Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Законы сохранения энергии

Натяжение нитей и сохранение энергии

 

Задача 1. С какой начальной скоростью \upsilon_0 надо бросить вниз мяч с высоты 2 м, чтобы он подпрыгнул на высоту 4 м? Считать удар о землю абсолютно упругим.

У мяча, брошенного с высоты, имеется как потенциальная, так и кинетическая энергия. Если удар абсолютно упругий, то во время удара потерь энергии нет, поэтому вся эта энергия перейдет в потенциальную, когда мяч подскочит на высоту 4 м:

    \[E_{k1}+E_{p1}=E_{p2}\]

    \[\frac{m\upsilon^2}{2}+mgh_1=mgh_2\]

    \[\upsilon^2=2g(h_2-h_1)\]

    \[\upsilon=\sqrt{2g(h_2-h_1)}= \sqrt{20(4-2)}=6,32\]

Ответ: \upsilon=6,32 м/с
Задача 2. Тело брошено со скоростью 20 м/с под углом 30^{\circ} к горизонту. Определите его скорость на высоте 1 м.

Сначала тело обладало только кинетической энергией, а потом часть этой энергии перешла в потенциальную. Определим скорость тела:

    \[E_{k1} = E_{k2}+E_{p2}\]

    \[\frac{m\upsilon_1^2}{2}=\frac{m\upsilon_2^2}{2}+mgh\]

    \[\upsilon_1^2=\upsilon_2^2+2gh\]

    \[\upsilon_2=\sqrt{\upsilon_1^2-2gh}=\sqrt{400-20}=19,5\]

Ответ: \upsilon_2=19,5 м/с

Задача 3. Начальная скорость пули 600 м/с, ее масса 10 г. Под каким углом к горизонту она вылетела из дула ружья, если ее кинетическая энергия в высшей точке траектории равна 450 Дж?

В высшей точке траектории у пули останется только горизонтальная составляющая скорости – проекция скорости на ось x. Вертикальная составляющая будет убывать и в высшей точке траектории  станет равна нулю. Проекцию скорости на ось x запишем как

    \[\upsilon_x=\upsilon \cos{\alpha}\]

Где \alpha – искомый угол.

Тогда:

    \[E_k=\frac{m\upsilon^2\cos^2{\alpha}}{2}\]

    \[\cos^2{\alpha}=\frac{2E_k}{m\upsilon^2}\]

    \[\cos{\alpha}=\sqrt{\frac{2E_k}{m\upsilon^2}}=\sqrt{\frac{900}{0,01\cdot600^2}}=\frac{1}{2}\]

    \[\alpha=60^{\circ}\]

Ответ: \alpha=60^{\circ}

Задача 4. Шар радиусом R покоится на поверхности земли. С верхней точки шара скользит из состояния покоя тело, размеры которого много меньше размеров шара. На какой высоте над поверхностью земли тело отделится от шара?

К задаче 4

Тело отделится от шара, когда сила реакции опоры будет равна нулю. Запишем для скользящего тела уравнение по второму закону Ньютона:

    \[m a_n = -N+mg \cos{\alpha}\]

Если N=0, то

    \[a_n= g \cos{\alpha}\]

    \[\frac{\upsilon^2}{R}= g \cos{\alpha}\]

Откуда

    \[\cos{\alpha}=\frac{\upsilon^2}{gR}\]

Высота тела в момент, зафиксированный на рисунке, равна h=R+k, где k=R\cos{\alpha}=\frac{\upsilon^2}{g}. Запишем теперь закон сохранения энергии для тела:

    \[E_{p1}=E_{p2}+E_{k2}\]

    \[2mgR=mg(R+k)+ \frac{m\upsilon^2}{2}\]

Откуда

    \[gR=gk+ \frac{\upsilon^2}{2}\]

    \[\upsilon^2=2gR-2gk=2gR-2g\frac{\upsilon^2}{g}=2gR-2\upsilon^2\]

    \[3\upsilon^2=2gR\]

    \[\upsilon^2=\frac{2gR }{3}\]

Тогда высота тела в момент  отрыва

    \[h=R+ R\cos{\alpha}=R+\frac{\upsilon^2}{g}=R+\frac{2gR }{3g}=\frac{5R}{3}\]

Ответ: h=\frac{5R}{3}

Задача 5. Груз массой 25 кг висит на шнуре длиной 2,5 м. На какую наибольшую высоту можно отвести в сторону груз, чтобы при дальнейших свободных качаниях груза шнур не оборвался? Максимальная сила натяжения, которую выдерживает шнур без обрыва, равна 550 Н.

К задаче 5

Для нижней точки траектории запишем для тела второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:

    \[T=(a_n+g)m\]

    \[T=(\frac{\upsilon^2}{R}+g)m\]

Теперь воспользуемся законом сохранения энергии, ведь вся потенциальная энергия груза перейдет в кинетическую:

    \[mgh=\frac{m\upsilon^2}{2}\]

Откуда

    \[\upsilon^2=2gh\]

Тогда

    \[\frac{2mgh}{R}=T-mg\]

И

    \[h=\frac{ (T-mg)R }{2mg}=\frac{ (550-250)2,5 }{2\cdot250}=1,5\]

Ответ: h=1,5 м

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *