Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Статика

Немного задач на статику – 1

Задачи пришли из хорошего лицея, как обычно, принес ученик.

Задача 1.  Гладкий невесомый стержень AC длиной 1 м вставлен под углом \alpha=30^{\circ} к горизонту в вертикальную стену (см. рисунок). К концу С стержня подвешен груз весом P= 100 Н. Определите силы реакции боковых стенок отверстия в точках А и В. С какой силой стержень сжат? Расстояние АВ равно 0.2 м.

К задаче 1

Решение: составим уравнение моментов относительно точки B:

    \[N_A\cdot AB=mg\cdot (l-AB)\cos \alpha\]

    \[N_A=\frac{ mg\cdot (l-AB)\cos \alpha }{ AB }=\frac{ 100\cdot 0,8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} }{0,2}=200\sqrt{3}=346\]

К задаче 1 – расстановка сил

Теперь составим уравнение моментов, но относительно точки A:

    \[N_B\cdot AB=mg\cdot l\cos \alpha\]

    \[N_B=\frac{ mg\cdot l\cos \alpha }{AB}=\frac{ 100\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} }{0,2}=250\sqrt{3}=433\]

Стержень сжат с силой, равной

    \[F=mg\sin \alpha=100\cdot 0,5=50\]

Ответ: N_A=346 Н, N_B=433 Н, F=50 Н.

Задача 2. Однородный шар массы m и радиуса R подвешен на нити длиной l к гладкой вертикальной стене. Определите силу Т натяжения нити и силу Р давления шара на стену.

К задаче 2

Решение:

Линия действия силы T обязательно проходит через центр шара. Поэтому по второму закону Ньютона можно записать уравнения:

    \[T\cos \alpha=mg\]

    \[T\sin \alpha =F\]

Или

    \[\operatorname{tg} \alpga=\frac{F}{mg}\]

Или

    \[F=mg \operatorname{tg} \alpga\]

С другой стороны,

    \[\sin \alpha=\frac{R}{R+L}\]

Где R – радиус шара, L – длина нити.

Тогда

    \[\cos \alpha=\sqrt{1-\frac{R^2}{(R+L)^2}}=\frac{\sqrt{2RL+L^2}}{R+L}\]

Следовательно,

    \[\operatorname{tg} \alpga=\frac{R}{\sqrt{2RL+L^2}}\]

И тогда

    \[F=\frac{mgR}{\sqrt{2RL+L^2}}\]

А

    \[T=\frac{F}{\sin \alpha}=\frac{mg(R+L)}{ \sqrt{2RL+L^2}}\]

Ответ: F=\frac{mgR}{\sqrt{2RL+L^2}}, T=\frac{mg(R+L)}{ \sqrt{2RL+L^2}}.

 

Задача 3. Лестница опирается на вертикальную стену и горизонтальный пол. Коэффициент трения между лестницей и стеной \mu_1=0,5, а между полом и лестницей \mu_2=0,4. Определите наименьший угол наклона лестницы, при котором она еще может оставаться в равновесии.

К задаче 3 с лестницей

Решение:

Составим уравнения по второму закону Ньютона:

    \[N_2=F_{tr1}=\mu_1 N_1\]

    \[N_1+F_{tr2}=mg\]

И уравнение моментов относительно верхней точки  опоры:

    \[mg\cos \alpha \cdot \frac{L}{2}+ F_{tr1}\sin \alpha L=N_1 L\cos \alpha\]

Умножаем на 2 и делим на L – длину лестницы:

    \[mg\cos \alpha+ 2F_{tr1}\sin \alpha=2N_1 \cos \alpha\]

Разделим еще дополнительно на \cos \alpha:

    \[mg+ 2F_{tr1}\operatorname{tg} \alpha=2N_1\]

Заменим mg= N_1+F_{tr2}:

    \[N_1+F_{tr2}+ 2F_{tr1}\operatorname{tg} \alpha=2N_1\]

Получаем после упрощения

    \[F_{tr2}+ 2F_{tr1}\operatorname{tg} \alpha=N_1\]

Заменим F_{tr2}=\mu_2 N_2, F_{tr1}=\mu_1 N_1:

    \[\mu_2 N_2+2\mu_1 N_1\operatorname{tg} \alpha=N_1\]

Но N_2=F_{tr1}=\mu_1 N_1, тогда

    \[\mu_2 \mu_1 N_1+2\mu_1 N_1\operatorname{tg} \alpha=N_1\]

И сократим на N_1:

    \[\mu_2 \mu_1 +2\mu_1 \operatorname{tg} \alpha=1\]

    \[\operatorname{tg} \alpha=\frac{1-\mu_2 \mu_1}{2\mu_1}\]

При большем угле лестница начнет соскальзывать. Поэтому ответ:

\alpha\leqslant \operatorname{arctg} \frac{1-\mu_2 \mu_1}{2\mu_1}.

 

Задача 4. Невесомые стержни АВ в ВС соединены шарнирно между собой и вертикальной стеной (см. рисунок); угол между стержнями равен \alpha. К середине стержня АВ подвешен груз массой m. Определите силы F_A и F_B давления стержня АВ на шарниры А и В.

К задаче 4

Решение. Линия действия силы mg – средняя линия треугольника ABC, то есть она пересекает отрезок BC в его середине. Так как силы, действующие на BC, сонаправлены с ней, то по теореме о трех непараллельных силах сила, действующая на шарнир в точке А также проходит через середину BC, а значит, она симметрична и равна силе, действующей на шарнир в точке B. Кстати, стержень AB изгибается силой mg, и поэтому силы сжатия не направлены вдоль него.

Таким образом,

    \[mg=F_A \sin \alpha \cdot 2\]

    \[F_A=\frac{mg}{2\sin \alpha }=F_B\]

Ответ: F_A=\frac{mg}{2\sin \alpha }=F_B.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *