Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Экономическая задача (17)

Неравенство Коши в задачах на оптимизацию

Предлагаю решение нескольких задач на оптимальный выбор, в ходе которого потребовалось использование неравенства Коши.

Вообще формулировка этого замечательного неравенства звучит так: «Среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел a и b не меньше их среднего геометрического, причем равенство достигается только при a=b».

Неравенство Коши можно записать по-разному:

    \[a+b \geqslant 2\sqrt{ab}\]

    \[a^2+b^2\geqslant 2ab\]

    \[a+\frac{1}{a}\geqslant 2\]

Причем равенство достигается только при a=1.

    \[a^2+b^2+c^2\geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\]

Задача 1. Требуется изготовить бак с крышкой объемом 0,25 м^3, имеющий квадратное основание. Сварка швов производится по всему периметру основания и одному боковому ребру. Стоимость сварки составляет 10 руб/м, а стоимость жести – 20 руб/м^2. Необходимо выяснить размеры бака, при которых его стоимость будет наименьшей.

Пусть сторона основания бака a, а высота h. Тогда площадь его поверхности можно вычислить так: дно a^2, такая же крышка, боковая поверхность 4a\cdot h. Если выразить высоту h как h=\frac{V}{a^2}, то полная площадь поверхности равна

    \[S=2a^2+4a\cdot \frac{V}{a^2}=2a^2+\frac{4V}{a}\]

Стоимость жести, следовательно, будет

    \[P_1=20\left(2a^2+\frac{4V}{a}\right)\]

Теперь швы. Их общая длина 4a+h=4a+\frac{V}{a^2}. Стоимость швов будет

    \[P_2=10\left(4a+\frac{V}{a^2}\right)\]

Общая стоимость бака сложится из стоимости жести и швов:

    \[P=P_1+P_2=20\left(2a^2+\frac{4V}{a}\right)+ 10\left(4a+\frac{V}{a^2}\right)=40a^2+\frac{20}{a}+40a+\frac{2,5}{a^2}\]

Эту-то функцию нам надо минимизировать. Перепишем иначе:

    \[P=40a^2+\frac{2,5}{a^2}+\frac{20}{a}+40a=10\left(4a^2+\frac{1}{4a^2}\right)+ \frac{20}{a}+40a\]

С применением теоремы Коши минимизируем сумму первых двух слагаемых:  если произведение двух положительных переменных постоянно, то сумма их имеет наименьшее значение при выполнении равенства:

    \[a+b\geqslant 2\sqrt{ab}\]

Тогда

    \[4a^2+\frac{1}{4a^2}\geqslant 2\sqrt{4a^2\cdot\frac{1}{4a^2}}\]

    \[4a^2+\frac{1}{4a^2}\geqslant 2\]

Если обозначить t=4a^2, то

    \[t+\frac{1}{t}\geqslant 2\]

Или

    \[t^2-2t+1\geqslant 0\]

    \[(t-1)^2\geqslant 0\]

    \[t=1\]

Вернемся к основной переменной:

    \[4a^2=1\]

    \[a=0,5\]

Тогда

    \[h=1\]

Исследование минимума суммы вторых двух слагаемых (либо с помощью неравенства Коши, либо с помощью производной) дает большее значение a.

Ответ: a=0,5 м, h=1.

 

Задача 2. Химический комбинат получил заказ на изготовление этилового спирта, соляной кислоты и дистиллированной воды. Для готовой продукции потребовалась 21 железнодорожная цистерна. При перекачивании были использованы три специализированных насоса: сначала первый насос заполнил четыре цистерны этиловым спиртом, затем второй насос заполнил шестнадцать цистерн соляной кислотой и в завершение третий насос заполнил одну цистерну дистиллированной водой. Найдите минимально возможное время, затраченное на перекачивание всей продукции, если известно, что суммарная производительность всех трёх насосов равна семи цистернам в сутки.

Решение Инны Фельдман.

Пусть производительность первого насоса x цистерн в сутки, второго – y цистерн в сутки, третьего – z цистерн в сутки.

Тогда время работы первого насоса равно \frac{4}{x} дней, второго –\frac{16}{y} дней, третьего – \frac{1}{z}  дней.

Нам надо минимизировать следующую сумму:

    \[t=\frac{4}{x}+\frac{16}{y}+\frac{1}{z}\]

При условии x+y+z=7

Перемножим уравнения:

    \[\left(\frac{4}{x}+\frac{16}{y}+\frac{1}{z}\right)( x+y+z)=7t\]

Раскрываем скобки:

    \[4+\frac{4y}{x}+\frac{4z}{x}+\frac{16x}{y}+16+\frac{16z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+1=7t\]

Или

    \[21+\frac{4y}{x}+\frac{16x}{y}+\frac{4z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{16z}{y}+\frac{y}{z}=7t\]

Сумма двух слагаемых \frac{4y}{x}+\frac{16x}{y} согласно неравенству Коши больше или равна 16, двух слагаемых \frac{4z}{x}+\frac{x}{z} – больше или равна 4, слагаемых \frac{16z}{y}+\frac{y}{z} –  больше или равна 8. Тогда, подставив минимальные значения 16, 4 и 8, получим:

    \[7t\geqslant 49\]

    \[t \geqslant 7\]

Тогда t=7, если

    \[\begin{Bmatrix}{ \frac{4y}{x}=\frac{16x}{y}}\\{ \frac{4z}{x}=\frac{x}{z}}\\{ \frac{16z}{y}=\frac{y}{z}}\end{matrix}\]

Или

    \[\begin{Bmatrix}{ \frac{4y}{x}=\frac{16x}{y}}\\{ \frac{4z}{x}=\frac{x}{z}}\\{ \frac{16z}{y}=\frac{y}{z}}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{y^2=4x^2}\\{x^2=4z^2}\\{y^2=16z^2}\\{x+y+z=7}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{y=2x}\\{x=2z}\\{y=4z}\\{x+y+z=7}\end{matrix}\]

    \[2z+4z+z=7\]

Тогда z=1, x=2, y=4.

Ответ: 7 дней.

 

Задача 3. Требуется разместить на земле участок площадью 3400 м^2, который состоит из трёх прямоугольных частей и имеет форму многоугольника ABCDFGHM, изображённого на рисунке, где BC = 20 м, CD = 15 м, GH = 30 м и HM \geqslant 40 м. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин АКAL и HM, при которых периметр является наименьшим.

К задаче 3

Площадь участка равна S = 3400, а его периметр равен периметру Р прямоугольника KALF . Обозначим AK = x, x > 0AL = y, y > 0 и HM = z, z \ge  40. Тогда

    \[P=2(x+y)\]

    \[S_{AKLF}=x\cdot y=3400+BC\cdot CD+ GH\cdot z\geqslant 3400+20\cdot 15+30\cdot 40=4900\]

Следовательно,

    \[y\geqslant \frac{4900}{x}\]

Тогда

    \[P\geqslant 2\left(x+\frac{4900}{x}\right)\]

Применим неравенство Коши:

    \[x+\frac{4900}{x}\geqslant 2\sqrt{4900}\]

    \[x+\frac{4900}{x}\geqslant 140\]

Равенство достигается при x=70.

Тогда y=\frac{4900}{x}=70.

Следовательно, периметр

    \[P=2(x+y)=280\]

Такое значение достигается при HM=40. Действительно, площадь квадрата KALF тогда 4900, площадь участка 3400, площадь LDCB дана и равна 300 – тогда на площадь HGKM приходится 1200, и HM=40.

Ответ: P=280 м, AK=70, AL=70, HM=40.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *