Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 10-11 класс, 15 (С3), ЕГЭ по математике

Неравенства профильного ЕГЭ (задания 15) – не опять, а снова!


И еще немного неравенств… Обязательно помним про ОДЗ там, где есть корни, логарифмы, дроби!

Задание 1. Решить систему неравенств: delim{lbrace}{matrix{5}{1}{{9^(x+{1/2})-28*3^(x-1)+1<=0} { } { } {log_{{sqrt{7}}^{x+{1/2}}} (7^{2/{x^2+x}})<=4/{2x+1}} { }}}{ }


 

Первое неравенство системы – несложное и не требует определения ОДЗ. Начнем с него.

9^(x+{1/2})-28*3^(x-1)+1<=0

9^x*sqrt{9}-{28/3}*3^x+1<=0

Сделаем замену: 3^x=t

t^2*sqrt{9}-{28/3}*t+1<=0

9t^2-28t+3<=0

Четверть дискриминанта:

D/4={b^2}/4-ac=14^2-27=169

Корни:  t_{1,2}={-b/2 pm sqrt{D/4}}/2={14 pm 13}/9

t_1=3, t_2={1/9}

Решение неравенства:

t in ({-}infty; {1/9}) union (3; + infty)

Теперь сделаем обратную замену и запишем решение неравенства:

3^x=3, x=1

3^x={1/9}, x=-2

x in ({-}infty; -2) union (1; + infty)

Решаем второе неравенство системы:

log_{{sqrt{7}}^{x+{1/2}}}   7^{2/{x^2+x}} <=4/{2x+1}

ОДЗ:

delim{lbrace}{matrix{6}{1}{{{{sqrt{7}}^{x+{1/2}}}<>1} { } {{{sqrt{7}}^{x+{1/2}}}>0} { } {{x^2+x}<>0} { }}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{6}{1}{{{{sqrt{7}}^{x+{1/2}}}<>1} { } {{{sqrt{7}}^{x+{1/2}}}>0} { } {{x^2+x}<>0} { }}}{ }”/> <img src=

 

 

delim{lbrace}{matrix{5}{1}{{{{7}^{{1/2}x+1/4}}<>7^0} { } {{{sqrt{7}}^{x+1/2}}>0} { } { x(x+1)<>0}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{5}{1}{{{{7}^{{1/2}x+1/4}}<>7^0} { } {{{sqrt{7}}^{x+1/2}}>0} { } { x(x+1)<>0}}}{ }”/> <img src=

 

 

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{{{1/2}x+1/4}<>0} {{sqrt{7}}^{x+1/2}>0}  { x(x+1)<>0} {}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{{{1/2}x+1/4}<>0} {{sqrt{7}}^{x+1/2}>0}  { x(x+1)<>0} {}}}{ }”/> <img src=

Второе неравенство всегда выполняется. Запрещенная точка, полученная в первом неравенстве – -{1/2}. Запрещенные точки из третьего неравенства – 0 и (-1).

Решаем само неравенство:

{2/{x^2+x}}*log_{{7}^{{1/2}x+{1/4}}}  7 <=4/{2x+1}

{2/{x^2+x}}*log_{{7}^{{1/2}(2x+1)/2}}  7 <=4/{2x+1}

{2/{x^2+x}}*{4/{2x+1}}*log_7  7 <=4/{2x+1}

{2/{x^2+x}}*{4/{2x+1}} <=4/{2x+1}

{2/{x^2+x}}*{1/{2x+1}} -1/{2x+1}<=0

{2/{x^2+x}}*{1/{2x+1}} -{x^2+x}/{(x^2+x)(2x+1)}<=0

{2 - x^2-x}/{x(x+1)(2x+1)}<=0

Меняем знаки и знак неравенства:

{x^2+x-2}/{x(x+1)(2x+1)}>=0″ title=”{x^2+x-2}/{x(x+1)(2x+1)}>=0″/><img src=

По Виету определяем корни трехчлена в числителе:

{(x-1)(x+2)}/{x(x+1)(2x+1)}>=0″ title=”{(x-1)(x+2)}/{x(x+1)(2x+1)}>=0″/><img src=

Решение по методу интервалов:

x in[{-}2; -1) union (-{1/2};0) union[1;+ infty)

Наконец, накладываем решение обоих неравенств на ОДЗ:

x in[{-}2; {-}1) union ({-{}1/2};0) union {lbrace}{1}{rbrace}

 

 

Задание 2. Решить систему неравенств: delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{log_{3} (x^2/4-16/x^2)<=1} {{2x^2+x-28}/{(x-6)^3+(x-5)^3-1}<=0}}}{ }


 

Решим первое неравенство, определим ОДЗ:

log_{3} (x^2/4-16/x^2)<=1

x^2/4-16/x^2>0″ title=”x^2/4-16/x^2>0″/><img src=

x^4/4-16>0″ title=”x^4/4-16>0″/><img src=

x^4>64″ title=”x^4>64″/><img src=

x>2sqrt{2}” title=”x>2sqrt{2}”/><img src= либо x<-2sqrt{2}

И обязательно отметим, что x<>0″ title=”x<>0″/><img src=

Решаем само неравенство, по определению логарифма:

x^2/4-16/x^2<=3

x^4/4-16-3x^2<=0

x^4-12x^2-64<=0

Введем замену:

v^2-12v-64<=0

D/4=100

v<=-4 или v>16″ title=”v>16″/><img src=

Первое неравенство решений не имеет. Во втором делаем обратную замену:

x^2>16″ title=”x^2>16″/><img src=

Решение:

x>4″ title=”x>4″/><img src= либо x<-4

x in ({-}infty; -4) union (4; + infty)

Наложим это решение на ОДЗ позже, а пока решим второе неравенство:

{2x^2+x-28}/{(x-6)^3+(x-5)^3-1}<=0

Числитель разложим на множители, а знаменатель попробуем упростить. Для этого разложим (x-5)^3-1 как разность кубов:

{2x^2+x-28}/{(x-6)^3+(x-5-1)((x-5)^2+x-5+1)}<=0

{2x^2+x-28}/{(x-6)((x-6)^2+(x-5)^2+x-4)}<=0

{2x^2+x-28}/{(x-6)(2x^2-21x+57)}<=0

Трехчлен 2x^2-21x+57 имеет положительный старший коэффициент, и при этом – отрицательный дискриминант, то есть он положителен при всех значениях х. Поэтому, если мы просто забудем про него, то знак неравенства не изменится:

{2x^2+x-28}/{x-6}<=0

Разложим числитель на множители:

D=225

x_1=-4 и x_2=3,5

{(x-3,5)(x+4)}/{x-6}<=0

Решение изображено на рис.

Ну и, наконец, применим ОДЗ и совместим решения обоих неравенств:

Решение неравенства : x in ({-}infty; -4) union(4; 6]

 

 

Задание 3. Решить систему неравенств:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{16^(x-{5/4})-3*4^(x-{3/2})+1>=0} { } {log_2 ({2x^2+5x-7}/{3x-2})<=1}}}{}



Решаем второе неравенство, по определению логарифма:

log_{2} ({2x^2+5x-7}/{3x-2})<=1

{2x^2+5x-7}/{3x-2}<=2

{2x^2+5x-7}/{3x-2}-{2(3x-2)}/{3x-2}<=0

{2x^2-x-3}/{3x-2}<=0

Раскладываем на множители числитель: сумма первого и третьего коэффициентов равна второму, следовательно, корни (-1) и 1,5. Корень знаменателя – 2/3:

{2(x-{3/2})(x+1)}/{3(x-{2/3})}<=0

Решение: x in ({-}infty; -1]union ({2/3}; +{3/2}]

Теперь определим ОДЗ, ведь мы имеем дело с логарифмическим неравенством:

{2x^2+5x-7}/{3x-2}>0″ title=”{2x^2+5x-7}/{3x-2}>0″/> <img src=

Сумма коэффициентов числителя равна нулю, поэтому корни: 1 и (-3,5):

{2(x-1)(x+3,5)}/{3(x-{2/3})}>0″ title=”{2(x-1)(x+3,5)}/{3(x-{2/3})}>0″/> <img src=

ОДЗ: x in ({-}3,5; {2/3}) union (1; +infty)

Решим теперь первое неравенство, а затем наложим оба решения на ОДЗ:

16^(x-5/4)-3*4^(x-3/2)+1>=0″ title=”16^(x-5/4)-3*4^(x-3/2)+1>=0″/> <img src=

{16^x}/{16^{5/4}}-3*{4^x}/{4^{3/2}}+1>=0″ title=”{16^x}/{16^{5/4}}-3*{4^x}/{4^{3/2}}+1>=0″/> <img src=

{16^x}/{root{4}{16^5}}-3*{4^x}/{sqrt{4^3}}+1>=0″ title=”{16^x}/{root{4}{16^5}}-3*{4^x}/{sqrt{4^3}}+1>=0″/> <img src=

{16^x}/32-{3*{4^x}}/8+1>=0″ title=”{16^x}/32-{3*{4^x}}/8+1>=0″/> <img src=

{16^x}-12*{4^x}}+32>=0″ title=”{16^x}-12*{4^x}}+32>=0″/> <img src=

Вводим замену: {4^x}=t

t^2-12t+32>=0″ title=”t^2-12t+32>=0″/> <img src=

Корни по Виету: 8 и 4.

(t-8)(t-4)>=0″ title=”(t-8)(t-4)>=0″/> <img src=

Решение неравенства с заменой: t in ({-}infty; 4] union [8; +infty )

Обратная замена:

{4^x}=4, x=1

{4^x}=8, x=1,5

Решение неравенства : t in ({-}infty; 1] union [1,5; +infty )

Накладываем решения обоих неравенств на ОДЗ:

Решение всей системы:

x in(-3,5; -1] union {lbrace}{1,5}{rbrace}

 

Задание 4. Решить систему неравенств: delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x*log_{x+3} (7-2x)>=0} {19*4^x+4^({-}x)<=20}}}{ }


 

ОДЗ неравенства:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}  {{x+3>0} {x+3<>1} {7-2x>0}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{3}{1}  {{x+3>0} {x+3<>1} {7-2x>0}}}{ }”/> <img src=

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x>-3} {x<>-2} {x<3,5}}}{ }

Решение, второе неравенство:

19*4^x+4^({-}x)<=20

Вводим замену:

4^x=a

19a^2+1<=20a

19a^2-20a+1<=0

Сумма коэффициентов равна 0, следовательно, корни 1 и {1/19}.

Решение неравенства с заменой:

x in [{1/19}; 1]

Переходим обратно к переменной х:

4^x=1

x=0

Или

4^x={1/19}

x=log_4 {1/19} – заметим, что данный логарифм – величина отрицательная, и меньше (-2).

Иными словами, значения х, удовлетворяющие второму неравенству – все неположительные.

x in [log_4 {1/19}; 0]

 

Тогда первое неравенство:

x*log_{x+3} (7-2x)>=0″ title=”x*log_{x+3} (7-2x)>=0″/> <img src=

Можно записать так:

log_{x+3} (7-2x)<=0

При условии x+3>1″ title=”x+3>1″/> <img src=, x>-2″ title=”x>-2″/> <img src=:

log_{x+3} (7-2x)<=log_{x+3} 1

7-2x<= 1 , x>=3″ title=”x>=3″/> <img src=

При условии x+3<1 , x+3>0″ title=”x+3>0″/> <img src=, или x<-2 , x>-3″ title=”x>-3″/> <img src=,

log_{x+3} (7-2x)<=log_{x+3} 1

7-2x>= 1″ title=”7-2x>= 1″/> <img src=, x<=3

Тогда получили решение второго неравенства, состоящее из двух частей:

x in (-3; -2) union[3; +infty)

Осталось наложить решение данного неравенства на решение предыдущего:

Проверка показывает, что общее решение принадлежит ОДЗ полностью.

x in [log_4 {1/19}; -2)

 

 

Задание 5. Решить систему неравенств: delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2log_{(x^2-4x+5)^2} (4x^2+1)<=log_{x^2-4x+5}  (3x^2+4x+1)} {3^x+8*3^({-}x)>=9}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2log_{(x^2-4x+5)^2} (4x^2+1)<=log_{x^2-4x+5}  (3x^2+4x+1)} {3^x+8*3^({-}x)>=9}}}{ }”/> <img src=


 

Решаем второе неравенство:

3^x+8*3^({-}x)>=9″ title=”3^x+8*3^({-}x)>=9″/> <img src=

Вводим замену:

3^x=a

a^2-9a+8>=0″ title=”a^2-9a+8>=0″/></p>
<p>Сумма коэффициентов равна 0, следовательно, корни 1 и 8.</p>
<p>Решение неравенства с заменой:</p>
<p><img src= ({-}infty; 1] union [8; +infty)

Обратная замена:

3^x=1 или 3^x=8

x=0 или x=log_3 8

Решение неравенства:

x in({-}infty; 0]union[log_3  8; +infty)

Решаем первое неравенство системы, определяем ОДЗ:

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{x^2-4x+5>0} {4x^2+1>0} {x^2-4x+5<>1}  {3x^2+4x+1>0}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{x^2-4x+5>0} {4x^2+1>0} {x^2-4x+5<>1}  {3x^2+4x+1>0}}}{ }”/> <img src=

Первое неравенство системы ОДЗ выполняется всегда в силу отрицательности дискриминанта и положительности первого коэффициента. Второе неравенство – аналогично, выполняется всегда. Третье накладывает условие:  x<>2″ title=”x<>2″/> <img src=

Последнее неравенство: 3x^2+4x+1>0″ title=”3x^2+4x+1>0″/> <img src=

Сумма первого и третьего коэффициентов равна второму, поэтому корни: (-1) и (-1/3)

Получили ОДЗ:

x in ({-}infty; {-}1) union ({-}{1/3}; 2) union ( 2; +infty)

Решение самого неравенства состоит из двух частей в зависимости от основания:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{log_{x^2-4x+5} (4x^2+1)<=log_{x^2-4x+5}  (3x^2+4x+1)} { x^2-4x+5<1}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{4x^2+1>=3x^2+4x+1} { x^2-4x+4<0}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x^2-4x>=0} {(x-2)^2<0}}}{ }

Так как второе неравенство этой системы не выполняется никогда, то и решений система не имеет.

Либо:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{log_{x^2-4x+5} (4x^2+1)<=log_{x^2-4x+5}  (3x^2+4x+1)} { x^2-4x+5>1}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{log_{x^2-4x+5} (4x^2+1)<=log_{x^2-4x+5}  (3x^2+4x+1)} { x^2-4x+5>1}}}{ }”/> <img src=

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{4x^2+1<=3x^2+4x+1} { x^2-4x+4>0}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{4x^2+1<=3x^2+4x+1} { x^2-4x+4>0}}}{ }”/> <img src=

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x^2-4x<=0} { x<>2}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x^2-4x<=0} { x<>2}}}{ }”/> <img src=

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x(x-4)<=0} { x<>2}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x(x-4)<=0} { x<>2}}}{ }”/> <img src=

Точки 0 и 4 – корни первого неравенства, его решение – x in [0; 4]

Решение данной системы и в целом первого неравенства:

x in[0; 2) union(2;4]

Накладываем теперь решения обоих неравенств друг на друга и на ОДЗ:

x in {lbrace}0{rbrace} union[log_3 8; 2) union(2;4]

 

Комментариев - 3

  • Александр
    |

    Здравствуйте. У вас на сайте произошел сбой или я что-то не понимаю, но больше не могу видеть все темы ЕГЭ т.к. выскакивает только пять ссылок, а ссылки на следующую страницу больше не вижу.

    Ответить
  • Гулшат
    |

    Я учительница математики. С Вашей помощью хочу научить своих учащихся выполнить задания №15, 17, 13. Заранее большое Вам спасибо!

    Ответить
    • Анна
      |

      Буду рада помочь.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *