Предлагаю вашему вниманию несложные задачи на целые числа. Справиться с такими задачами смог бы сообразительный семиклассник, которым я иногда подкидываю “на подумать” подобные задачи. Здесь нужно иметь немного сообразительности, немного знаний из комбинаторики, немного внимательности.
Задача 1. Чему равно количество натуральных делителей числа ?
Заметим, что все числа произведения – простые. То есть у самих чисел, входящих в произведение, нет других делителей, кроме 1 и самого этого числа. Это уменьшает количество возможных вариантов существенно. Возможные делители будут либо числами, входящими в произведение, либо их степенями, либо произведениями комбинаций таких чисел. Составим таблицу вариантов:

Задача 1
Итак, получили 23 возможных делителя. И не забудем про 1!
Ответ: 24.
Задача 2. Чему равно количество натуральных чисел, имеющих сумму цифр 115, а произведение цифр – 6?
Сразу понятно, что нули в состав такого числа войти не могут. Произведение 6 дают либо , либо
.
Тогда во втором случае имеем одну 6 и единиц – а всего 110 цифр. Поскольку 6 может занять любое из 110 мест, то получаем 110 вариантов.
Если рассмотреть первый вариант, то в состав числа войдут 3, 2и единиц. Тогда пусть 3 займет любое из 112 мест, и двойке останется 111 вариантов:
варианта.
Всего имеем числа, удовлетворяющих условию.
Ответ: 12542.
Задача 3. Чему равно количество таких натуральных чисел , что остаток от деления 355 на
равен 12?
Вычтем из 355 и посмотрим, какое же число таки разделилось на :
. Число 343 делится на 7, на 49, на 343 и на 1. Так как остаток всегда меньше делителя, то 1 и 7 отпадают. Ответ: 49 и 343, всего 2 числа.
Ответ: 2.
Задача 4. Вычислите все возможные значения выражения , если величина
является решением уравнения
?
Так как , то имеем следующее:
Определить сумму арифметической прогрессии, стоящей в числителе, ничего не стоит:
Подождем перемножать – может быть, впоследствии удастся сократить дробь?
В знаменателе имеем ряд из квадратов натуральных чисел. Сумма такого ряда может быть выведена, если вспомнить, что любой квадрат натурального числа может быть представлен суммой всех нечетных чисел, количество которых равно
:
Не вникая в тонкости, приведу готовую формулу такого ряда:
Расчет в нашем случае дает для суммы такого ряда:
Окончательно для искомого числа имеем:
Ответ: .
Задача 5. Чему равны числа, оканчивающиеся цифрами 38, такие, что после вычеркивания этих цифр исходное число уменьшается в целое число раз?
Сразу напрашивается 138 и 238 – при вычеркивании цифр 3 и 8 исходное число уменьшится в 138 и в 119 раз соответственно. Также просится число 3838 – при вычеркивании уменьшится в 101 раз. Также 38 делится на 19 – поэтому попробуем 1938 – это число уменьшится в 102 раза. На этом варианты исчерпаны)).
Ответ: 138, 238, 1938, 3838.
Комментариев - 2
Анна, ещё раз добрый вечер!
В четвёртой задаче арифметическая ошибка в последней строчке при сокращении. Правильный ответ 1/43.
Поражаюсь Вашей внимательности. Спасибо!!!