Разделы сайта

Категория:

...

Неравенства профильного ЕГЭ - задания 15 (С3)

20.05.2015 15:23:04 | Автор: Анна

Неравенства… Задания, которые, как правило, требуют повышенного внимания и аккуратности. Сегодня рассматриваем неравенства, простые и сложные, и одно уравнение.

Задание 1. Решить систему неравенств: $delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{9^{x+1}-28*3^x+3<=0} { log_{sqrt{7}} 7^{2/{x^2+x}}<=2}}}{ }$

Решаем первое:

$9^{x+1}-28*3^x+3<=0$

$3^{2x+2}-28*3^x+3<=0$

$9*3^{2x}-28*3^x+3<=0$

Вводим новую переменную: t=3^x

9t^2-28t+3<=0

Четверть дискриминанта:

D/4=(b/2)^2-ac=196-27=169

Корни:

$t_{1,2}={-{b/2} pm sqrt{D/4}}/a$

$t_1={14+13}/9=3$

$t_2={14-13}/9={1/9}$

Обратная замена:

3^x=3^1 или $3^x=3^{-2}$

x=1 или x={-2}

Решение приведено на рисунке:

Решение первого

Решаем второе:

$log_{sqrt{7}} 7^{2/{x^2+x}}<=2$

Степень вытащим вперед:

${2/{x^2+x}} log_{sqrt{7}} 7<=2$

Займемся основанием логарифма:

${2/{x^2+x}} log_{7^{1/2}} 7<=2$

${2/{x^2+x}}*2 log_{7} 7<=2$

${2/{x^2+x}}*2<=2$

${2/{x^2+x}}<=1$

Приводим к общему знаменателю:

${2/{x^2+x}}-1<=0$

${2/{x^2+x}}- {x^2+x }/{x^2+x}<=0$

${2- x^2-x }/{x^2+x}<=0$

Меняем знаки:

${x^2+x-2}/{x(x+1)}>=0$

Квадратный трехчлен в числителе разложим на множители: так как сумма коэффициентов равна 0, то один корень – 1, а второй – (-2).

{(x+2)(x-1)}/{x(x+1)}>=0

Далее самый обыкновенный метод интервалов, корни знаменателя – выколоты.

ОДЗ здесь определять не требуется – и основание логарифма, и подлогарифмическое выражение положительны при всех х.

Наложим решение одного неравенства на решение другого:

Наложение решений

Ответ: x in {lbrace}{-2}{rbrace}union (-1; 0) union {lbrace}{1}{rbrace}

Задание 2. Решить систему неравенств: $delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{9^{lg x}+x^{2lg 3}>=6} {(log_2 x)^2+6-5log_2 x>0}}}{ }$

Для решения второго неравенства введем новую переменную:

log_2 x=a

Тогда: a^2+6-5a>0

Раскладываем трехчлен на множители:

(a-3)(a-2)>0

Вводя обратную замену, имеем корни: log_2 x=2 или log_2 x=3

Тогда x_1=4 или x_2=8

Решение неравенства: x in ({-}infty; 4) union (8; +infty)

Решаем второе:

$9^{lg x}+x^{2lg 3}>=6$

$3^{2lg x}+x^{2lg 3}>=6$

$2*3^{2lg x}>=6$

$9^{lg x}>=3$

$9^{lg x}>=9^{1/2}$

lg x>=1/2

lg x>=lg {sqrt{10}}

x>=sqrt{10}

Определим, что больше: sqrt{10} или 4:

sqrt{10}<sqrt{16}

sqrt{10}<4

Накладываем решения одного неравенства на решения другого:

Наложение решений

Ответ: x in [ sqrt{10};4 ) union(8;+infty)

Задание 3. Решить систему неравенств: $delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2^x+2^{2-x}>=3*2^{0,5}} {log_3 x+log_{0,5} x<1}}}{ }$

Решаем первое: $2^x+2^{2-x}>=3*2^{0,5}$

$2^x+4*{1/{2^x}}-3*2^{0,5}>=0$

Домножаем на 2^x :

$2^{2x}+4-3*2^{x+0,5}>=0$

Вводим новую переменную: $2^{x}=a$

$a^2-3sqrt{2}a+4>=0$

$D= (3sqrt{2})^2-4*4=2$

$a_1=sqrt{2}$ и $a_1=2sqrt{2}$

$2^{x}=sqrt{2}$ и $2^{x}=2sqrt{2}$

$2^{x}=2^{1/2}$ и $2^{x}=2^{1,5}$

x={1/2} и x=1,5

Решение неравенства: x in ( -infty; {1/2} ] union [ 1,5;+infty )

Решаем второе неравенство: $log_3 x+log_{0,5} x<1$ ,

определим ОДЗ, x in (0;+infty)

Хорошо бы, чтобы основание логарифма было одинаковым у обоих слагаемых, поэтому перейдем к новому основанию:

${log_3 x}+{log_3 x }/{log_3 0,5}<1$

$log_3 x*(1+1/{log_3 0,5})<1$

${log_3 x}*(log_3 2-1)/{log_3 2}<1$

$log_3 x >{log_3 2}/{{log_3 2}-1}$

$log_3 x >{log_3 2}/{log_3 {2/3}}$

$log_3 x >log_{2/3} 2$

$x>3^{log_{2/3} 2}$

Сравним это число с 1,5:

$3^{log_{2/3} 2}=3^{{ln 2}/{ln{2/3}}}=3^{{ln 2}/{ln{2}-ln{3}}}=3^(-1,7)=0,153$

$1,5>3^ {log_{2/3} 2}$

Общее решение: x>1,5

Задание 4. Решить неравенство: $log_2 (7^{-x^2}-6) (7^{-x^2+9}-1)+log_2 {7^{-x^2}-6}/{7^{-x^2+9}-1}>log_2 (7^{3-x^2}-5)^2$

Введем сразу же новую переменную:

$t=7^{-x^2}$

$log_2 {(t-6) (7^9t-1)}+log_2 {t-6}/{7^9t-1}>log_2 (7^3t-5)^2$

Так как x^2 – величина положительная, то -x^2 – отрицательная. Тогда 0<t<=1 . Получаем, что t-6<0 , а это значит, что, чтобы подлогарифмическое выражение было бы положительным, обязательно должно выполняться условие: 7^9t-1<0