4}{x}$ дней, второго – $\frac{16}{y}$ дней, третьего – $\frac{1}{z}$ дней.

Нам надо минимизировать следующую сумму:

$t=\frac{4}{x}+\frac{16}{y}+\frac{1}{z}$

При условии $x+y+z=7$

Перемножим уравнения:

$\left(\frac{4}{x}+\frac{16}{y}+\frac{1}{z}\right)( x+y+z)=7t$

Раскрываем скобки:

$4+\frac{4y}{x}+\frac{4z}{x}+\frac{16x}{y}+16+\frac{16z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+1=7t$

Или

$21+\frac{4y}{x}+\frac{16x}{y}+\frac{4z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{16z}{y}+\frac{y}{z}=7t$

Сумма двух слагаемых $\frac{4y}{x}+\frac{16x}{y}$ согласно неравенству Коши больше или равна 16, двух слагаемых $\frac{4z}{x}+\frac{x}{z}$ – больше или равна 4, слагаемых $\frac{16z}{y}+\frac{y}{z}$ – больше или равна 8. Тогда, подставив минимальные значения 16, 4 и 8, получим:

$7t\geqslant 49$

$t \geqslant 7$

Тогда $t=7$ , если

$\begin{Bmatrix}{ \frac{4y}{x}=\frac{16x}{y}}\\{ \frac{4z}{x}=\frac{x}{z}}\\{ \frac{16z}{y}=\frac{y}{z}}\end{matrix}$

Или

$\begin{Bmatrix}{ \frac{4y}{x}=\frac{16x}{y}}\\{ \frac{4z}{x}=\frac{x}{z}}\\{ \frac{16z}{y}=\frac{y}{z}}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{y^2=4x^2}\\{x^2=4z^2}\\{y^2=16z^2}\\{x+y+z=7}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{y=2x}\\{x=2z}\\{y=4z}\\{x+y+z=7}\end{matrix}$

$2z+4z+z=7$

Тогда $z=1$ , $x=2$ , $y=4$ .

Ответ: 7 дней.

Задача 3. Требуется разместить на земле участок площадью 3400 м $^2$ , который состоит из трёх прямоугольных частей и имеет форму многоугольника ABCDFGHM, изображённого на рисунке, где $BC = 20$ м, $CD = 15$ м, $GH = 30$ м и $HM \geqslant 40$ м. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин $АК$ , $AL$ и $HM$ , при которых периметр является наименьшим.

К задаче 3

Площадь участка равна $S = 3400$ , а его периметр равен периметру Р прямоугольника $KALF$ . Обозначим $AK = x$ , $x > 0$ ; $AL = y, y > 0$ и $HM = z, z \ge 40$ . Тогда

$P=2(x+y)$

$S_{AKLF}=x\cdot y=3400+BC\cdot CD+ GH\cdot z\geqslant 3400+20\cdot 15+30\cdot 40=4900$

Следовательно,

$y\geqslant \frac{4900}{x}$

Тогда

$P\geqslant 2\left(x+\frac{4900}{x}\right)$

Применим неравенство Коши:

$x+\frac{4900}{x}\geqslant 2\sqrt{4900}$

$x+\frac{4900}{x}\geqslant 140$

Равенство достигается при $x=70$ .

Тогда $y=\frac{4900}{x}=70$ .

Следовательно, периметр

$P=2(x+y)=280$

Такое значение достигается при $HM=40$ . Действительно, площадь квадрата $KALF$ тогда 4900, площадь участка 3400, площадь $LDCB$ дана и равна 300 – тогда на площадь $HGKM$ приходится 1200, и $HM=40$ .