Предлагаю решение нескольких задач на оптимальный выбор, в ходе которого потребовалось использование неравенства Коши.
Вообще формулировка этого замечательного неравенства звучит так: «Среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел и
не меньше их среднего геометрического, причем равенство достигается только при
».
Неравенство Коши можно записать по-разному:
Причем равенство достигается только при .
Задача 1. Требуется изготовить бак с крышкой объемом 0,25 м, имеющий квадратное основание. Сварка швов производится по всему периметру основания и одному боковому ребру. Стоимость сварки составляет 10 руб/м, а стоимость жести – 20 руб/м
. Необходимо выяснить размеры бака, при которых его стоимость будет наименьшей.
Пусть сторона основания бака , а высота
. Тогда площадь его поверхности можно вычислить так: дно
, такая же крышка, боковая поверхность
. Если выразить высоту
как
, то полная площадь поверхности равна
Стоимость жести, следовательно, будет
Теперь швы. Их общая длина . Стоимость швов будет
Общая стоимость бака сложится из стоимости жести и швов:
Эту-то функцию нам надо минимизировать. Перепишем иначе:
С применением теоремы Коши минимизируем сумму первых двух слагаемых: если произведение двух положительных переменных постоянно, то сумма их имеет наименьшее значение при выполнении равенства:
Тогда
Если обозначить , то
Или
Вернемся к основной переменной:
Тогда
Исследование минимума суммы вторых двух слагаемых (либо с помощью неравенства Коши, либо с помощью производной) дает большее значение .
Ответ: м,
.
Задача 2. Химический комбинат получил заказ на изготовление этилового спирта, соляной кислоты и дистиллированной воды. Для готовой продукции потребовалась 21 железнодорожная цистерна. При перекачивании были использованы три специализированных насоса: сначала первый насос заполнил четыре цистерны этиловым спиртом, затем второй насос заполнил шестнадцать цистерн соляной кислотой и в завершение третий насос заполнил одну цистерну дистиллированной водой. Найдите минимально возможное время, затраченное на перекачивание всей продукции, если известно, что суммарная производительность всех трёх насосов равна семи цистернам в сутки.
Решение Инны Фельдман.
Пусть производительность первого насоса цистерн в сутки, второго –
цистерн в сутки, третьего –
цистерн в сутки.
Тогда время работы первого насоса равно дней, второго –
дней, третьего –
дней.
Нам надо минимизировать следующую сумму:
При условии
Перемножим уравнения:
Раскрываем скобки:
Или
Сумма двух слагаемых согласно неравенству Коши больше или равна 16, двух слагаемых
– больше или равна 4, слагаемых
– больше или равна 8. Тогда, подставив минимальные значения 16, 4 и 8, получим:
Тогда , если
Или
Тогда ,
,
.
Ответ: 7 дней.
Задача 3. Требуется разместить на земле участок площадью 3400 м, который состоит из трёх прямоугольных частей и имеет форму многоугольника ABCDFGHM, изображённого на рисунке, где
м,
м,
м и
м. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин
,
и
, при которых периметр является наименьшим.

К задаче 3
Площадь участка равна , а его периметр равен периметру Р прямоугольника
. Обозначим
,
;
и
. Тогда
Следовательно,
Тогда
Применим неравенство Коши:
Равенство достигается при .
Тогда .
Следовательно, периметр
Такое значение достигается при . Действительно, площадь квадрата
тогда 4900, площадь участка 3400, площадь
дана и равна 300 – тогда на площадь
приходится 1200, и
.
Ответ: м,
,
,
.
Тут я с Вами полностью...
Здравствуйте. Сейчас пересмотрю решение. Надо ввести разные температуры. Жаль, не...
Здравствуйте! Почему в задаче 3 перегородка теплоизолирующая? Казалось бы,...
Согласна, решать можно по-разному, и ваше решение строже, чем мое. И бог с ними, с...
Здравствуйте! Благодарю Вас за варианты, которые Вы создаете. Заметила небольшое...