Неравенства профильного ЕГЭ - задания 15 (С3)

Неравенства профильного ЕГЭ – задания 15 (С3) – продолжение

И еще немного неравенств… Обязательно помним про ОДЗ там, где есть корни, логарифмы, дроби!

Задание 1. Решить неравенство: $log_{{x^2-18x+91}/90} (5x-3/10)<=0$

ОДЗ:

1) ${x^2-18x+91}/90<>1″ title=”{x^2-18x+91}/90<>1″/> <img src=$

${x^2-18x+91}<>90″ title=”{x^2-18x+91}<>90″/> <img src=$

x^2-18x+1<>0″ title=”x^2-18x+1<>0″/> <img src=

Определим четверть дискриминанта (второй коэффициент – четный):

D/4=(b/2)^2-ac=9^2-1=80

Тогда недопустимыми значениями х являются:

$x_{1,2}={{-b/2} pm sqrt{D/4}}/a=9 pm sqrt{80}$

2) 5x-3/10>0″ title=”5x-3/10>0″/> <img src=

x>0,06″ title=”x>0,06″/> <img src=

Чтобы окончательно определить область допустимых значений, сравним числа 0,06 и 9 - sqrt{80} :

Предположим, что 0,06>9 – sqrt{80}” title=”0,06>9 – sqrt{80}”/> <img src=

Тогда верно неравенство: 9-0,06<sqrt{80}

(8,94)^2< 80

79,92< 80 – действительно, неравенство выполняется.

Тогда окончательно ОДЗ: x in (0,06; 9+4sqrt{5}) union (9+4sqrt{5} ;+infty)

Далее применим метод рационализации, неравенство примет вид:

$({x^2-18x+91}/90-1)(5x-1,3)<=0$

$({x^2-18x+91-90)(5x-1,3)<=0$

$({x^2-18x+1)(5x-1,3)<=0$

ОДЗ и решение неравенства

Корни: $x_1=9+sqrt{80}, x_2=9-sqrt{80},x_3=0,26$

Расставляем знаки интервалов:

Решение с учетом ОДЗ: x in [ 0,26; 9+4sqrt{5} )

Задание 2. Решить неравенство: ${15/14}^{delim{|}{x+7}{|}}<{15/14}^{delim{|}{x^2-3x+2}{|}}$

Так как основания степеней одинаковые и больше 1, то переходим к сравнению показателей с сохранением знака:

${delim{|}{x+7}{|}}<{delim{|}{x^2-3x+2}{|}}$

Выясняем точки перемены знака подмодульных выражений:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x+7=0} {x^2-3x+2=0}}}{ }$

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x=-7} { (x-1)(x-2)=0}}}{ }

Расставляем знаки подмодульных выражений на полученных промежутках:

Раскрытие модуля

Раскрываем модули на этих промежутках с соответствующими знаками:

Первый интервал: x in ({-}infty; -7)

-x-7< x^2-3x+2

x^2-2x+9>0″ title=”x^2-2x+9>0″/> <img src= – дискриминант отрицателен, а первый коэффициент – положителен. При этих условиях трехчлен всегда положителен, решения неравенства – весь указанный промежуток.

Второй интервал: x in (-7;1)

x+7< x^2-3x+2

x^2-4x-5>0″ title=”x^2-4x-5>0″/> <img src=

D/4=(b/2)^2-ac=2^2+5=9

$x_{1,2}={{-b/2} pm sqrt{D/4}}/a=2 pm sqrt{9}$

Решение с учетом границ интервала

x_1=5 , x_2=-1

Решение: x in ({-}infty; -1)union (5;+infty)

С учетом границ интервала x in (-7;-1)

Третий интервал: x in (1;2)

x+7< -x^2+3x-2

x^2-2x+9<0 – нет решений (трехчлен положителен при всех значениях х, так как дискриминант отрицателен, а первый коэффициент – положителен)

Четвертый интервал: x in (2;+infty)

x+7< x^2-3x+2

x^2-4x-5>0″ title=”x^2-4x-5>0″/> <img src=

D/4=(b/2)^2-ac=2^2+5=9

$x_{1,2}={{-b/2} pm sqrt{D/4}}/a=2 pm sqrt{9}$

x_1=5 , x_2=-1

Решение: x in ({-}infty; -1)union (5;+infty)

С учетом границ интервала x in (5;+infty)

Решение с учетом границ

В итоге решение неравенства: x in ({-}infty; -1)union (5;+infty)

Задание 3. Решить неравенство: $sqrt{1-log_5 (x^2-2x+2)}< log_5 (5x^2-10x+10)$

Сразу определим ОДЗ:

$delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x^2-2x+2>0}{x^2-2x+2<>1} {1-log_5 (x^2-2x+2)>=0}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x^2-2x+2>0}{x^2-2x+2<>1} {1-log_5 (x^2-2x+2)>=0}}}{ }”/> <img src=$

$delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{(x-1)^2+1>0}{x^2-2x+1<>0} {log_5 (x^2-2x+2)<=1}}}{ }$

Первое выполняется всегда, второе:

x<>1″ title=”x<>1″/> <img src=

Третье:

log_5 (x^2-2x+2)<=log_5 5

x^2-2x+2<=5

x^2-2x-3<=0

(x+1)(x+3)<=0

Расставим знаки интервалов:

задача 15 профиль

Решение: x in[-1; 3]

ОДЗ: x in [ -1; 1 ) union ( 1;3 ]

Решим теперь само неравенство, возведем его в квадрат:

1-log_5 (x^2-2x+2)< (log_5 (5x^2-10x+10))^2

1-log_5 (x^2-2x+2)< (log_5 5+ log_5 (5x^2-2x+2))^2

1-log_5 (x^2-2x+2)< (1+ log_5 (5x^2-2x+2))^2

Вводим новую переменную:

a=log_5 (x^2-2x+2)

1-a< (1+ a)^2

1-a< 1+ 2a+a^2

a^2+3a>0″ title=”a^2+3a>0″/> <img src=

a(a+3)>0″ title=”a(a+3)>0″/> <img src=

Знаки интервалов и обратная замена:

задача 15 профиль

log_5 (x^2-2x+2)>0″ title=”log_5 (x^2-2x+2)>0″/> <img src=

log_5 (x^2-2x+2)>log_5 1″ title=”log_5 (x^2-2x+2)>log_5 1″/> <img src=

x^2-2x+2>1″ title=”x^2-2x+2>1″/> <img src=

x^2-2x+1>0″ title=”x^2-2x+1>0″/> <img src= – выполняется всегда.

log_5 (x^2-2x+2)<-3 – данное неравенство решений не имеет.

Ответ: x in [ -1; 1 ) union ( 1;3 ]

Задание 4. Решить неравенство: $log_2 {sqrt{x-1}}* log_{sqrt{x-1}} (x+3)- log_{1/{sqrt{2}}} {sqrt{x-1}}<=2+log_4 9$

ОДЗ:

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{x-1>0}{x+3>0}{x+3<>1}{sqrt{x-1}<>1}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{x-1>0}{x+3>0}{x+3<>1}{sqrt{x-1}<>1}}}{ }”/> <img src=