Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Неравенства (15 (С3))

Неравенства с модулем

Решим несколько неравенств с модулем. Как правило, наличие модуля в неравенстве вызывает если не испуг, то напряжение (ну не любят обычно с модулем возиться), поэтому лишний раз потренируем решение такого вида неравенств.

Задача 1. Решите неравенство:

    \[\frac{3\mid \upsilon+9 \mid}{1+\frac{20}{\mid \upsilon+9 \mid}}-3>0\]

Приведем к общему знаменателю … знаменатель.

    \[\frac{3\mid \upsilon+9 \mid}{\frac{\mid \upsilon+9 \mid +20}{\mid \upsilon+9 \mid}}-3>0\]

    \[\frac{3{\mid \upsilon+9 \mid}^2}{\mid \upsilon+9 \mid+20}-3>0\]

Теперь приводим к общему знаменателю первое и второе слагаемые:

    \[\frac{3{\mid \upsilon+9 \mid}^2}{\mid \upsilon+9 \mid+20}-\frac{3(\mid \upsilon+9 \mid+20)}{\mid \upsilon+9 \mid+20}>0\]

При возведении модуля в квадрат можно снять модуль:

    \[\frac{3(\upsilon+9)^2-3\mid \upsilon+9 \mid-60}{\mid \upsilon+9 \mid+20}>0\]

Теперь наша задача – снять модуль.

Тогда получим такую совокупность из систем:

    \[\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}{\frac{3(\upsilon+9)^2-3(\upsilon+9)-60}{\upsilon+9 +20}>0 }\\{}\\{\upsilon>-9}\\{}\\{\upsilon+29 \neq0}\end{matrix} }\\{{\begin{Bmatrix}{\frac{3(\upsilon+9)^2+3(\upsilon+9)-60}{-\upsilon-9+20}>0 }\\{\upsilon<9}\\{11- \upsilon \neq 0}\end{matrix}}\end{matrix}\]

Решаем по отдельности:

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{3(\upsilon+9)^2-3(\upsilon+9)-60}{\upsilon+29}>0 }\\{\upsilon>-9}\\{\upsilon\neq-29}\end{matrix} }\]

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{3\upsilon^2+51\upsilon+156}{\upsilon+29}>0 }\\{\upsilon>-9}\\{\upsilon\neq-29}\end{matrix} }\]

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{\upsilon^2+17\upsilon+52}{\upsilon+29}>0 }\\{\upsilon>-9}\\{\upsilon\neq-29}\end{matrix} }\]

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{(\upsilon+4)(\upsilon+13}{\upsilon+29}>0 }\\{\upsilon>-9}\\{\upsilon\neq-29}\end{matrix} }\]

Рисунок 1.

 

Решением этой системы является интервал (-4; +\infty) – ведь корень -13 не попадает в интервал, на котором мы раскрыли модуль!

Раскрываем модуль с минусом:

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{3(\upsilon+9)^2+3(\upsilon+9)-60}{-\upsilon-9+20}>0 }\\{\upsilon<-9}\\{11- \upsilon \neq 0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{3\upsilon^2+57\upsilon+210}{11-\upsilon}>0 }\\{\upsilon<-9}\\{11- \upsilon \neq 0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{\upsilon^2+19\upsilon+70}{11-\upsilon}>0 }\\{\upsilon<-9}\\{11- \upsilon \neq 0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{(\upsilon+14)(\upsilon+5)}{11-\upsilon}>0 }\\{\upsilon<-9}\\{11- \upsilon \neq 0}\end{matrix}\]

Рисунок 2.

Корень -5 и точка 11 не попадают в интервал раскрытия модуля, поэтому решение этой системы  – интервал (-\infty; -14).

Объединяем оба решения в ответ:

\upsilon \in (-\infty; -14) \cup (-4; +\infty)

Задача 2. Решите неравенство:

    \[\mid l^2-8l \mid+\mid -l+3 \mid+5l^2+8l+2 \leqslant 0\]

Чтобы решить такое неравенство, надо определить точки, где подмодульное выражение будет менять знак. Для этого приравняем к нулю подмодульные выражения. Первое будет менять знак в точках 0 и 8, второе – в точке 3:

Рисунок 3

Таким образом, получили 4 интервала, на рисунке указано, с какими знаками на каждом интервале будем раскрывать модуль.

На первом интервале оба модуля раскрываем с плюсом:

    \[l^2-8l -l+3+5l^2+8l+2 \leqslant 0\]

    \[6l^2-l+5 \leqslant 0\]

Так как дискриминант отрицателен, то, при положительном первом коэффициенте трехчлена, весь трехчлен имеет положительный знак. Поэтому неравенство решений на этом интервале не имеет.

Второй промежуток:

    \[8l - l^2-l+3+5l^2+8l+2 \leqslant 0\]

    \[4l^2+15l+5 \leqslant 0\]

В этом случае дискриминант положителен, но корни, увы, не принадлежат рассматриваемому интервалу, оба меньше 0:

    \[l_{1,2}=\frac{-15 \pm \sqrt{225-4\cdot4\cdot5}}{8}=\frac{-15 \pm \sqrt{145}}{8}\]

Третий промежуток:

    \[8l - l^2+l-3+5l^2+8l+2 \leqslant 0\]

    \[4l^2+17l-1 \leqslant 0\]

Корни:

    \[l_{3,4}=\frac{-17 \pm \sqrt{289+4\cdot4\cdot1}}{8}=\frac{-17 \pm \sqrt{305}}{8}\]

Снова корни не попали в промежуток!

Наконец, последний, четвертый:

    \[l^2 -8l +l-3+5l^2+8l+2 \leqslant 0\]

    \[6l^2+l-1 \leqslant 0\]

Корни:

    \[l_{5,6}=\frac{-1 \pm \sqrt{25}}{12}\]

    \[l_5=\frac{1}{3}\]

    \[l_6=-\frac{1}{2}\]

И снова корни не попали в нужный промежуток! Увы, решений у данного неравенства нет. Так и запишем:

Ответ: {}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *