Неравенства и системы неравенств. Задания 15 (С3) ЕГЭ.

Решим сегодня несколько неравенств из заданий С3  ЕГЭ 2013.

Задание 1. Решить неравенство:

81 – это степень тройки, поэтому запишем неравенство так:

Введем новую переменную: , тогда:

Решаем, как обычное квадратное неравенство, сначала определяем корни квадратного уравнения:

Корни:

Корни промежуточного неравенства

Второй корень отрицателен, а число, возведенное в четную степень, не может быть отрицательным, поэтому рассматриваем только первый корень, делаем обратную замену:

Теперь основания степени одинаковы, и, кроме того, больше 1,  переходим к сравнению показателей степени без изменения знака неравенства:

Ответ:

Задание 2. Решить неравенство:

Определим область допустимых значений: подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля:

Приведем оба логарифма к одному основанию:

Избавимся от минуса справа, перетащив эту (-1) в степень подлогарифмического выражения:

Теперь у нас справа и слева логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому можем переходить к сравнению подлогарифмических выражений, однако основание логарифма меньше 1, поэтому знак неравенства необходимо поменять на противоположный:

Ответ:

 

Задание 3. Решить систему неравенств:

Первое неравенство выглядит более привлекательно, и кажется несложным, с него и начнем:

Делаем замену переменной:

Получили квадратное неравенство, найдем корни квадратного уравнения:

Корни: ,

Корни промежуточного неравенства

Вводим обратную замену:

И

Решение первого неравенства системы

Теперь переходим к решению второго неравенства, и начнем с области допустимых значений. Значение подлогарифмического выражения должно быть больше нуля, а подкоренного – больше или равно 0:

Общее решение данной системы, определяющей ОДЗ, 

Теперь решаем само неравенство. Так как мы видим справа и слева совершенно разные функции – корень и логарифм, то будем рассуждать так: так как корень из любого числа – величина неотрицательная, но может принимать значение ноль, то неравенство можно записать так:

Это неравенство уже совсем несложное:

Основания одинаковые, больше 1, поэтому переходим к сравнению подлогарифмических выражений с сохранением знака неравенства:

На решение первого неравенства наложим ОДЗ и решение второго:

Решение обоих неравенств и ОДЗ

Ответ: