Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 14 (С2)

Непростая задача о площади сечения цилиндра, которая может ввести в заблуждение.

Диаметр основания цилиндра равен 8, а длина его образующей – 4sqrt{3}. На окружности верхнего основания цилиндра выбраны точки F и D, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:2. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через точки F, D и центр нижнего основания.

На первый взгляд – задача простая. Кажется, что сечение – трапеция, нижнее ее основание – диаметр цилиндра, найти длину верхнего основания вполне можно, также возможно отыскать высоту трапеции и  – дело в шляпе. Однако..

Однако надо помнить, что сечение цилиндра наклонной плоскостью – всегда эллипс или его часть!

Сечения цилиндра

Посмотрим на различные сечения цилиндра плоскостями:

Наш случай приблизительно такой:

Сечение цилиндра неосевой плоскостью

И еще нам потребуется знать, какой будет проекция этого сечения на основание цилиндра:

Проекция сечения

Проекция – вид сверху

Все дело в том, что рассчитать непосредственно площадь сечения трудно из-за сложности его формы, поэтому воспользуемся тем, что

Площадь проекции плоской фигуры равна произведению площади этой фигуры на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

Проекция – вид сверху

Определить площадь проекции будет несложно, давайте это сделаем. Проекция будет представлять собой часть полукруга, которую можно разбить на два круговых сектора и треугольник. Нам известно, что длины дуг относятся как 1:2, значит, меньшая дуга имеет градусную меру  {360circ}/3=120circ, и ей соответствует центральный угол с такой же градусной мерой, который является одним из углов треугольника FDC. Тогда, поскольку треугольник этот – равнобедренный, то два его острых угла равны  30circ, а высота будет равна половине радиуса цилиндра (против угла в 30circ лежит катет, вдвое меньший гипотенузы). Определим основание треугольника FDC, для этого найдем его половину по теореме Пифагора: ({1/2}FD)^2=(FC)^2-h^2, где FC – радиус цилиндра, FC=4, h=1/2{FC}=2

 ({1/2}FD)^2=(4)^2-2^2

 ({1/2}FD)=sqrt{12}=2sqrt{3}

 FD=4sqrt{3}

Площадь треугольника FDC равна половине произведения основания на высоту:

 S{Delta{FDC}}=1/2{h*FD}=1/2{2*4sqrt{3}}=4sqrt{3}

Кроме треугольника FDC в состав площади проекции сечения входят еще два круговых сектора, центральные углы которых равны 30circ, то есть площадь каждого из них – 1/12 часть круга, а вместе их площадь – 1/6 часть круга, или  1/6{pi*{4^2}}=8/3{pi}. Площадь проекции: S_pr=4sqrt{3}+8/3{pi}.

Осталось определить  cos{alpha}. Сделаем еще рисунок:

Найдем высоту сечения, это гипотенуза треугольника KGO, KO:  KO=sqrt{KG^2+GO^2}. В этом выражении нам все известно: KG – это высота  Delta{FDC} – h, а GO – это образующая цилиндра, его высота. Тогда

 KO=sqrt{2^2+(4sqrt{3})^2}=sqrt{4+48}=2sqrt{13}

Косинус нужного угла – отношение прилежащего катета к длине гипотенузы:

Сечение. Вид сбоку

 cos{alpha}=2/{2sqrt{13}}=1/sqrt{13}

Тогда искомая площадь:

S_sechen=S_pr/{cos{alpha}}={4sqrt{3}+8/3{pi}}/{1/sqrt{13}}={4sqrt{39}+8{pi}sqrt{13}/3}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *