Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 10-11 класс, 15 (С3), ЕГЭ по математике

Неравенства профильного ЕГЭ (задания 15) – еще немного!




И еще немного неравенств… Обязательно помним про ОДЗ там, где есть корни, логарифмы, дроби!

Задание 1. Решить неравенство: log_2 (4+3x-x^2)+7 log_{0,5} (4+3x-x^2)+10>0″ title=”log_2 (4+3x-x^2)+7 log_{0,5} (4+3x-x^2)+10>0″/> <img src=


 

Обозначаем: log_2 (4+3x-x^2) за a:

a^2-7a+10>0″ title=”a^2-7a+10>0″/><img src=

Корни по Виету: a_1=2; a_2=5

Получили два новых неравенства:

log_2 (4+3x-x^2)<2 и log_2 (4+3x-x^2)>5″ title=”log_2 (4+3x-x^2)>5″/><img src=

Решаем первое:

log_2 (4+3x-x^2)<log_2 4

Основание логарифма больше 1 – знак неравенства сохраняем:

4+3x-x^2<4

3x-x^2<0

x(3-x)<0

Решение x in ({-}infty; 0) union (3; infty)

Решаем второе:

log_2 (4+3x-x^2)>log_2 32″ title=”log_2 (4+3x-x^2)>log_2 32″/><img src=

Основание логарифма больше 1 – знак неравенства сохраняем:

4+3x-x^2>32″ title=”4+3x-x^2>32″/><img src=

3x-x^2-28>0″ title=”3x-x^2-28>0″/><img src=

x^2-3x+28<0

Этот трехчлен всегда больше 0, так как дискриминант его отрицателен, а старший коэффициент – положителен. Неравенство не имеет решений.

Решение первого неравенства накладываем на ОДЗ:

4+3x-x^2>0″ title=”4+3x-x^2>0″/><img src=

x^2-3x -4<0

Так как сумма первого и третьего коэффициентов равна второму, то первый корень – (-1),  а второй – 4.

Тогда ОДЗ: x in ({-}1; 4)

Общее решение: x in ({-}1; 0) union (3; 4)

 

Задание 2. Решить неравенство: {log_ {1-2x} (x+1)(1-4x+4x^2)}/{ log_{x+1} (1-2x)}<=-1


 

Составляем систему уравнений ОДЗ:

delim{lbrace}{matrix{6}{1}{{x+1<>1} {1-2x>0}{x-1>0}{1-2x<>1}{(x+1)(1-4x+4x^2)>0}{ log_{x+1} (1-2x)<>0}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{6}{1}{{x+1<>1} {1-2x>0}{x-1>0}{1-2x<>1}{(x+1)(1-4x+4x^2)>0}{ log_{x+1} (1-2x)<>0}}}{ }”/> <img src=

delim{lbrace}{matrix{5}{1}{{x<>0} {2x<1}{x>1}{(x+1)(1-2x) ^2>0}{ log_{x+1} (1-2x)<>0}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{5}{1}{{x<>0} {2x<1}{x>1}{(x+1)(1-2x) ^2>0}{ log_{x+1} (1-2x)<>0}}}{ }”/> <img src=

Решение предпоследнего неравенства изображено на рисунке:

x in ({-}1; {1/2}) union ({1/2}; +infty)

Решение последнего: log_{x+1} (1-2x)<>0″ title=”log_{x+1} (1-2x)<>0″/><img src=

1-2x<> 1″ title=”1-2x<> 1″/><img src=

x<> 0″ title=”x<> 0″/><img src=

ОДЗ полностью: x in ({-}1; 0) union (0;{1/2})

Теперь решим само неравенство:

{log_ {1-2x} (x+1)(1-4x+4x^2)}/{log_{x+1} (1-2x)}<=-1

Перетащим единицу влево и заменим ее дробью, значение которой равно 1, приводим, таким образом, к общему знаменателю:

{log_ {1-2x} (x+1)(1-4x+4x^2)}/{log_{x+1} (1-2x)}+1<=0

{log_ {1-2x} (x+1)(1-2x) ^2}/{ log_{x+1} (1-2x)}+ {log_ {x+1} (1-2x)}/{log_ {x+1} (1-2x)}<=0

Произведение подлогарифмических выражений заменим суммой логарифмов:

{log_ {1-2x} (x+1)+ log_ {1-2x} (1-2x) ^2+ log_ {x+1} (1-2x)}/{log_ {x+1} (1-2x)}<=0

{log_ {1-2x} (x+1)+ 2log_ {1-2x} (1-2x)+ log_{x+1} (1-2x)}/{log_ {x+1} (1-2x)}<=0

Вводим замену:

log_ {1-2x} (x+1)=t

Получаем:

{t+2+{1/t}}/{1/t}<=0

t^2+2t+1<=0

(t+1)^2<=0 – это неравенство выполняется лишь при одном условии: t+1=0, t=-1

Наше неравенство выродилось в уравнение, делаем обратную замену:

log_ {1-2x} (x+1)=-1

x+1=1/{1-2x}

(x+1)(1-2x)=1

2x^2+x=0

x(2x+1)=0

Корень, равный нулю, посторонний – не входит в ОДЗ, остается один: x=-{1/2}

Ответ: x=-{1/2}

 

Задание 3. Решить неравенство: log_ {x/{x-1}} 5<= log_{x/2} 5


 

1/{log_5 {x/{x-1}}} <=1/{log_5 {x/2}}

log_5 {x/{x-1}} >=log_5 {x/2}” title=”log_5 {x/{x-1}} >=log_5 {x/2}”/><img src=

x/{x-1} >=x/2″ title=”x/{x-1} >=x/2″/><img src=

x/{x-1} - x/2>=0″ title=”x/{x-1} – x/2>=0″/><img src=

{2x - x(x-1)}/{2(x-1)} >=0″ title=”{2x – x(x-1)}/{2(x-1)} >=0″/><img src=

{3x - x^2}/{2(x-1)} >=0″ title=”{3x – x^2}/{2(x-1)} >=0″/><img src=

{x(x- 3)}/{2(x-1)} <=0

Решение неравенства: x in [0; 3]

ОДЗ данного неравенства:

delim{lbrace}{matrix{5}{1}{{x/{x-1}>0} {x(x-1)<>1} {x/2>0} { x/2<>1}{x<>1}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{5}{1}{{x/{x-1}>0} {x(x-1)<>1} {x/2>0} { x/2<>1}{x<>1}}}{ }”/></p>
<p><img src=

Второе неравенство ОДЗ выполняется всегда.

Тогда ОДЗ: x in(1; 2)union (2; +infty)

Окончательное решение неравенства с учетом ОДЗ: x in(1; 2) union (2; 3]

 



Задание 4. Решить неравенство: {81^x+2*25^{x*log_5 3}-5}/(4x-1)^2>=0″ title=”{81^x+2*25^{x*log_5 3}-5}/(4x-1)^2>=0″/> <img src=


 

ОДЗ данного неравенства – не равенство нулю знаменателя: (4x-1)^2<>0″ title=”(4x-1)^2<>0″/> <img src=

4x-1<>0″ title=”4x-1<>0″/> <img src=

x<>{1/4}” title=”x<>{1/4}”/> <img src=

 

Так как в знаменателе – квадрат, то неравенство может быть преобразовано к виду:

81^x+2*25^{x*log_5 3}-5>=0″ title=”81^x+2*25^{x*log_5 3}-5>=0″/> <img src=

81^x+2*5^{2x*log_5 3}-5>=0″ title=”81^x+2*5^{2x*log_5 3}-5>=0″/> <img src=

81^x+2*5^{log_5 {3^{2x}}}-5>=0″ title=”81^x+2*5^{log_5 {3^{2x}}}-5>=0″/> <img src=

81^x+2*3^{2x}-5>=0″ title=”81^x+2*3^{2x}-5>=0″/> <img src=

3^{4x}+2*3^{2x}-5>=0″ title=”3^{4x}+2*3^{2x}-5>=0″/> <img src=

Замена: 3^{2x}=a

a^2+2a-5>=0″ title=”a^2+2a-5>=0″/> <img src=

D=4-4(-5)=24

a_1={-2-2sqrt{6}}/2; a_2={-2+2sqrt{6}}/2

a_1={-1-sqrt{6}}; a_2={-1+sqrt{6}}

Решение неравенства: x in ({-}infty; {-1-sqrt{6}}) union ({-1+sqrt{6}}; +infty)

Так как мы ввели замену 3^{2x}=a, то первый корень – отрицательный – посторонний. Вводим обратную замену:

3^{2x}={-1+sqrt{6}}

9^x={-1+sqrt{6}}

x=log_9 (-1+sqrt{6})

Тогда решение: x in (log_9 (-1+sqrt{6}); +infty)

Теперь, чтобы записать ответ, нужно наложить на это решение ОДЗ, а для этого нужно сравнить числа log_9 (-1+sqrt{6}) и {1/4} – это выколотая точка ОДЗ.

Преобразуем число log_9 (-1+sqrt{6}):

log_9 (-1+sqrt{6})= log_9 (sqrt{6}(1-1/{sqrt{6}}))= log_9 6^{1/2}+log_9 (1-1/{sqrt{6}})

{1/2}log_9 6+log_9 (1-1/{sqrt{6}})={1/2}log_9 3+{1/2}log_9 2+log_9 (1-1/{sqrt{6}})={1/4}+{1/2}log_9 2+log_9 (1-1/{sqrt{6}})

Так как в этой сумме два последних слагаемых, очевидно, отрицательные, то log_9 (-1+sqrt{6})<{1/4}

Таким образом, решение неравенства: x in (log_9 (-1+sqrt{6});{1/4}) union({1/4}; +infty)

 

Задание 5. Решить неравенство: {sqrt{x^2-2x+1}-sqrt{x^2+x}}/{x^2+x-1}<= 0


 

ОДЗ: delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x^2-2x+1>=0} {x^2+x>=0}{x^2+x-1<>0}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x^2-2x+1>=0} {x^2+x>=0}{x^2+x-1<>0}}}{ }”/></p>
<p><img src=

На рисунке показаны решения всех неравенств и выполнено наложение решений друг на друга, записываем ОДЗ: x in ({-}infty; {-1-sqrt{5}}/2) union ({-1-sqrt{5}}/2;-1 ] union[0; {-1+sqrt{5}}/2) union (1+{sqrt{5}}/2; +infty)

Решаем само неравенство:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{sqrt{x^2-2x+1}-sqrt{x^2+x}>=0} {x^2+x-1< 0}}}{}

или

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{sqrt{x^2-2x+1}-sqrt{x^2+x}<=0} {x^2+x-1> 0}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{sqrt{x^2-2x+1}-sqrt{x^2+x}<=0} {x^2+x-1> 0}}}{ }”/></p>
<p>Решаем первое неравенство первой системы:</p>
<p><img src=

Возведем в квадрат: delim{|}{x^2-2x+1}{|}>=delim{|}{x^2+x}{|}” title=”delim{|}{x^2-2x+1}{|}>=delim{|}{x^2+x}{|}”/> <img src=

Так как выражение под левым модулем всегда неотрицательно, то модули можно просто снять:

x^2-2x+1>=x^2+x” title=”x^2-2x+1>=x^2+x”/><img src=

-3x>=-1″ title=”-3x>=-1″/><img src=

x<=1/3

Корни для решения второго неравенства уже найдены: x_1= {-1+sqrt{5}}/2,  x_2= {-1-sqrt{5}}/2

Решение неравенства: x in ({-1-sqrt{5}}/2; {-1+sqrt{5}}/2)

Решение системы: x in({-1-sqrt{5}}/2; 1/3]

Решение второй системы данной совокупности совершенно аналогично, только, согласно знаку неравенства, выбираем другие области:

Решение системы: x in ({-1-sqrt{5}}/2;-1] union [0; {1/3}]union ({-1+sqrt{5}}/2;+infty)

 

Задание 6. Решить неравенство: log_ {x^2+x} (x^2-2x+1)<= 1


 

Определим ОДЗ:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x^2+x>0}{x^2+x<>1}{x^2-2x+1>0}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x^2+x>0}{x^2+x<>1}{x^2-2x+1>0}}}{ }”/> <img src=

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x^2+x>0}{x^2+x<>1}{(x-1)^2>0}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x^2+x>0}{x^2+x<>1}{(x-1)^2>0}}}{ }”/> <img src=

Решение первого неравенства системы ОДЗ найдем по методу интервалов:

x in ({-}infty;-1) union(0;+infty)

Второе неравенство системы:

x^2+x<>1″ title=”x^2+x<>1″/><img src=

x^2+x-1<>0″ title=”x^2+x-1<>0″/><img src=

D=5

x_1={-1+sqrt{5}}/2, x_2={-1-sqrt{5}}/2

Полученные значения – запрещенные, и будут нами выколоты из области допустимых значений.

Третье неравенство системы, кажется, выполняется всегда, однако здесь можно допустить ошибку: неравенство строгое, то есть можно записать его так:

(x-1)^2<>0″ title=”(x-1)^2<>0″/><img src=

x<>1″ title=”x<>1″/><img src=

Окончательно ОДЗ:

Решение системы: x {in} ({-}infty; {-1-sqrt{5}}/2) union({-1-sqrt{5}}/2; -1)union (-1;0) union(0;{-1+sqrt{5}}/2)union ({-1+sqrt{5}}/2;1) union(1;+infty)

 

Теперь решаем само неравенство:

log_ {x^2+x} (x^2-2x+1)<= 1

log_ {x^2+x} (x^2-2x+1)<= log_ {x^2+x} (x^2+x)

Если основание больше 1, то переходим к сравнению подлогарифмических выражений с сохранением знака неравенства:

x^2-2x+1<= x^2+x

3x>= 1″ title=”3x>= 1″/><img src=

x>= {1/3}” title=”x>= {1/3}”/><img src= – решение актуально при условии x^2+x>1″ title=”x^2+x>1″/><img src=, то есть при x in ({-}infty; {-1-sqrt{5}}/2) union ({-1+sqrt{5}}/2;+infty)

Если основание больше нуля, но меньше 1, то переходим к сравнению подлогарифмических выражений с изменением знака неравенства:

x^2-2x+1>= x^2+x” title=”x^2-2x+1>= x^2+x”/><img src=

3x<= 1

x<= {1/3} – решение актуально при условии x^2+x<1, x^2+x>0″ title=”x^2+x>0″/><img src=то есть при x in ({-1-sqrt{5}}/2; -1) union (0;{-1+sqrt{5}}/2) [/pmath]

Изобразим это на рисунке:

Осталось на два этих решения наложить ОДЗ, и дело в шляпе! Решение:

x in ({-1-sqrt{5}}/2; -1) union (0;{1/3}] union (-1+sqrt{5}}/2; 1) union (1; +infty)

 

 

Задание 7. Решить систему неравенств: delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{ log_{4-x} (x+4)*log_{x+5} (6-x)<=0} {25^(x^2-2x+10)-0,2^(2x^2-4x-80)<=0}}}{ }


 

ОДЗ:
delim{lbrace}{matrix{6}{1}{{x+4>0}{6-x>0}{4-x>0}{4-x<>1}{x+5>0}{x+5<>1}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{6}{1}{{x+4>0}{6-x>0}{4-x>0}{4-x<>1}{x+5>0}{x+5<>1}}}{ }”/> <img src=

delim{lbrace}{matrix{6}{1}{{x>-4}{x<6}{x<4}{x<>3}{x>-5}{x<>-4}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{6}{1}{{x>-4}{x<6}{x<4}{x<>3}{x>-5}{x<>-4}}}{ }”/><img src=

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x>-4}{x<4}{x<>3}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x>-4}{x<4}{x<>3}}}{ }”/><img src=

Решим сначала второе неравенство:

25^(x^2-2x+10)-0,2^(2x^2-4x-80)<=0

5^(2x^2-4x+20) <=5^{-1}(2x^2-4x-80)

Теперь основания одинаковые и можно перейти к сравнению показателей степеней с сохранением знака неравенства, так как основание больше 1:

2x^2-4x+20<=-2x^2+4x+80

Получили квадратное неравенство:

4x^2-8x-60<=0 , или x^2-2x-15<=0

По Виету легко находим корни:

x_1= -3,  x_2=5

Решение неравенства уже с учетом ОДЗ:

x in[-3;3)union(3;4))

Решим теперь первое неравенство, используем метод рационализации:

log_{4-x} (x+4)*log_{x+5} (6-x)<=0

Преобразуем неравенство:

(4-x-1)(x+4-1)(x+5-1)(6-x-1)<=0

(3-x)(x+3)(x+4)(5-x) <=0

Решение: x in [-4;-3] union[3;5]

Накладываем решение этого неравенства на решение предыдущего и ОДЗ:

Решение: x in {lbrace}{-3}{rbrace} union(3;4)




Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *