Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Влажность, Олимпиадная физика, Уравнение Менделеева-Клапейрона

Насыщенный пар

В этой статье предлагаю задачи, связанные с таким понятием, как насыщенный пар.

Насыщенный пар -это пар, который находится в состоянии динамического равновесия со своей жидкостью (то есть скорость испарения жидкости равна скорости конденсации пара). При решении задач нужно иметь в виду следующие факты.

Давление и плотность насыщенного пара зависят от его температуры, но не от объёма (при увеличении объёма испаряется дополнительное количество жидкости, при уменьшении объёма конденсируется часть пара).

Давление насыщенного водяного пара при 100 °С примерно равно 1 атм : 105 Па.

При описании состояний ненасыщенного и даже насыщенного пара приближённо работает уравнение Менделеева-Клапейрона.

ЗАДАЧА 1. (МФТИ, 1991 ) Смесь воды и её насыщенного пара занимает некоторый объём при температуре 90^{\circ} С. Если смесь нагревать изохорически, то вся вода испаряется при увеличении температуры на 10^{\circ} С. Чему равно давление насыщенного водяного пара при 90^{\circ} С, если в начальном состоянии масса воды составляла 29% от массы всей смеси? Объёмом воды по сравнению с объёмом смеси пренебречь.
Так как масса воды – 29% от массы всей смеси, то очевидно, что масса пара составляет 71%. При 100^{\circ} давление насыщенного пара равно 105 Па. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для обоих состояний:

    \[p_1V=\frac{m_p}{M}RT_1\]

    \[p_2V=\frac{m}{M}RT_2\]

    \[m_p=0,71m\]

Разделим первое уравнение на второе:

    \[\frac{p_1}{p_2}=\frac{m_p}{m}\cdot\frac{T_1}{T_2}\]

    \[p_1=0,71 \frac{T_1 p_2}{T_2}=0,71 \cdot \frac{(90+273)\cdot 10^5}{100+273}=0,69 \cdot10^5\]

Ответ: 0,69 атм.
ЗАДАЧА 2. (МФТИ, 1985) При изотермическом сжатии m = 9 г водяного пара при температуре T = 373 К его объём уменьшился в 3 раза, а давление возросло вдвое. Найдите начальный объём пара.
При изотермическом процессе должно соблюдаться следующее: во сколько раз меняется давление, во столько же раз изменяется и объем. Но здесь не так. Поэтому делаем вывод, что пар сжимался с изменением давления, пока не стал насыщенным, после чего объем его продолжал уменьшаться, а вот давление уже не менялось. Таким образом, чтобы давление выросло вдвое, объем должен был уменьшиться вдвое же.

    \[\frac{p_2}{p_1}=2\]

Теперь запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для насыщенного пара, давление которого нам известно:

    \[p_2V_2=\frac{m}{M}RT\]

    \[V_2=\frac{m}{M p_2}RT=\frac{0,009}{18\cdot10^{-3}\cdot10^5}8,31\cdot373=15,5\cdot10^{-3}\]

Первоначальный объем больше вдвое: 31 л.

Ответ: 31 л.

ЗАДАЧА 3. (МФТИ, 1996) В сосуде находится ненасыщенный пар. В процессе его изотермического сжатия объём, занимаемый паром, уменьшается в \beta = 4 раза, а давление возрастает в \alpha = 3 раза. Найти долю пара, которая сконденсировалась в этом процессе.
Аналогично предыдущей задаче, в этой давление изменялось, пока пар не стал насыщенным. То есть объем изменился втрое, после чего давление уже не менялось, так как пар стал насыщенным.

    \[V_2=\frac{1}{3}V_1\]

Далее объем менялся с конденсацией пара. Изменени е объема в этом процессе

    \[\Delta V=\frac{1}{3}V_1-\frac{1}{4}V_1=\frac{1}{12}V_1=\frac{1}{4}V_2\]

Так как объем с момента, когда пар стал насыщенным, изменился на четверть, то и сконденсировалась \frac{1}{4} часть пара.

Ответ: 0,25

ЗАДАЧА 4. (МФТИ, 1996) В сосуде находятся водяной пар и вода при температуре 100 °С. В процессе изотермического расширения вода начинает испаряться. К моменту, когда она вся испарилась, объём пара увеличился в  \beta= 10 раз. Найти отношение объёмов пара и воды в начале опыта.

В начальном состоянии

    \[p_1V_1=\frac{m_1}{M}RT\]

    \[V_1=\frac{m_1}{M p_1}RT\]

В конечном состоянии

    \[p_2V_2=\frac{m_2}{M}RT\]

При этом m_2=m_1+m_v, m_v – масса воды.

Тогда

    \[\frac{V_2}{V_1}=\frac{m_2}{m_1}=\frac{ m_1+m_v }{m_1}\]

    \[m_v=9m_1\]

С другой стороны,

    \[m_v=\rho V_v\]

    \[V_v=\frac{m_v}{\rho}=\frac{9m_1}{\rho}\]

Искомое отношение

    \[\frac{V_1}{V_v}=\frac{m_1\rho}{9m_1M p_1}RT=\frac{\rho}{9M p_1}RT =\frac{10^3}{9\cdot18\cdot10^{-3}\cdot10^5}8,31\cdot(100+273)=191,33\]

Ответ: объемы отличались в 191 раз.

Комментариев - 9

  • |

    Интересно, вводится ли в школьном курсе такой технический термин, как “влажность пара” (не путать с “влажностью воздуха”)?
    Влажность пара = масса водяных капель в паре / общая масса пара и капель.

    Ответить
    • Анна
      |

      Нет, им бы с влажностью воздуха разобраться.

      Ответить
  • |

    Сейчас от преподавателей требуют написания ЕГЭ. Ну, я сходил, написал. Мне пришел результат – оказывается, в одной из задачек я проявил невнимательность. В условии был “пар влажностью 60%”, а я, по инерции мышления, воспринял как “воздух влажностью 60%”.
    Как известно, самая страшная ошибка в контрольной работе – “решить другую задачу”. И мне, когда я учился, это объясняли, и я своим ученикам об этом рассказываю. Однако, вот, лично такую ошибку совершил. За задачку 0 баллов из 3.

    Вообще-то, личное написание ЕГЭ – занятный опыт. Будет, что ученикам рассказать.

    Ответить
    • Анна
      |

      А текст задачи сможете воспроизвести?

      Ответить
  • |

    В цилиндре под поршнем имеется водяной пар.
    Влажность 60%.
    Вес пара 10г.
    Изотермически сжимаем в 4 раза.
    Сколько граммов пара сконденсируется?

    Задачка решается мгновенно, не напрягаясь, и для “влажности воздуха”, и “для влажности пара”.

    Ответить
  • |

    История имела интересное продолжение.
    Итак, объединю все в один текст.
    1) От преподавателей теперь требуют сдачу ЕГЭ.
    2) Мне в ЕГЭ попалась некая задачка на “относительную влажность воздуха”.
    3) Мое решение было оценено как 0 баллов из 3.
    4) Я засомневался в себе: а не перепутал ли я в тексте условия задачи “относительную влажность воздуха” с “влажностью пара”?
    Если я такое учудил, то 0 баллов закономерны – “решена не та задача”.
    5) Я подал апелляцию: “Посмотрите пожалуйста, что там в условии: “относительная влажность воздуха” или “влажность пара”? Если “влажность воздуха”, то мое решение правильное”.
    6) Получил отказ в апелляции – мол, “решено неправильно”.
    7) “Ну, хрен ли тут поделаешь?” – подумал я и отправился сдавать ЕГЭ по второму разу. К моему величайшему удивлению, в конверте был тот же самый вариант ЕГЭ, что и в прошлый раз. Я внимательно перечитал условия задач и убедился: никакой невинимательности в первый раз я не проявил, задачи именно такие, как я их запомнил. Так что, я по второму разу записал те же ответы, что и в первый раз. В частности, в обсуждаемой задачке была именно “относительная влажность воздуха”.
    8) И опять пришел результат проверки ЕГЭ – мол, задачка решена неправильно.

    Итак.
    Условие задачки.
    В сосуде под поршнем имеется влажный воздух с относительной влажностью фи=60%. Масса водяных паров 10г.
    Изотермически сжимаем в 4 раза. Сколько водяного пара сконденсируется?

    Мой вариант ответа.
    Для случая 4*фи > 1 (именно этот случай и записан в условии)
    сконденсируется (1-1/(4*фи))*10г = (1-1/(0,6*4))*10г = 5,83(3)г

    Мне очень любопытно: можно ли в этой задачке придумать какой-нибудь другой вариант ответа?
    У меня опять есть двое суток на подачу апелляции :-)

    Ответить
    • Анна
      |

      У меня такой же ответ.

      Ответить
      • Нина
        |

        6,7 г

        Ответить
  • |

    Получил ответ на апелляцию. Мол, задачи я решаю правильно, но неправильно оформляю решение. Заметка по теме https://biglebowsky.livejournal.com/121345.html#cutid1

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *