Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ОГЭ (ГИА) по математике, ОГЭ 23 (ГИА С3)

Неравенства в заданиях 23 ОГЭ 2015.


Задача 1.

Найдите все значения а, при которых неравенство x^2-(2a+2)x+3a+7<=0 не имеет решений.

Левая часть неравенства задает параболу. Первый коэффициент положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх. Неравенство будет иметь решения, если какие-то точки этой параболы будут иметь отрицательные или равные нулю ординаты. Понятно, что, чтобы неравенство не имело решений, таких точек быть не должно. Это означает, что вся парабола должна лежать в верхней полуплоскости и не иметь точек пересечения или касания с осью х. Такие точки являются корнями квадратного уравнения, если знак неравенства заменить на знак “равно”. Таким образом, корней быть не должно. Значит, достаточно, чтобы дискриминант нашего уравнения был бы отрицательным, и тогда вся парабола будет лежать выше оси х и не иметь пересечений с ней.

Рассчитаем дискриминант:

D=b^2-4ac=(2a+2)^2-4(3a+7)

D=4a^2+8a+4-12a-28=4a^2-4a-24

Необходимо, чтобы дискриминант был меньше 0, решим неравенство:

4a^2-4a-24<0

a^2-a-6<0

По теореме Виета находим корни:

a_1=3, a_2=-2

Решаем методом интервалов. Изобразим числовую прямую и отметим на ней корни. Неравенство строгое, поэтому корни “выколотые” – отмечаем их незакрашенными кружочками.

Решение

Расставляем знаки получившихся интервалов: самый правый с положительным знаком, так как коэффициент при старшей степени a положителен. Далее знаки интервалов чередуются. Выбираем тот интервал, над которым стоит “минус”, при этом руководствуемся знаком неравенства – так как нам нужны точки, где выражение становится отрицательным. Выбранный интервал запишем в ответ.

Ответ: a in (-2;3)

Задача 2.

Найдите все значения а, при которых решением неравенства x^2+(2a+4)x+8a+1>0″ title=”x^2+(2a+4)x+8a+1>0″/><img src= является любое число.

Левая часть неравенства задает параболу. Первый коэффициент положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх. Решением неравенства будет любое число, если все точки этой параболы будут иметь положительные ординаты. Это означает, что вся парабола должна лежать в верхней полуплоскости и не иметь точек пересечения или касания с осью х. Такие точки являются корнями квадратного уравнения, если знак неравенства заменить на знак “равно”. Таким образом, корней быть не должно. Значит, достаточно, чтобы дискриминант нашего уравнения был бы отрицательным, и тогда вся парабола будет лежать выше оси х и не иметь пересечений с ней.

Рассчитаем дискриминант:

D=b^2-4ac=(2a+4)^2-4(8a+1)

D=4a^2+16a+16-32a-4=4a^2-16a+12

Необходимо, чтобы дискриминант был меньше 0, решим неравенство:

4a^2-16a+12<0

a^2-4a+3<0

По теореме Виета находим корни:

a_1=3, a_2=1

Решаем методом интервалов. Изобразим числовую прямую и отметим на ней корни. Неравенство строгое, поэтому корни “выколотые” – отмечаем их незакрашенными кружочками. Расставляем знаки получившихся интервалов: самый правый с положительным знаком, так как коэффициент при старшей степени a положителен.

Решение задачи 2

Далее знаки интервалов чередуются. Выбираем тот интервал, над которым стоит “минус”, при этом руководствуемся знаком неравенства – так как нам нужны точки, где выражение становится отрицательным. Выбранный интервал запишем в ответ.

Ответ: a in (1;3)

Задача 3.

Найдите все значения а, при которых неравенство x^2-2ax+2-a<=0 не имеет решений.

Левая часть неравенства задает параболу. Первый коэффициент положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх. Такое неравенство не будет иметь решений, если все точки этой параболы будут иметь положительные ординаты. Это означает, что вся парабола должна лежать в верхней полуплоскости и не иметь точек пересечения или касания с осью х. Такие точки являются корнями квадратного уравнения, если знак неравенства заменить на знак “равно”. Таким образом, корней быть не должно. Значит, достаточно, чтобы дискриминант нашего уравнения был бы отрицательным, и тогда вся парабола будет лежать выше оси х и не иметь пересечений с ней.

Рассчитаем дискриминант:

D=b^2-4ac=4a^2-4(2-a)

D=4a^2+4a-8

Необходимо, чтобы дискриминант был меньше 0, решим неравенство:

4a^2+4a-8<0

a^2+a-2<0

По теореме Виета находим корни:

a_1=-2, a_2=1

Решение задачи 3

Решаем методом интервалов. Изобразим числовую прямую и отметим на ней корни.

Неравенство строгое, поэтому корни “выколотые” – отмечаем их незакрашенными кружочками. Расставляем знаки получившихся интервалов: самый правый с положительным знаком, так как коэффициент при старшей степени a положителен. Далее знаки интервалов чередуются.

Выбираем тот интервал, над которым стоит “минус”, при этом руководствуемся знаком неравенства – так как нам нужны точки, где выражение становится отрицательным. Выбранный интервал запишем в ответ.

Ответ: a in (-2;1)

 

Комментариев - 2

  • Александр
    |

    в 3 задачке ошибка

    а1=-2
    а2=1

    Ответить
    • Анна
      |

      Спасибо большое, исправила!

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *