Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 18 (С5)

Неравенства с параметрами, множество решений которых – отрезок

В этой статье представлены два неравенства, решением которых по требованию условия должен быть отрезок или интервал какой-либо длины. Одно из них решено аналитически, второе – графически.

Задача 1. Найдите все значения параметра , при каждом из которых множеством решений неравенства

   

относительно является отрезок длины 2.

Решим аналитически: найдем точку, в которой меняет знак второе подмодульное выражение:

   

   

Тогда при имеем:

   

   

Между двумя решениями этого неравенства должно быть расстояние длиной 2. Раскроем модуль и найдем решения неравенства: с положительным знаком

   

   

   

С отрицательным знаком:

   

   

   

Крайние точки:

   

   

 

Между полученными точками должен быть отрезок длиной 2:

   

   

   

   

Теперь вернемся к началу и при имеем:

   

   

Раскроем модуль и найдем решения неравенства: с положительным знаком

   

   

   

С отрицательным знаком:

   

   

   

Крайние точки:

   

   

Между полученными точками должен быть отрезок длиной 2:

   

   

   

   

   

Ответ: и .

 

Задача 2. Найдите все значения параметра , при каждом из которых множеством решений неравенства

   

относительно является некоторый интервал или полуинтервал.

Преобразуем неравенство:

   

Решим графически: слева – «галочка», меняющая свое положение относительно оси (скользит по оси вправо-влево), справа – перевернутый график : во-первых, существует только на отрицательной полуплоскости, во-вторых, минус перед корнем переворачивает этот график «вверх ногами», кроме того, он смещен вверх по оси на 4 единицы вверх:

Нас интересует такое положение «галочки», когда часть ее находится под графиком  . Очевидно, что, когда «галка» слева, она вся находится над графиком  . Потом, при движении «галки» вправо, наступает момент, когда график (правое крыло «галки») пройдет через точку . Это ключевой момент, именно начиная с данного значения параметра (мы его сейчас определим расчетом) часть «галки» окажется под графиком корня.

Вычислим значение параметра: правая часть «галки» описывается уравнением: , подставим координаты точки :

   

   

Двигаем «галку» правее, и видим, что все время пусть маленький, но кусочек ее остается под графиком корня.

Так будет происходить до тех пор, пока левое крыло не пройдет через точку .

Найдем значение параметра для этого случая: левая часть «галки» описывается уравнением: , подставим координаты точки :

   

   

Итак, получили значения параметра от до . Сами эти точки в ответ не войдут!

Ответ: .

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *