Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Неравенства с параметрами, множество решений которых – отрезок

В этой статье представлены два неравенства, решением которых по требованию условия должен быть отрезок или интервал какой-либо длины. Одно из них решено аналитически, второе – графически.

Задача 1. Найдите все значения параметра \varepsilon, при каждом из которых множеством решений неравенства

    \[\mid 4x+\varepsilon \mid-\mid x-\frac{1}{2}\mid+1 \leqslant 0\]

относительно x является отрезок длины 2.

Решим аналитически: найдем точку, в которой меняет знак второе подмодульное выражение:

    \[x-\frac{1}{2}=0\]

    \[x=\frac{1}{2}\]

Тогда при x>\frac{1}{2} имеем:

    \[\mid 4x+\varepsilon \mid-x+\frac{1}{2}\mid+1 \leqslant 0\]

    \[\mid 4x+\varepsilon \mid \leqslant x-1,5\]

Между двумя решениями этого неравенства должно быть расстояние длиной 2. Раскроем модуль и найдем решения неравенства: с положительным знаком

    \[4x+\varepsilon  \leqslant x-1,5\]

    \[3x \leqslant -1,5-\varepsilon\]

    \[x \leqslant -0,5-\frac{\varepsilon}{3}\]

С отрицательным знаком:

    \[-4x-\varepsilon  \leqslant x-1,5\]

    \[-5x \leqslant \varepsilon -1,5\]

    \[x \geqslant -\frac{\varepsilon}{5} +0,3\]

Крайние точки:

    \[x_2 = -0,5-\frac{\varepsilon}{3}\]

    \[x_1 = -\frac{\varepsilon}{5} +0,3\]

 

Между полученными точками должен быть отрезок длиной 2:

    \[x_2-x_1=2\]

    \[-\frac{\varepsilon}{3} -0,5-0,3+\frac{\varepsilon}{5}=2\]

    \[-\frac{2\varepsilon}{15} =2,8\]

    \[\varepsilon=-21\]

Теперь вернемся к началу и при x<\frac{1}{2} имеем:

    \[\mid 4x+\varepsilon \mid+x-\frac{1}{2}+1 \leqslant 0\]

    \[\mid 4x+\varepsilon \mid \leqslant x-0,5\]

Раскроем модуль и найдем решения неравенства: с положительным знаком

    \[4x+\varepsilon  \leqslant x-0,5\]

    \[3x \leqslant -\varepsilon -0,5\]

    \[x \leqslant -\frac{\varepsilon}{3} -\frac{1}{6}\]

С отрицательным знаком:

    \[-4x-\varepsilon  \leqslant x-0,5\]

    \[-5x \leqslant \varepsilon -0,5\]

    \[x \geqslant -\frac{\varepsilon}{5} +0,1\]

Крайние точки:

    \[x_2 = -\frac{\varepsilon}{3} -\frac{1}{6}\]

    \[x_1 = -\frac{\varepsilon}{5} +0,1\]

Между полученными точками должен быть отрезок длиной 2:

    \[x_2-x_1=2\]

    \[-\frac{\varepsilon}{3} -\frac{1}{6}-0,1+\frac{\varepsilon}{5}=2\]

    \[-\frac{2\varepsilon}{15} =2,1+\frac{1}{6}\]

    \[-\frac{2\varepsilon}{5} =6,3+\frac{1}{2}\]

    \[\varepsilon=-17\]

Ответ: \varepsilon=-21 и \varepsilon=-17.

 

Задача 2. Найдите все значения параметра \varepsilon, при каждом из которых множеством решений неравенства

    \[\sqrt{-x}+ \mid\frac{3x}{16}+\varepsilon\mid-4 < 0\]

относительно x является некоторый интервал или полуинтервал.

Преобразуем неравенство:

    \[\mid\frac{3x}{16}+\varepsilon\mid < 4-\sqrt{-x}\]

Решим графически: слева – «галочка», меняющая свое положение относительно оси x (скользит по оси x вправо-влево), справа – перевернутый график \sqrt{x}: во-первых, существует только на отрицательной полуплоскости, во-вторых, минус перед корнем переворачивает этот график «вверх ногами», кроме того, он смещен вверх по оси y на 4 единицы вверх:

Нас интересует такое положение «галочки», когда часть ее находится под графиком  4-\sqrt{-x}. Очевидно, что, когда «галка» слева, она вся находится над графиком  4-\sqrt{-x}. Потом, при движении «галки» вправо, наступает момент, когда график \mid\frac{3x}{16}+\varepsilon\mid (правое крыло «галки») пройдет через точку (0,4). Это ключевой момент, именно начиная с данного значения параметра (мы его сейчас определим расчетом) часть «галки» окажется под графиком корня.

Вычислим значение параметра: правая часть «галки» описывается уравнением: y=\frac{3x}{16}+\varepsilon, подставим координаты точки (0,4):

    \[4=\frac{3\cdot 0}{16}+\varepsilon\]

    \[\varepsilon=4\]

Двигаем «галку» правее, и видим, что все время пусть маленький, но кусочек ее остается под графиком корня.

Так будет происходить до тех пор, пока левое крыло не пройдет через точку (0,4).

Найдем значение параметра для этого случая: левая часть «галки» описывается уравнением: y=-\frac{3x}{16}-\varepsilon, подставим координаты точки (0,4):

    \[4=-\frac{3\cdot 0}{16}-\varepsilon\]

    \[\varepsilon=-4\]

Итак, получили значения параметра от -4 до 4. Сами эти точки в ответ не войдут!

Ответ: \varepsilon \in (-4;4).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *