Непростая задача о площади сечения цилиндра, которая может ввести в заблуждение.

Диаметр основания цилиндра равен 8, а длина его образующей – . На окружности верхнего основания цилиндра выбраны точки F и D, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:2. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через точки F, D и центр нижнего основания.

На первый взгляд – задача простая. Кажется, что сечение – трапеция, нижнее ее основание – диаметр цилиндра, найти длину верхнего основания вполне можно, также возможно отыскать высоту трапеции и  – дело в шляпе. Однако..

Однако надо помнить, что сечение цилиндра наклонной плоскостью – всегда эллипс или его часть!

Сечения цилиндра

Посмотрим на различные сечения цилиндра плоскостями:

Наш случай приблизительно такой:

Сечение цилиндра неосевой плоскостью

И еще нам потребуется знать, какой будет проекция этого сечения на основание цилиндра:

Проекция сечения

Проекция – вид сверху

Все дело в том, что рассчитать непосредственно площадь сечения трудно из-за сложности его формы, поэтому воспользуемся тем, что

Площадь проекции плоской фигуры равна произведению площади этой фигуры на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

Проекция – вид сверху

Определить площадь проекции будет несложно, давайте это сделаем. Проекция будет представлять собой часть полукруга, которую можно разбить на два круговых сектора и треугольник. Нам известно, что длины дуг относятся как 1:2, значит, меньшая дуга имеет градусную меру  , и ей соответствует центральный угол с такой же градусной мерой, который является одним из углов треугольника FDC. Тогда, поскольку треугольник этот – равнобедренный, то два его острых угла равны  , а высота будет равна половине радиуса цилиндра (против угла в  лежит катет, вдвое меньший гипотенузы). Определим основание треугольника FDC, для этого найдем его половину по теореме Пифагора: , где FC – радиус цилиндра, FC=4, 

Площадь треугольника FDC равна половине произведения основания на высоту:

Кроме треугольника FDC в состав площади проекции сечения входят еще два круговых сектора, центральные углы которых равны 30, то есть площадь каждого из них – 1/12 часть круга, а вместе их площадь – 1/6 часть круга, или  . Площадь проекции: .

Осталось определить  . Сделаем еще рисунок:

Найдем высоту сечения, это гипотенуза треугольника KGO, KO:  . В этом выражении нам все известно: KG – это высота   – h, а GO – это образующая цилиндра, его высота. Тогда

Косинус нужного угла – отношение прилежащего катета к длине гипотенузы:

Сечение. Вид сбоку

Тогда искомая площадь: