Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Статика

Немного задач на статику – 1

[latexpage]

Задачи пришли из хорошего лицея, как обычно, принес ученик.

Задача 1.  Гладкий невесомый стержень $AC$ длиной 1 м вставлен под углом $\alpha=30^{\circ}$ к горизонту в вертикальную стену (см. рисунок). К концу С стержня подвешен груз весом $P= 100$ Н. Определите силы реакции боковых стенок отверстия в точках А и В. С какой силой стержень сжат? Расстояние АВ равно 0.2 м.

К задаче 1

Решение: составим уравнение моментов относительно точки $B$:

$$N_A\cdot AB=mg\cdot (l-AB)\cos \alpha$$

$$N_A=\frac{ mg\cdot (l-AB)\cos \alpha }{ AB }=\frac{ 100\cdot 0,8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} }{0,2}=200\sqrt{3}=346$$

К задаче 1 – расстановка сил

Теперь составим уравнение моментов, но относительно точки $A$:

$$N_B\cdot AB=mg\cdot l\cos \alpha$$

$$N_B=\frac{ mg\cdot l\cos \alpha }{AB}=\frac{ 100\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} }{0,2}=250\sqrt{3}=433$$

Стержень сжат с силой, равной

$$F=mg\sin \alpha=100\cdot 0,5=50$$

Ответ: $N_A=346$ Н, $N_B=433$ Н, $F=50$ Н.

Задача 2. Однородный шар массы $m$ и радиуса $R$ подвешен на нити длиной $l$ к гладкой вертикальной стене. Определите силу Т натяжения нити и силу Р давления шара на стену.

К задаче 2

Решение:

Линия действия силы $T$ обязательно проходит через центр шара. Поэтому по второму закону Ньютона можно записать уравнения:

$$T\cos \alpha=mg$$

$$T\sin \alpha =F$$

Или

$$\operatorname{tg} \alpga=\frac{F}{mg}$$

Или

$$F=mg \operatorname{tg} \alpha$$

С другой стороны,

$$\sin \alpha=\frac{R}{R+L}$$

Где $R$ – радиус шара, $L$ – длина нити.

Тогда

$$\cos \alpha=\sqrt{1-\frac{R^2}{(R+L)^2}}=\frac{\sqrt{2RL+L^2}}{R+L}$$

Следовательно,

$$\operatorname{tg} \alpga=\frac{R}{\sqrt{2RL+L^2}}$$

И тогда

$$F=\frac{mgR}{\sqrt{2RL+L^2}}$$

А

$$T=\frac{F}{\sin \alpha}=\frac{mg(R+L)}{ \sqrt{2RL+L^2}}$$

Ответ: $F=\frac{mgR}{\sqrt{2RL+L^2}}$, $T=\frac{mg(R+L)}{ \sqrt{2RL+L^2}}$.

 

Задача 3. Лестница опирается на вертикальную стену и горизонтальный пол. Коэффициент трения между лестницей и стеной $\mu_1=0,5$, а между полом и лестницей $\mu_2=0,4$. Определите наименьший угол наклона лестницы, при котором она еще может оставаться в равновесии.

К задаче 3 с лестницей

Решение:

Составим уравнения по второму закону Ньютона:

$$N_2=F_{tr1}=\mu_1 N_1$$

$$N_1+F_{tr2}=mg$$

И уравнение моментов относительно верхней точки  опоры:

$$mg\cos \alpha \cdot \frac{L}{2}+ F_{tr1}\sin \alpha L=N_1 L\cos \alpha$$

Умножаем на 2 и делим на $L$ – длину лестницы:

$$mg\cos \alpha+ 2F_{tr1}\sin \alpha=2N_1 \cos \alpha$$

Разделим еще дополнительно на $\cos \alpha$:

$$mg+ 2F_{tr1}\operatorname{tg} \alpha=2N_1$$

Заменим $mg= N_1+F_{tr2}$:

$$ N_1+F_{tr2}+ 2F_{tr1}\operatorname{tg} \alpha=2N_1$$

Получаем после упрощения

$$F_{tr2}+ 2F_{tr1}\operatorname{tg} \alpha=N_1$$

Заменим $F_{tr2}=\mu_2 N_2$, $F_{tr1}=\mu_1 N_1$:

$$\mu_2 N_2+2\mu_1 N_1\operatorname{tg} \alpha=N_1$$

Но $N_2=F_{tr1}=\mu_1 N_1$, тогда

$$\mu_2 \mu_1 N_1+2\mu_1 N_1\operatorname{tg} \alpha=N_1$$

И сократим на $N_1$:

$$\mu_2 \mu_1 +2\mu_1 \operatorname{tg} \alpha=1$$

$$\operatorname{tg} \alpha=\frac{1-\mu_2 \mu_1}{2\mu_1}$$

При большем угле лестница начнет соскальзывать. Поэтому ответ:

$\alpha\leqslant \operatorname{arctg} \frac{1-\mu_2 \mu_1}{2\mu_1}$.

 

Задача 4. Невесомые стержни АВ в ВС соединены шарнирно между собой и вертикальной стеной (см. рисунок); угол между стержнями равен $\alpha$. К середине стержня АВ подвешен груз массой $m$. Определите силы $F_A$ и $F_B$ давления стержня АВ на шарниры А и В.

К задаче 4

Решение. Линия действия силы $mg$ – средняя линия треугольника $ABC$, то есть она пересекает отрезок $BC$ в его середине. Так как силы, действующие на $BC$, сонаправлены с ней, то по теореме о трех непараллельных силах сила, действующая на шарнир в точке А также проходит через середину $BC$, а значит, она симметрична и равна силе, действующей на шарнир в точке $B$. Кстати, стержень $AB$ изгибается силой $mg$, и поэтому силы сжатия не направлены вдоль него.

Таким образом,

$$mg=F_A \sin \alpha \cdot 2$$

$$F_A=\frac{mg}{2\sin \alpha }=F_B$$

Ответ: $F_A=\frac{mg}{2\sin \alpha }=F_B$.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *