Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 10-11 класс, 15 (С3), ЕГЭ по математике

Неравенства профильного ЕГЭ – задания 15 (С3) – продолжение


И еще немного неравенств… Обязательно помним про ОДЗ там, где есть корни, логарифмы, дроби!

Задание 1. Решить неравенство: log_{{x^2-18x+91}/90}  (5x-3/10)<=0


 

ОДЗ:

1)      {x^2-18x+91}/90<>1″ title=”{x^2-18x+91}/90<>1″/> <img src=

{x^2-18x+91}<>90″ title=”{x^2-18x+91}<>90″/> <img src=

x^2-18x+1<>0″ title=”x^2-18x+1<>0″/> <img src=

Определим четверть дискриминанта (второй коэффициент – четный):

D/4=(b/2)^2-ac=9^2-1=80

Тогда недопустимыми значениями х являются:

x_{1,2}={{-b/2} pm sqrt{D/4}}/a=9 pm sqrt{80}

2)      5x-3/10>0″ title=”5x-3/10>0″/> <img src=

x>0,06″ title=”x>0,06″/> <img src=

Чтобы окончательно определить область допустимых значений, сравним числа 0,06  и 9 - sqrt{80}:

Предположим, что 0,06>9 – sqrt{80}” title=”0,06>9 – sqrt{80}”/> <img src=

Тогда верно неравенство:   9-0,06<sqrt{80}

(8,94)^2< 80

79,92< 80 – действительно, неравенство выполняется.

Тогда окончательно ОДЗ: x in (0,06; 9+4sqrt{5}) union (9+4sqrt{5} ;+infty)

Далее применим метод рационализации, неравенство примет вид:

({x^2-18x+91}/90-1)(5x-1,3)<=0

({x^2-18x+91-90)(5x-1,3)<=0

({x^2-18x+1)(5x-1,3)<=0

ОДЗ и решение неравенства

 

Корни: x_1=9+sqrt{80}, x_2=9-sqrt{80},x_3=0,26

Расставляем знаки интервалов:

Решение с учетом ОДЗ: x in[0,26; 9+4sqrt{5})

 

 

Задание 2. Решить неравенство: {15/14}^{delim{|}{x+7}{|}}<{15/14}^{delim{|}{x^2-3x+2}{|}}


 

Так как основания степеней одинаковые и больше 1, то переходим к сравнению показателей с сохранением знака:

{delim{|}{x+7}{|}}<{delim{|}{x^2-3x+2}{|}}

Выясняем точки перемены знака подмодульных выражений:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x+7=0} {x^2-3x+2=0}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x=-7} { (x-1)(x-2)=0}}}{ }

Расставляем знаки подмодульных выражений на полученных промежутках:

Раскрытие модуля

Раскрываем модули на этих промежутках с соответствующими знаками:

Первый интервал: x in ({-}infty; -7)

-x-7< x^2-3x+2

x^2-2x+9>0″ title=”x^2-2x+9>0″/> <img src= – дискриминант отрицателен, а первый коэффициент – положителен. При этих условиях трехчлен всегда положителен, решения неравенства – весь указанный промежуток.

Второй интервал: x in (-7;1)

x+7< x^2-3x+2

x^2-4x-5>0″ title=”x^2-4x-5>0″/> <img src=

D/4=(b/2)^2-ac=2^2+5=9

x_{1,2}={{-b/2} pm sqrt{D/4}}/a=2 pm sqrt{9}

Решение с учетом границ интервала

x_1=5, x_2=-1

Решение: x in ({-}infty; -1)union (5;+infty)

С учетом границ интервала x in (-7;-1)

Третий интервал: x in (1;2)

x+7< -x^2+3x-2

x^2-2x+9<0 – нет решений (трехчлен положителен при всех значениях х, так как дискриминант отрицателен, а первый коэффициент – положителен)

Четвертый интервал: x in (2;+infty)

x+7< x^2-3x+2

x^2-4x-5>0″ title=”x^2-4x-5>0″/> <img src=

D/4=(b/2)^2-ac=2^2+5=9

x_{1,2}={{-b/2} pm sqrt{D/4}}/a=2 pm sqrt{9}

x_1=5, x_2=-1

Решение: x in ({-}infty; -1)union (5;+infty)

С учетом границ интервала x in (5;+infty)

Решение с учетом границ

В итоге решение неравенства: x in ({-}infty; -1)union (5;+infty)

Задание 3. Решить неравенство: sqrt{1-log_5 (x^2-2x+2)}< log_5 (5x^2-10x+10)


 

Сразу определим ОДЗ:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x^2-2x+2>0}{x^2-2x+2<>1} {1-log_5 (x^2-2x+2)>=0}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x^2-2x+2>0}{x^2-2x+2<>1} {1-log_5 (x^2-2x+2)>=0}}}{ }”/> <img src=

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{(x-1)^2+1>0}{x^2-2x+1<>0} {log_5 (x^2-2x+2)<=1}}}{ }

Первое выполняется всегда, второе:

x<>1″ title=”x<>1″/> <img src=

Третье:

log_5 (x^2-2x+2)<=log_5 5

x^2-2x+2<=5

x^2-2x-3<=0

(x+1)(x+3)<=0

Расставим знаки интервалов:

Решение: x in[-1; 3]

ОДЗ: x in[-1; 1)union(1;3]

Решим теперь само неравенство, возведем его в квадрат:

1-log_5 (x^2-2x+2)< (log_5 (5x^2-10x+10))^2

1-log_5 (x^2-2x+2)< (log_5 5+ log_5 (5x^2-2x+2))^2

1-log_5 (x^2-2x+2)< (1+ log_5 (5x^2-2x+2))^2

Вводим новую переменную:

a=log_5 (x^2-2x+2)

1-a< (1+ a)^2

1-a< 1+ 2a+a^2

a^2+3a>0″ title=”a^2+3a>0″/> <img src=

a(a+3)>0″ title=”a(a+3)>0″/> <img src=

Знаки интервалов и обратная замена:

log_5 (x^2-2x+2)>0″ title=”log_5 (x^2-2x+2)>0″/> <img src=

log_5 (x^2-2x+2)>log_5 1″ title=”log_5 (x^2-2x+2)>log_5 1″/> <img src=

x^2-2x+2>1″ title=”x^2-2x+2>1″/> <img src=

x^2-2x+1>0″ title=”x^2-2x+1>0″/> <img src= – выполняется всегда.

log_5 (x^2-2x+2)<-3 – данное неравенство решений не имеет.

Ответ: x in[-1; 1)union(1;3]

 

Задание 4. Решить неравенство: log_2 {sqrt{x-1}}* log_{sqrt{x-1}} (x+3)- log_{1/{sqrt{2}}} {sqrt{x-1}}<=2+log_4  9


 

ОДЗ:

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{x-1>0}{x+3>0}{x+3<>1}{sqrt{x-1}<>1}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{x-1>0}{x+3>0}{x+3<>1}{sqrt{x-1}<>1}}}{ }”/> <img src=

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{x>1}{x>-3}{x<>-2}{x<>2}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{x>1}{x>-3}{x<>-2}{x<>2}}}{ }”/> <img src=

Область допустимых значений: delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x>1}{x<>2}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x>1}{x<>2}}}{ }”/> <img src=

 

В левой  части переходим к логарифму с другим основанием:

{log_2 {sqrt{x-1}}}*{log_2 (x+3)}/{log_2{sqrt{x-1}}} - log_{2^{-1/2}} {sqrt{x-1}}<=2+log_4  9

{log_2 {sqrt{x-1}}}*{log_2 (x+3)}/{log_2{sqrt{x-1}}} +2 log_2 {sqrt{x-1}}<=2+log_4  9

log_2 (x+3) +log_2 (x-1)<= log_2 4+{1/2}{log_2  9}

log_2 (x+3)(x-1)<= log_2 4+log_2  {sqrt{9}}

log_2 (x+3)(x-1)<= log_2 12

(x+3)(x-1)<= 12

x^2+2x-15<= 0

D/4=(b/2)^2-ac=1+15=16

x_{1,2}={{-b/2} pm sqrt{D/4}}/a=-1 pm sqrt{16}

x_1=3, x_1=-5

 

Зеленым показано решение неравенства, красным – ОДЗ. Пересечение этих областей и есть решение:

Ответ: x in (1; 2)union(2;3]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *