Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 15 (С3)

Неравенства и системы неравенств. Задания 15 (С3) ЕГЭ.


Решим сегодня несколько неравенств из заданий С3  ЕГЭ 2013.

Задание 1. Решить неравенство: 81^x+3^{2x-1}>84″ title=”81^x+3^{2x-1}>84″/> <img src=

81 – это степень тройки, поэтому запишем неравенство так:

3^{4x}+{1/3}*3^{2x}-84>0″ title=”3^{4x}+{1/3}*3^{2x}-84>0″/><img src=

Введем новую переменную: a=3^{2x}, тогда:

a^2+{1/3}a-84>0″ title=”a^2+{1/3}a-84>0″/><img src=

Решаем, как обычное квадратное неравенство, сначала определяем корни квадратного уравнения:

a^2+{1/3}a-84=0

D=(1/3)^2-4*(-84)=336{1/9}={3025/9}=(55/3)^2

Корни: a_1={-{1/3}+{55/3}}/2=9

a_2={-{1/3}-{55/3}}/2=-{56/6}=-{28/3}

Корни промежуточного неравенства

Второй корень отрицателен, а число, возведенное в четную степень, не может быть отрицательным, поэтому рассматриваем только первый корень, делаем обратную замену:

3^{2x}>9″ title=”3^{2x}>9″/><img src=

3^{2x}>3^2″ title=”3^{2x}>3^2″/><img src=

Теперь основания степени одинаковы, и, кроме того, больше 1,  переходим к сравнению показателей степени без изменения знака неравенства:

2x>2″ title=”2x>2″/><img src=

x>1″ title=”x>1″/><img src=

Ответ: x in (1; +{infty})

 

Задание 2. Решить неравенство: log_{1/2} (x+4)<log_2 {1/3}

Определим область допустимых значений: подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля: x+4>0″ title=”x+4>0″/> <img src=

x>-4″ title=”x>-4″/> <img src=

Приведем оба логарифма к одному основанию:

log_{1/2} (x+4)<log_{2^{-1}}  {1/3}

log_{1/2} (x+4)<-log_{1/2} {1/3}

Избавимся от минуса справа, перетащив эту (-1) в степень подлогарифмического выражения:

log_{1/2} (x+4)<log_{1/2} (1/3)^{-1}

Теперь у нас справа и слева логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому можем переходить к сравнению подлогарифмических выражений, однако основание логарифма меньше 1, поэтому знак неравенства необходимо поменять на противоположный:

x+4>3″ title=”x+4>3″/> <img src=

x>-1″ title=”x>-1″/> <img src=

Ответ: x in (-1; +{infty})

 

Задание 3. Решить систему неравенств: delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{9^{x+1}-28*3^{x}+3>=0} {sqrt{x+2}+log_5 (x+3)>=0}{} }}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{9^{x+1}-28*3^{x}+3>=0} {sqrt{x+2}+log_5 (x+3)>=0}{} }}{ }”/> <img src=

Первое неравенство выглядит более привлекательно, и кажется несложным, с него и начнем:

9^{x+1}-28*3^{x}+3>=0″ title=”9^{x+1}-28*3^{x}+3>=0″/> <img src=

3^{2(x+1)}-28*3^{x}+3>=0″ title=”3^{2(x+1)}-28*3^{x}+3>=0″/> <img src=

9*3^{2x}-28*3^{x}+3>=0″ title=”9*3^{2x}-28*3^{x}+3>=0″/> <img src=

Делаем замену переменной: a=3^{x}

9a^2-28a+3>=0″ title=”9a^2-28a+3>=0″/> <img src=

Получили квадратное неравенство, найдем корни квадратного уравнения:

9a^2-28a+3=0

D=28^2-4*3*9=676=26^2

Корни: a_1={28+26}/18=3, a_2={28-26}/18={1/9}

Корни промежуточного неравенства

Вводим обратную замену:

3^{x}=3

3^{x}=3^1

x>=1″ title=”x>=1″/> <img src=

И

3^{x}=1/9

3^{x}=3^{-2}

x<=-2

Решение первого неравенства системы

Теперь переходим к решению второго неравенства, и начнем с области допустимых значений. Значение подлогарифмического выражения должно быть больше нуля, а подкоренного – больше или равно 0:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x+2>=0} {x+3>0}{}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x+2>=0} {x+3>0}{}}}{ }”/><img src=

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x>=-2} {x>-3}{}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x>=-2} {x>-3}{}}}{ }”/><img src=

Общее решение данной системы, определяющей ОДЗ,  x>=-2″ title=”x>=-2″/><img src=

Теперь решаем само неравенство. Так как мы видим справа и слева совершенно разные функции – корень и логарифм, то будем рассуждать так: так как корень из любого числа – величина неотрицательная, но может принимать значение ноль, то неравенство можно записать так:

log_5 (x+3)>=0″ title=”log_5 (x+3)>=0″/><img src=

Это неравенство уже совсем несложное:

log_5 (x+3)>=log_5 1″ title=”log_5 (x+3)>=log_5 1″/><img src=

Основания одинаковые, больше 1, поэтому переходим к сравнению подлогарифмических выражений с сохранением знака неравенства:

x+3>= 1″ title=”x+3>= 1″/><img src=

x>=-2″ title=”x>=-2″/><img src=

На решение первого неравенства наложим ОДЗ и решение второго:

Решение обоих неравенств и ОДЗ

Ответ: x in {-2}union (1; +{infty})

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *