Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 10-11 класс, 15 (С3), ЕГЭ по математике

Неравенства профильного ЕГЭ – задания 15 (С3)


Неравенства… Задания, которые, как правило, требуют повышенного внимания и аккуратности. Сегодня рассматриваем неравенства, простые и сложные, и одно уравнение.

Задание 1. Решить систему неравенств: delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{9^{x+1}-28*3^x+3<=0} { log_{sqrt{7}}  7^{2/{x^2+x}}<=2}}}{ }


 

Решаем первое:

9^{x+1}-28*3^x+3<=0

3^{2x+2}-28*3^x+3<=0

9*3^{2x}-28*3^x+3<=0

Вводим новую переменную: t=3^x

9t^2-28t+3<=0

Четверть дискриминанта:

D/4=(b/2)^2-ac=196-27=169

Корни:

t_{1,2}={-{b/2} pm sqrt{D/4}}/a

t_1={14+13}/9=3

t_2={14-13}/9={1/9}

Обратная замена:

3^x=3^1  или 3^x=3^{-2}

x=1  или x={-2}

Решение приведено на рисунке:

Решение первого

Решаем второе:

log_{sqrt{7}}  7^{2/{x^2+x}}<=2

Степень вытащим вперед:

{2/{x^2+x}} log_{sqrt{7}}  7<=2

Займемся основанием логарифма:

{2/{x^2+x}} log_{7^{1/2}}  7<=2

{2/{x^2+x}}*2 log_{7}  7<=2

{2/{x^2+x}}*2<=2

{2/{x^2+x}}<=1

Приводим к общему знаменателю:

{2/{x^2+x}}-1<=0

{2/{x^2+x}}- {x^2+x }/{x^2+x}<=0

{2- x^2-x }/{x^2+x}<=0

Меняем знаки:

{x^2+x-2}/{x(x+1)}>=0″ title=”{x^2+x-2}/{x(x+1)}>=0″/> <img src=

Квадратный трехчлен в числителе разложим на множители: так как сумма коэффициентов равна 0, то один корень – 1, а второй – (-2).

{(x+2)(x-1)}/{x(x+1)}>=0″ title=”{(x+2)(x-1)}/{x(x+1)}>=0″/> <img src=

Далее самый обыкновенный метод интервалов, корни знаменателя – выколоты.

ОДЗ здесь определять не требуется – и основание логарифма, и подлогарифмическое выражение положительны при всех х.

Наложим решение одного неравенства на решение другого:

Наложение решений

Ответ: x in {lbrace}{-2}{rbrace}union (-1; 0) union {lbrace}{1}{rbrace}

 

Задание 2. Решить систему неравенств: delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{9^{lg x}+x^{2lg 3}>=6} {(log_2 x)^2+6-5log_2 x>0}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{9^{lg x}+x^{2lg 3}>=6} {(log_2 x)^2+6-5log_2 x>0}}}{ }”/> <img src=


 

Для решения второго неравенства введем новую переменную:

log_2 x=a

Тогда: a^2+6-5a>0″ title=”a^2+6-5a>0″/> <img src=

Раскладываем трехчлен на множители:

(a-3)(a-2)>0″ title=”(a-3)(a-2)>0″/> <img src=

Вводя обратную замену, имеем корни: log_2 x=2 или log_2 x=3

Тогда x_1=4 или x_2=8

Решение неравенства: x in ({-}infty; 4) union (8; +infty)

Решаем второе:

9^{lg x}+x^{2lg 3}>=6″ title=”9^{lg x}+x^{2lg 3}>=6″/> <img src=

3^{2lg x}+x^{2lg 3}>=6″ title=”3^{2lg x}+x^{2lg 3}>=6″/> <img src=

3^{2lg x}+x^{2lg 3}>=6″ title=”3^{2lg x}+x^{2lg 3}>=6″/> <img src=

2*3^{2lg x}>=6″ title=”2*3^{2lg x}>=6″/> <img src=

9^{lg x}>=3″ title=”9^{lg x}>=3″/> <img src=

9^{lg x}>=9^{1/2}” title=”9^{lg x}>=9^{1/2}”/> <img src=

lg x>=1/2″ title=”lg x>=1/2″/> <img src=

lg x>=lg {sqrt{10}}” title=”lg x>=lg {sqrt{10}}”/> <img src=

x>=sqrt{10}” title=”x>=sqrt{10}”/> <img src=

Определим, что больше: sqrt{10} или 4:

sqrt{10}<sqrt{16}

sqrt{10}<4

Накладываем решения одного неравенства на решения другого:

Наложение решений

Ответ: x in[sqrt{10};4)union(8;+infty)

 

Задание 3. Решить систему неравенств: delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2^x+2^{2-x}>=3*2^{0,5}} {log_3 x+log_{0,5}  x<1}}}{ }


 

Решаем первое: 2^x+2^{2-x}>=3*2^{0,5}” title=”2^x+2^{2-x}>=3*2^{0,5}”/> <img src=

2^x+4*{1/{2^x}}-3*2^{0,5}>=0″ title=”2^x+4*{1/{2^x}}-3*2^{0,5}>=0″/> <img src=

Домножаем на 2^x:

2^{2x}+4-3*2^{x+0,5}>=0″ title=”2^{2x}+4-3*2^{x+0,5}>=0″/> <img src=

Вводим новую переменную: 2^{x}=a

a^2-3sqrt{2}a+4>=0″ title=”a^2-3sqrt{2}a+4>=0″/> <img src=

D= (3sqrt{2})^2-4*4=2

a_1=sqrt{2} и a_1=2sqrt{2}

2^{x}=sqrt{2} и 2^{x}=2sqrt{2}

2^{x}=2^{1/2} и 2^{x}=2^{1,5}

x={1/2} и x=1,5

Решение неравенства: x in (-infty; {1/2}] union [1,5;+infty)

Решаем второе неравенство: log_3 x+log_{0,5}  x<1 ,

определим ОДЗ, x  in (0;+infty)

Хорошо бы, чтобы основание логарифма было одинаковым у обоих слагаемых, поэтому перейдем к новому основанию:

{log_3 x}+{log_3 x }/{log_3 0,5}<1

log_3 x*(1+1/{log_3 0,5})<1

{log_3 x}*(log_3 2-1)/{log_3 2}<1

log_3 x >{log_3 2}/{{log_3 2}-1}” title=”log_3 x >{log_3 2}/{{log_3 2}-1}”/> <img src=

log_3 x >{log_3 2}/{log_3 {2/3}}” title=”log_3 x >{log_3 2}/{log_3 {2/3}}”/> <img src=

log_3 x >log_{2/3} 2″ title=”log_3 x >log_{2/3} 2″/> <img src=

x>3^{log_{2/3} 2}” title=”x>3^{log_{2/3} 2}”/> <img src=

Сравним это число с  1,5:

3^{log_{2/3} 2}=3^{{ln 2}/{ln{2/3}}}=3^{{ln 2}/{ln{2}-ln{3}}}=3^(-1,7)=0,153

1,5>3^ {log_{2/3} 2}” title=”1,5>3^ {log_{2/3} 2}”/> <img src=

Общее решение: x>1,5″ title=”x>1,5″/><img src=

 

Задание 4. Решить неравенство: log_2 (7^{-x^2}-6) (7^{-x^2+9}-1)+log_2 {7^{-x^2}-6}/{7^{-x^2+9}-1}>log_2 (7^{3-x^2}-5)^2″ title=”log_2 (7^{-x^2}-6) (7^{-x^2+9}-1)+log_2 {7^{-x^2}-6}/{7^{-x^2+9}-1}>log_2 (7^{3-x^2}-5)^2″/> <img src=


 

Введем сразу же новую переменную:

t=7^{-x^2}

log_2 {(t-6) (7^9t-1)}+log_2 {t-6}/{7^9t-1}>log_2 (7^3t-5)^2″ title=”log_2 {(t-6) (7^9t-1)}+log_2 {t-6}/{7^9t-1}>log_2 (7^3t-5)^2″/> <img src=

Так как x^2 – величина положительная,  то -x^2 – отрицательная. Тогда 0<t<=1 . Получаем, что t-6<0 , а это значит, что, чтобы подлогарифмическое выражение было бы положительным, обязательно должно выполняться условие: 7^9t-1<0

Тогда 7^9t<1

0<t<1/{7^9}

7^{-x^2} <7^{-9}

x^2>9″ title=”x^2>9″/> <img src=

x in ({-}infty; -3) union (3; +infty)

При этом условии сворачиваем сумму логарифмов:

log_2 {(t-6) (7^9t-1)}* {t-6}/{7^9t-1}>log_2 (7^3t-5)^2″ title=”log_2 {(t-6) (7^9t-1)}* {t-6}/{7^9t-1}>log_2 (7^3t-5)^2″/> <img src=

delim{|}{t-6}{|}>delim{|}{7^3t-5}{|}” title=”delim{|}{t-6}{|}>delim{|}{7^3t-5}{|}”/> <img src=

Оба модуля раскрываем с минусами, так как выражения под их знаками отрицательные, как это ранее выяснилось:

6-t>5-7^3t” title=”6-t>5-7^3t”/> <img src=

1-t<-7^3t

7^3*7^{-x^2} -7^{-x^2} >-1″ title=”7^3*7^{-x^2} -7^{-x^2} >-1″/> <img src=

7^{-x^2}(1-7^3) <1

1/{7^{x^2}} >1/{ 1-7^3}” title=”1/{7^{x^2}} >1/{ 1-7^3}”/> <img src= – положительное число слева, очевидно, больше отрицательного справа.

Ответ: x in ({-}infty; -3) union (3; +infty)

Задание 5. Решить неравенство: 5^{2x^2-2x+1}<=sqrt{3sin ({pi}x-arctg{4/3})+4 cos({pi}x-arctg{4/3})}


 

Справа просится дополнительный угол:

5^{2x^2-2x+1}<=sqrt{3sin ({pi}x-a)+4 cos({pi}x-a)}

a= arctg{4/3}, тогда sin a= {4/5}, cos a={3/5}.

Разделим и домножим правую часть на sqrt{5}, тогда

5^{2x^2-2x+1}<= sqrt{5}*sqrt{(cos a)*sin ({pi}x-a)+(sin a)*cos({pi}x-a)}

5^{2x^2-2x+1}<= sqrt{5}*sqrt{sin {pi}x}

sqrt{5}^{4x^2-4x+2}<= sqrt{5}*sqrt{sin {pi}x}

sqrt{5}^{(2x-1)^2+1}<= sqrt{5}*sqrt{sin {pi}x}

Так как синус принимает значения от 0 до 1:

0<={sin {pi}x}<=1

то правая часть принимает значения от 0 до sqrt{5}^1, то есть степень левой части также принимает значения от 0 до 1: 0<={(2x-1)^2+1}<=1

То есть (2x-1)^2=0

2x-1=0

2x=1

x={1/2}

Ответ: x={1/2}

 

Задание 6. Решить уравнение: 3^{3-2x}-log_2 (2-3x)=3^{2-3x}-log_2 (3-2x)


 

Сделаем перенос: 3^{3-2x}+ log_2 (3-2x) =3^{2-3x}+log_2 (2-3x)

Заметим, что f(3-2x)=f(2-3x), таким образом, решение можно найти, приравняв аргументы: 3-2x=2-3x, откуда x=-1

Ответ: -1

Продолжение следует…

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *