И еще немного неравенств… Обязательно помним про ОДЗ там, где есть корни, логарифмы, дроби!
Задание 1. Решить неравенство:
Обозначаем: за
:
Корни по Виету:
Получили два новых неравенства:
и
Решаем первое:
Основание логарифма больше 1 – знак неравенства сохраняем:
Решение
Решаем второе:
Основание логарифма больше 1 – знак неравенства сохраняем:
Этот трехчлен всегда больше 0, так как дискриминант его отрицателен, а старший коэффициент – положителен. Неравенство не имеет решений.
Решение первого неравенства накладываем на ОДЗ:
Так как сумма первого и третьего коэффициентов равна второму, то первый корень – (-1), а второй – 4.
Тогда ОДЗ:
Общее решение:
Задание 2. Решить неравенство:
Составляем систему уравнений ОДЗ:
Решение предпоследнего неравенства изображено на рисунке:
Решение последнего:
ОДЗ полностью:
Теперь решим само неравенство:
Перетащим единицу влево и заменим ее дробью, значение которой равно 1, приводим, таким образом, к общему знаменателю:
Произведение подлогарифмических выражений заменим суммой логарифмов:
Вводим замену:
Получаем:
– это неравенство выполняется лишь при одном условии:
,
Наше неравенство выродилось в уравнение, делаем обратную замену:
Корень, равный нулю, посторонний – не входит в ОДЗ, остается один:
Ответ:
Задание 3. Решить неравенство:
Решение неравенства:
ОДЗ данного неравенства:
Второе неравенство ОДЗ выполняется всегда.
Тогда ОДЗ:
Окончательное решение неравенства с учетом ОДЗ: (
]
Задание 4. Решить неравенство:
ОДЗ данного неравенства – не равенство нулю знаменателя:
Так как в знаменателе – квадрат, то неравенство может быть преобразовано к виду:
Замена:
Решение неравенства:
Так как мы ввели замену , то первый корень – отрицательный – посторонний. Вводим обратную замену:
Тогда решение:
Теперь, чтобы записать ответ, нужно наложить на это решение ОДЗ, а для этого нужно сравнить числа и
– это выколотая точка ОДЗ.
Преобразуем число :
Так как в этой сумме два последних слагаемых, очевидно, отрицательные, то
Таким образом, решение неравенства:
Задание 5. Решить неравенство:
ОДЗ:
На рисунке показаны решения всех неравенств и выполнено наложение решений друг на друга, записываем ОДЗ: (
]
[
)
Решаем само неравенство:
или
Возведем в квадрат:
Так как выражение под левым модулем всегда неотрицательно, то модули можно просто снять:
Корни для решения второго неравенства уже найдены:
Решение неравенства:
Решение системы: (
]
Решение второй системы данной совокупности совершенно аналогично, только, согласно знаку неравенства, выбираем другие области:
Решение системы: (
]
Задание 6. Решить неравенство:
Определим ОДЗ:
Решение первого неравенства системы ОДЗ найдем по методу интервалов:
Второе неравенство системы:
Полученные значения – запрещенные, и будут нами выколоты из области допустимых значений.
Третье неравенство системы, кажется, выполняется всегда, однако здесь можно допустить ошибку: неравенство строгое, то есть можно записать его так:
Окончательно ОДЗ:
Решение системы:
Теперь решаем само неравенство:
Если основание больше 1, то переходим к сравнению подлогарифмических выражений с сохранением знака неравенства:
– решение актуально при условии
, то есть при
Если основание больше нуля, но меньше 1, то переходим к сравнению подлогарифмических выражений с изменением знака неравенства:
– решение актуально при условии
,
то есть при
({-1-sqrt{5}}/2; -1) union (0;{-1+sqrt{5}}/2) [/pmath]
Изобразим это на рисунке:
Осталось на два этих решения наложить ОДЗ, и дело в шляпе! Решение:
(
]
Задание 7. Решить систему неравенств:
ОДЗ:
Решим сначала второе неравенство:
Теперь основания одинаковые и можно перейти к сравнению показателей степеней с сохранением знака неравенства, так как основание больше 1:
Получили квадратное неравенство:
, или
По Виету легко находим корни:
Решение неравенства уже с учетом ОДЗ:
[
)
)
Решим теперь первое неравенство, используем метод рационализации:
Преобразуем неравенство:
Решение:
Накладываем решение этого неравенства на решение предыдущего и ОДЗ:
Решение:
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...