И еще немного неравенств… Обязательно помним про ОДЗ там, где есть корни, логарифмы, дроби!
Задание 1. Решить систему неравенств:
Первое неравенство системы – несложное и не требует определения ОДЗ. Начнем с него.
Сделаем замену:
Четверть дискриминанта:
Корни:
Решение неравенства:
Теперь сделаем обратную замену и запишем решение неравенства:
Решаем второе неравенство системы:
ОДЗ:
Второе неравенство всегда выполняется. Запрещенная точка, полученная в первом неравенстве – . Запрещенные точки из третьего неравенства – 0 и (-1).
Решаем само неравенство:
Меняем знаки и знак неравенства:
По Виету определяем корни трехчлена в числителе:
Решение по методу интервалов:
[
)
[
)
Наконец, накладываем решение обоих неравенств на ОДЗ:
[
)
Задание 2. Решить систему неравенств:
Решим первое неравенство, определим ОДЗ:
либо
И обязательно отметим, что
Решаем само неравенство, по определению логарифма:
Введем замену:
или
Первое неравенство решений не имеет. Во втором делаем обратную замену:
Решение:
либо
Наложим это решение на ОДЗ позже, а пока решим второе неравенство:
Числитель разложим на множители, а знаменатель попробуем упростить. Для этого разложим как разность кубов:
Трехчлен имеет положительный старший коэффициент, и при этом – отрицательный дискриминант, то есть он положителен при всех значениях х. Поэтому, если мы просто забудем про него, то знак неравенства не изменится:
Разложим числитель на множители:
и
Решение изображено на рис.
Ну и, наконец, применим ОДЗ и совместим решения обоих неравенств:
Решение неравенства : (
]
Задание 3. Решить систему неравенств:
Решаем второе неравенство, по определению логарифма:
Раскладываем на множители числитель: сумма первого и третьего коэффициентов равна второму, следовательно, корни (-1) и 1,5. Корень знаменателя – 2/3:
Решение: (
]
(
]
Теперь определим ОДЗ, ведь мы имеем дело с логарифмическим неравенством:
Сумма коэффициентов числителя равна нулю, поэтому корни: 1 и (-3,5):
ОДЗ:
Решим теперь первое неравенство, а затем наложим оба решения на ОДЗ:
Вводим замену:
Корни по Виету: 8 и 4.
Решение неравенства с заменой: (
]
[
)
Обратная замена:
,
,
Решение неравенства : (
]
[
)
Накладываем решения обоих неравенств на ОДЗ:
Решение всей системы:
(
]
Задание 4. Решить систему неравенств:
ОДЗ неравенства:
Решение, второе неравенство:
Вводим замену:
Сумма коэффициентов равна 0, следовательно, корни 1 и .
Решение неравенства с заменой:
Переходим обратно к переменной х:
Или
– заметим, что данный логарифм – величина отрицательная, и меньше (-2).
Иными словами, значения х, удовлетворяющие второму неравенству – все неположительные.
Тогда первое неравенство:
Можно записать так:
При условии ,
:
,
При условии
,
, или
,
,
,
Тогда получили решение второго неравенства, состоящее из двух частей:
[
)
Осталось наложить решение данного неравенства на решение предыдущего:
Проверка показывает, что общее решение принадлежит ОДЗ полностью.
[
)
Задание 5. Решить систему неравенств:
Решаем второе неравенство:
Вводим замену:
(
]
[
)
Обратная замена:
или
или
Решение неравенства:
(
]
[
)
Решаем первое неравенство системы, определяем ОДЗ:
Первое неравенство системы ОДЗ выполняется всегда в силу отрицательности дискриминанта и положительности первого коэффициента. Второе неравенство – аналогично, выполняется всегда. Третье накладывает условие:
Последнее неравенство:
Сумма первого и третьего коэффициентов равна второму, поэтому корни: (-1) и (-1/3)
Получили ОДЗ:
Решение самого неравенства состоит из двух частей в зависимости от основания:
Так как второе неравенство этой системы не выполняется никогда, то и решений система не имеет.
Либо:
Точки 0 и 4 – корни первого неравенства, его решение –
Решение данной системы и в целом первого неравенства:
[
)
(
]
Накладываем теперь решения обоих неравенств друг на друга и на ОДЗ:
[
)
(
]
Комментариев - 3
Здравствуйте. У вас на сайте произошел сбой или я что-то не понимаю, но больше не могу видеть все темы ЕГЭ т.к. выскакивает только пять ссылок, а ссылки на следующую страницу больше не вижу.
Я учительница математики. С Вашей помощью хочу научить своих учащихся выполнить задания №15, 17, 13. Заранее большое Вам спасибо!
Буду рада помочь.