Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Влажность, Олимпиадная физика, Основное уравнение МКТ, Уравнение Менделеева-Клапейрона

Насыщенный пар – 3

В этой статье предлагаю задачи, связанные с таким понятием, как насыщенный пар.

Насыщенный пар -это пар, который находится в состоянии динамического равновесия со своей жидкостью (то есть скорость испарения жидкости равна скорости конденсации пара). При решении задач нужно иметь в виду следующие факты.

Давление и плотность насыщенного пара зависят от его температуры, но не от объёма (при увеличении объёма испаряется дополнительное количество жидкости, при уменьшении объёма конденсируется часть пара).

Давление насыщенного водяного пара при 100 °С примерно равно 1 атм: 105 Па.

При описании состояний ненасыщенного и даже насыщенного пара приближённо работает уравнение Менделеева-Клапейрона.

 

ЗАДАЧА 1. (МФТИ, 1993) Для насыщенного водяного пара вблизи температуры 100^{\circ} С малые относительные изменения давления \frac{\Delta p_H}{p_H} и температуры \frac{\Delta T_H}{T_H} связаны формулой \frac{\Delta p_H}{p_H}=13\frac{\Delta T_H}{T_H}. При какой температуре закипит вода на высоте Останкинской телебашни H = 550 м? Давление воздуха в изотермической атмосфере p(h) с высотой h изменяется по закону p(h)=p(0)\cdot e^{-\frac{\mu g h}{RT}}, где p(0) –  нормальное атмосферное  давление у поверхности земли, \mu = 29 г/ моль  – средняя молярная масса воздуха, g= 9,8 м/ с^2 –  ускорение свободного падения, R= 8,31 Дж/ (моль  К), T =273 К. Указание: при малых x \ll  1 имеет место формула {e}^{-x} \approx 1-x.
Запишем давление воздуха с учетом приведенного допущения:

    \[p(h)=p(0)\cdot e^{-\frac{\mu g h}{RT}}=p(0)(1-\frac{\mu g h}{RT}})\]

Тогда

    \[\Delta p=\frac{\mu g h p_0}{RT}}\]

Следовательно,

    \[\frac{\Delta p }{ p_0}=\frac{\mu g h }{RT}}=13\frac{\Delta T_H}{T_H}\]

Тогда

    \[\Delta T_H=\frac{\mu g h T_H }{13RT}}=\frac{29\cdot10^{-3}\cdot9,8\cdot 550\cdot 373}{13\cdot8,31\cdot273}}=1,977\]

Следовательно, вода закипит при 100^{\circ}-2^{\circ}=98^{\circ} градусах.

Ответ: 98^{\circ}.
ЗАДАЧА 2. (МФТИ, 1997) Насыщенный водяной пар находится в цилиндре под поршнем при температуре 120°С. При медленном изотермическом уменьшении объёма цилиндра пар начинает конденсироваться. К моменту, когда сконденсировалось m= 5 г пара, объём, им занимаемый, уменьшился на \Delta V= 4,5 л.

  • Какая по величине работа была совершена внешней силой в этом процессе?
  • Сколько пара было в цилиндре вначале, если в конце опыта вода занимала 0,5% объёма цилиндра?

Из условия задачи понятно, что пар массой 5 г занимал объем 4,5 л. Зная это, давайте определим давление пара:

    \[p_1V_1=\frac{m}{M}RT\]

    \[p_1=\frac{m}{MV_1}RT=\frac{0,005}{0,018\cdot4,5\cdot10^{-3}}8,31\cdot (273+120)=201594\]

Так как пар все время остается насыщенным, то и его давление неизменно. Поэтому можно определить работу внешних сил:

    \[A=p_1\Delta V=201594\cdot4,5\cdot10^{-3}=907,2\]

Определим теперь изначальное количество пара. Так как 5 г воды занимают объем, равный 0,5%, это позволяет определить объем пара в конце.

Определим объем 5 г воды:

    \[V=\frac{m}{\rho}=\frac{5\cdot10^{-3}}{1000}=5\cdot10^{-6}\]

Составим пропорцию:

    \[V - 0,5\%\]

    \[x - 100\%\]

Тогда

    \[x=\frac{100V}{0,5}=10^{-3}\]

То есть в конце объем пара – 1 л. Это значит, что вначале его было 5,5 л.

Определим его массу:

    \[m_1=\frac{p_1V_0 M}{RT}=\frac{201594\cdot5,5\cdot10^{-3}\cdot18\cdot10^{-3}}{8,31\cdot (273+120)}=6,1\cdot10^{-3}\]

Ответ: 1) A=907,2 Дж;  2) начальная масса пара 6,1 г.

ЗАДАЧА 3. (МФТИ, 1997) В цилиндре поршнем с пружиной (см. рисунок) заперт водяной пар в объёме V = 4 л. Температура в цилиндре поддерживается постоянной и равной 100 °С. В цилиндр впрыскивается 4 г воды, и поршень начинает перемещаться. После установления равновесия часть воды испарилась, а объём цилиндра увеличился в два раза.

  • Какая масса пара была в цилиндре вначале?
  • Сколько воды испарилось к концу опыта? Внешнее давление отсутствует, длина недеформированной пружины соответствует положению поршня у дна цилиндра.

Сначала на пар действовала сила упругости

    \[F_1=p_1S\]

Следовательно, можно записать:

    \[p_1V_1=\nu_1 RT\]

    \[\frac{F_1}{S}V_1=\nu_1 RT\]

    \[F_1 l=\nu_1 RT~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

Затем, когда объем пара вырос вдвое, очевидно, сжатие пружины вдвое увеличилось:

    \[F_2=p_2S\]

    \[p_2V_2=\nu_2 RT\]

    \[\frac{F_2}{S}V_2=\nu_2 RT\]

    \[F_2 \cdot2l=\nu_2 RT~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)\]

Разделим (2) на (1):

    \[\frac{2 F_2 }{ F_1 }=\frac{\nu_2}{\nu_1}\]

    \[\frac{2 k\cdot2x }{ kx}=\frac{\nu_2}{\nu_1}\]

Или

    \[\frac{\nu_2}{\nu_1}=4\]

Но \nu_2=\nu_1+\nu_v, \nu_v – количество вещества, содержащееся в той воде, что испарилась.

    \[\nu_v=0,75\nu_2\]

Известно, что не вся вода испарилась, следовательно, в конце пар насыщен. Его давление при  100^{circ} С будет равно атмосферному.

    \[p_0V_k=\nu_2RT\]

    \[\nu_2=\frac{ p_0V_k }{RT}=\frac{10^5\cdot8\cdot10^{-3}}{8,31\cdot373}=0,258\]

Тогда

    \[\nu_v =0,75\nu_2=0,194\]

А масса воды, которая испарилась

    \[m_v=\nu_v M=0,194\cdot18\cdot10^{-3}=0,00348\]

То есть испарилось 3,5 г воды.

Зная \nu_2, определим массу пара в конце:

    \[m_k=\nu_2 M=0,258\cdot18\cdot10^{-3}=4,65\cdot10^{-3}\]

Следовательно, вначале масса пара была m_0=m_k-m_v=4,65-3,5=1,15 г.

Ответ: 1) 1,15 г пара было вначале; 2) испарилось 3,5 г воды.

 

ЗАДАЧА 4. (МФТИ, 2005 ) В цилиндре под поршнем находится ненасыщенный водяной пар под давлением р = 1 атм. В процессе изобарического сжатия конечный объём, который занимает пар, уменьшается в k= 4 раза по сравнению с объёмом, который он занимал вначале. При этом часть пара конденсируется, а объём образовавшейся воды составляет \alpha = \frac{1}{1720} от конечного объёма пара. Во сколько раз уменьшилась температура пара в указанном процессе? Плотность воды \rho = 1 г/см^3, молярная масса пара M = 18 г/моль.

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для состояния пара до и после сжатия:

    \[pV_1=\nu_1RT_1\]

    \[pV_2=\nu_2RT_2\]

Во втором случае

    \[p\frac{V_1}{k}=\nu_2RT_2\]

То есть

    \[pV_1=k\nu_2RT_2\]

Тогда

    \[\nu_1RT_1=k\nu_2RT_2\]

    \[\frac{T_1}{T_2}=\frac{k\nu_2}{\nu_1}\]

Количество пара \nu_2=\nu_1-\nu_v, \nu_v – количество вещества сконденсированной воды.

    \[\nu_v=\frac{m}{M}=\frac{\rho V_v}{M}=\frac{\rho \alpha V_2}{M}=\frac{\rho \alpha V_1}{kM}\]

    \[\nu_2=\nu_1-\frac{\rho \alpha V_1}{kM}\]

Определяем отношение температур:

    \[\frac{T_1}{T_2}=\frac{k\nu_2}{\nu_1}=\frac{k\nu_1-\frac{\rho \alpha V_1}{M}}{\nu_1}=k-\frac{\rho \alpha V_1}{M\nu_1}=k-\frac{\rho \alpha }{M}\frac{RT_1}{p}\]

Откуда

    \[T_1=kT_2-\frac{\rho \alpha }{M}\frac{RT_1}{p}T_2\]

    \[\left(1+\frac{\rho \alpha }{M}\frac{RT_2}{p}\right)T_1=kT_2\]

    \[\frac{T_1}{T_2}=\frac{k}{1+\frac{\rho \alpha RT_2}{Mp}}=\frac{4}{1+\frac{10^3\cdot\frac{1}{1720}\cdot8,31\cdot373}{18\cdot10^{-3}\cdot10^5}}=2\]

Ответ: \frac{T_1}{T_2}=2

ЗАДАЧА 5. (МФТИ, 2005) В цилиндре под поршнем находится насыщенный водяной пар и вода, при температуре 100 °С. Объём воды составляет \alpha = \frac{1}{860}часть объёма, который занимает пар. При изотермическом расширении давление уменьшилось в \beta = 2 раза, при этом вся вода
испарилась. Во сколько раз увеличился объём пара? Плотность воды \rho = 1 г/см^3, молярная масса пара M = 18 г/моль.

При расширении пар будет оставаться насыщенным до тех пор, пока не испарится вся вода. При дальнейшем расширении пар перестанет быть насыщенным.  Давление насыщенного пара равно атмосферному. Тогда

    \[p_0V_1=\nu RT=\frac{m_p+m_v}{M}RT\]

    \[p_0V_1=\frac{m_p+\rho V \alpha}{M}RT~~~~~~~(3)\]

Массу пара найдем, записав для него уравнение Менделеева-Клапейрона:

    \[p_0V=\frac{m_p}{M}RT\]

    \[m_p=\frac{p_0VM}{RT}\]

Вернемся к (3):

    \[p_0V_1=\frac{m_p}{M}RT+\frac{\rho V \alpha}{M}RT=p_0V+\frac{\rho V \alpha}{M}RT\]

    \[V_1=V+\frac{\rho V \alpha}{Mp_0}RT\]

Далее пар перестает быть насыщенным, он изотермически расширяется, и его давление падает вдвое, а значит, объем вдвое растет:

    \[V_2=2V+\frac{2\rho V \alpha}{Mp_0}RT\]

Откуда

    \[\frac{V_2}{V}=2+\frac{2\rho  \alpha}{Mp_0}RT=2+\frac{2\cdot10^3\cdot\frac{1}{860}}{18\cdot10^{-3}\cdot10^5}8,31\cdot373=2+4=6\]

Ответ: в 6 раз.

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *