Неравенства с модулем

[latexpage]

Решим несколько неравенств с модулем. Как правило, наличие модуля в неравенстве вызывает если не испуг, то напряжение (ну не любят обычно с модулем возиться), поэтому лишний раз потренируем решение такого вида неравенств.

Задача 1. Решите неравенство:

$$\frac{3\mid \upsilon+9 \mid}{1+\frac{20}{\mid \upsilon+9 \mid}}-3>0$$

Приведем к общему знаменателю … знаменатель.

$$\frac{3\mid \upsilon+9 \mid}{\frac{\mid \upsilon+9 \mid +20}{\mid \upsilon+9 \mid}}-3>0$$

$$\frac{3{\mid \upsilon+9 \mid}^2}{\mid \upsilon+9 \mid+20}-3>0$$

Теперь приводим к общему знаменателю первое и второе слагаемые:

$$\frac{3{\mid \upsilon+9 \mid}^2}{\mid \upsilon+9 \mid+20}-\frac{3(\mid \upsilon+9 \mid+20)}{\mid \upsilon+9 \mid+20}>0$$

При возведении модуля в квадрат можно снять модуль:

$$\frac{3(\upsilon+9)^2-3\mid \upsilon+9 \mid-60}{\mid \upsilon+9 \mid+20}>0$$

Теперь наша задача – снять модуль.

Тогда получим такую совокупность из систем:

$$\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}{\frac{3(\upsilon+9)^2-3(\upsilon+9)-60}{\upsilon+9 +20}>0

}\\{}\\{\upsilon>-9}\\{}\\{\upsilon+29 \neq0}\end{matrix} }\\{{\begin{Bmatrix}{\frac{3(\upsilon+9)^2+3(\upsilon+9)-60}{-\upsilon-9+20}>0

}\\{\upsilon<9}\\{11- \upsilon \neq 0}\end{matrix}}\end{matrix}$$

Решаем по отдельности:

$$\begin{Bmatrix}{\frac{3(\upsilon+9)^2-3(\upsilon+9)-60}{\upsilon+29}>0

}\\{\upsilon>-9}\\{\upsilon\neq-29}\end{matrix} }$$

$$\begin{Bmatrix}{\frac{3\upsilon^2+51\upsilon+156}{\upsilon+29}>0

}\\{\upsilon>-9}\\{\upsilon\neq-29}\end{matrix} }$$

$$\begin{Bmatrix}{\frac{\upsilon^2+17\upsilon+52}{\upsilon+29}>0

}\\{\upsilon>-9}\\{\upsilon\neq-29}\end{matrix} }$$

$$\begin{Bmatrix}{\frac{(\upsilon+4)(\upsilon+13}{\upsilon+29}>0

}\\{\upsilon>-9}\\{\upsilon\neq-29}\end{matrix} }$$

Рисунок 1.

Решением этой системы является интервал $(-4; +\infty)$ – ведь корень $-13$ не попадает в интервал, на котором мы раскрыли модуль!

Раскрываем модуль с минусом:

$$\begin{Bmatrix}{\frac{3(\upsilon+9)^2+3(\upsilon+9)-60}{-\upsilon-9+20}>0

}\\{\upsilon<-9}\\{11- \upsilon \neq 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{\frac{3\upsilon^2+57\upsilon+210}{11-\upsilon}>0

}\\{\upsilon<-9}\\{11- \upsilon \neq 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{\frac{\upsilon^2+19\upsilon+70}{11-\upsilon}>0

}\\{\upsilon<-9}\\{11- \upsilon \neq 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{\frac{(\upsilon+14)(\upsilon+5)}{11-\upsilon}>0

}\\{\upsilon<-9}\\{11- \upsilon \neq 0}\end{matrix}$$

Рисунок 2.

Корень $-5$ и точка $11$ не попадают в интервал раскрытия модуля, поэтому решение этой системы  – интервал $(-\infty; -14)$.

Объединяем оба решения в ответ:

$\upsilon \in (-\infty; -14) \cup (-4; +\infty)$

Задача 2. Решите неравенство:

$$\mid l^2-8l \mid+\mid -l+3 \mid+5l^2+8l+2 \leqslant 0$$

Чтобы решить такое неравенство, надо определить точки, где подмодульное выражение будет менять знак. Для этого приравняем к нулю подмодульные выражения. Первое будет менять знак в точках $0$ и $8$, второе – в точке $3$:

Рисунок 3

Таким образом, получили 4 интервала, на рисунке указано, с какими знаками на каждом интервале будем раскрывать модуль.

На первом интервале оба модуля раскрываем с плюсом:

$$l^2-8l -l+3+5l^2+8l+2 \leqslant 0$$

$$6l^2-l+5 \leqslant 0$$

Так как дискриминант отрицателен, то, при положительном первом коэффициенте трехчлена, весь трехчлен имеет положительный знак. Поэтому неравенство решений на этом интервале не имеет.

Второй промежуток:

$$8l – l^2-l+3+5l^2+8l+2 \leqslant 0$$

$$4l^2+15l+5 \leqslant 0$$

В этом случае дискриминант положителен, но корни, увы, не принадлежат рассматриваемому интервалу, оба меньше 0:

$$l_{1,2}=\frac{-15 \pm \sqrt{225-4\cdot4\cdot5}}{8}=\frac{-15 \pm \sqrt{145}}{8}$$

Третий промежуток:

$$8l – l^2+l-3+5l^2+8l+2 \leqslant 0$$

$$4l^2+17l-1 \leqslant 0$$

Корни:

$$l_{3,4}=\frac{-17 \pm \sqrt{289+4\cdot4\cdot1}}{8}=\frac{-17 \pm \sqrt{305}}{8}$$

Снова корни не попали в промежуток!

Наконец, последний, четвертый:

$$ l^2 -8l +l-3+5l^2+8l+2 \leqslant 0$$

$$6l^2+l-1 \leqslant 0$$

Корни:

$$l_{5,6}=\frac{-1 \pm \sqrt{25}}{12}$$

$$l_5=\frac{1}{3}$$

$$l_6=-\frac{1}{2}$$

И снова корни не попали в нужный промежуток! Увы, решений у данного неравенства нет. Так и запишем:

Ответ: {}