Неравенства с модулем

Решим несколько неравенств с модулем. Как правило, наличие модуля в неравенстве вызывает если не испуг, то напряжение (ну не любят обычно с модулем возиться), поэтому лишний раз потренируем решение такого вида неравенств.

Задача 1. Решите неравенство:

Приведем к общему знаменателю … знаменатель.

Теперь приводим к общему знаменателю первое и второе слагаемые:

При возведении модуля в квадрат можно снять модуль:

Теперь наша задача – снять модуль.

Тогда получим такую совокупность из систем:

Решаем по отдельности:

Рисунок 1.

Решением этой системы является интервал – ведь корень не попадает в интервал, на котором мы раскрыли модуль!

Раскрываем модуль с минусом:

Рисунок 2.

Корень и точка не попадают в интервал раскрытия модуля, поэтому решение этой системы  – интервал .

Объединяем оба решения в ответ:

Задача 2. Решите неравенство:

Чтобы решить такое неравенство, надо определить точки, где подмодульное выражение будет менять знак. Для этого приравняем к нулю подмодульные выражения. Первое будет менять знак в точках и , второе – в точке :

Рисунок 3

Таким образом, получили 4 интервала, на рисунке указано, с какими знаками на каждом интервале будем раскрывать модуль.

На первом интервале оба модуля раскрываем с плюсом:

Так как дискриминант отрицателен, то, при положительном первом коэффициенте трехчлена, весь трехчлен имеет положительный знак. Поэтому неравенство решений на этом интервале не имеет.

Второй промежуток:

В этом случае дискриминант положителен, но корни, увы, не принадлежат рассматриваемому интервалу, оба меньше 0:

Третий промежуток:

Корни:

Снова корни не попали в промежуток!

Наконец, последний, четвертый:

Корни:

И снова корни не попали в нужный промежуток! Увы, решений у данного неравенства нет. Так и запишем:

Ответ: {}