Немного целых чисел: задачи

Предлагаю вашему вниманию несложные задачи на целые числа. Справиться с такими задачами смог бы сообразительный семиклассник, которым я иногда подкидываю “на подумать” подобные задачи. Здесь нужно иметь немного сообразительности, немного знаний из комбинаторики, немного внимательности.

Задача 1. Чему равно количество натуральных делителей числа ?

Заметим, что все числа произведения – простые. То есть у самих чисел, входящих в произведение,  нет других делителей, кроме 1 и самого этого числа.  Это уменьшает количество возможных вариантов существенно. Возможные делители будут либо числами, входящими в произведение, либо их степенями, либо произведениями комбинаций таких чисел. Составим таблицу вариантов:

Задача 1

Итак, получили 23 возможных делителя. И не забудем про 1!

Ответ: 24.

Задача 2. Чему равно количество натуральных чисел, имеющих сумму цифр 115, а произведение цифр – 6?

Сразу понятно, что нули в состав такого числа войти не могут. Произведение 6 дают либо , либо .

Тогда во втором случае имеем одну 6 и единиц – а всего 110 цифр. Поскольку 6 может занять любое из 110 мест, то получаем 110 вариантов.

Если рассмотреть первый вариант, то в состав числа войдут 3, 2и единиц. Тогда пусть 3 займет любое из 112 мест, и двойке останется 111 вариантов: варианта.

Всего имеем числа, удовлетворяющих условию.

Ответ: 12542.

Задача 3. Чему равно количество таких натуральных чисел , что остаток от деления 355 на равен 12?

Вычтем из 355 и посмотрим, какое же число таки разделилось на :

. Число 343 делится на 7, на 49, на 343 и на 1. Так как остаток всегда меньше делителя, то 1 и 7 отпадают. Ответ: 49 и 343, всего 2 числа.

Ответ: 2.

Задача 4. Вычислите все возможные значения выражения , если величина является решением уравнения ?

Так как , то имеем следующее:

Определить сумму арифметической прогрессии, стоящей в числителе, ничего не стоит:

Подождем перемножать – может быть, впоследствии удастся сократить дробь?

В знаменателе имеем ряд из квадратов натуральных чисел. Сумма такого ряда может быть выведена, если вспомнить, что любой квадрат натурального числа может быть представлен суммой всех нечетных чисел, количество которых равно :

Не вникая в тонкости, приведу готовую формулу такого ряда:

Расчет в нашем случае дает для суммы такого ряда:

Окончательно для искомого числа имеем:

Ответ: .

Задача 5. Чему равны числа, оканчивающиеся цифрами 38, такие, что после вычеркивания этих цифр исходное число уменьшается в целое число раз?

Сразу напрашивается 138 и 238 – при вычеркивании цифр 3 и 8 исходное число уменьшится в 138 и в 119 раз соответственно. Также просится число 3838 – при вычеркивании уменьшится в 101 раз. Также 38 делится на 19 – поэтому попробуем 1938 – это число уменьшится в 102 раза. На этом варианты исчерпаны)).

Ответ: 138, 238, 1938, 3838.