Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Основное уравнение МКТ, Первое начало термодинамики, Работа газа

Насыщенный пар – 2

В этой статье предлагаю задачи, связанные с таким понятием, как насыщенный пар.

Насыщенный пар -это пар, который находится в состоянии динамического равновесия со своей жидкостью (то есть скорость испарения жидкости равна скорости конденсации пара). При решении задач нужно иметь в виду следующие факты.

Давление и плотность насыщенного пара зависят от его температуры, но не от объёма (при увеличении объёма испаряется дополнительное количество жидкости, при уменьшении объёма конденсируется часть пара).

Давление насыщенного водяного пара при 100 °С примерно равно 1 атм : 105 Па.

При описании состояний ненасыщенного и даже насыщенного пара приближённо работает уравнение Менделеева-Клапейрона.

ЗАДАЧА 1. (МОШ, 2014, 10-11) В сосуд объёмом 5 кубических метров внесли блюдце с 200 г воды. Никаких водяных паров изначально в сосуде не было. Сосуд герметично закрыли и дождались установления равновесия. Температура в сосуде 25 °С, давление насыщенного пара воды при этой температуре 2,3 кПа. Абсолютный нуль составляет -273 °С. Универсальная газовая постоянная 8,3 Дж/ (моль К).

А) Найдите массу воды, оставшуюся на блюдце. Ответ выразите в граммах и округлите до третьей значащей цифры.

В) Сколько молекул водяного пара попадёт в куб с длиной ребра 300 нанометров? Ответ округлите до второй значащей цифры.

С) Каким будет парциальное давление водяного пара в сосуде при увеличении температуры до 100 градусов Цельсия? Атмосферное давление составляет 100 кПа. Ответ выразите в килопаскалях и округлите до второй значащей цифры.

Сначала определим массу воды в блюдце. Если пар стал насыщенным, то справедливо:

    \[pV=\frac{m_p}{M}RT\]

Откуда

    \[m_p=\frac{p VM } {RT} =\frac{2,3\cdot10^3\cdot5\cdot18\cdot10^{-3} } {8,31\cdot(273+25)} =0,084\]

Тогда в блюдце осталось m_o=0,2-0,084=0,116, или 116 г воды.

Определим, сколько молей составляет 84 г воды:

    \[\nu=\frac{84}{18}=4,67\]

Это количество распределено равномерно в 5 куб. метрах. Объем кубика со стороной 300 нанометров равен

    \[V_k=d^3=(3\cdot10^{-7})^3=27\cdot10^{-21}\]

Составим пропорцию, чтобы определить количество вещества в таком кубике:

    \[4,67 - 5\]

    \[x - 27\cdot10^{-21}\]

    \[x=\frac{4,67\cdot27\cdot10^{-21}}{5}=25,2\cdot10^{-21}\]

Теперь можно определить число молекул:

    \[N=x\cdot N_A=25,2\cdot10^{-21}\cdot 6\cdot10^{23}=15120\]

Теперь найдем парциальное давление пара. Сначала убедимся, что вся вода испарится. Посчитаем, какова масса пара, если он стал насыщенным при 100 градусах:

    \[m=\frac{p VM } {RT} =\frac{10^5\cdot5\cdot18\cdot10^{-3} } {8,31\cdot(273+100)} =2,9\]

Таким образом, имеющегося количества воды не хватит, чтобы пар стал насыщенным, а значит, она вся испарится.

    \[p_2=\frac{m}{M V}RT_1=\frac{0,2}{18\cdot10^{-3}\cdot 5}8,31\cdot373=6,9\cdot10^{3}\]

Ответ с округлением: А) 116 г; В) 15000; С) 6,9 кПа.

ЗАДАЧА 2. (МОШ, 2014, 11) В сосуде объёмом 1 л при температуре 100 °С находятся в равновесии вода (молярная масса 18 г моль), водяной пар и азот (молярная масса 28 г моль). Объём жидкой воды много меньше объёма сосуда. Давление в сосуде составляет 300 кПа, атмосферное давление 100 кПа. Универсальная газовая постоянная 8,3 Дж (моль . К). Абсолютный нуль температуры составляет -273 °С.

А) Найдите общее количество вещества в газообразном состоянии. Ответ представьте в молях и округлите до второй значащей цифры.

В) Каково парциальное давление азота в системе? Ответ представьте в килопаскалях и округлите до первой значащей цифры.

С) Какова масса водяного пара.? Ответ представьте в граммах и округлите до второй значащей цифры.

D) Какова масса азота? Ответ представьте в граммах и округлите до второй значащей цифры.

Е) Каким будет давление при охлаждении системы до 0°С? Ответ представьте в килопаскалях и округлите до второй значащей цифры. Давление насыщенного пара воды при 0°С составляет 0,6 кПа.

Так как имеются и вода, и пар, то это означает, что пар насыщен. Тогда его давление при 100 °С равно 100 кПа, а давление азота тогда – 200 кПа. Это позволяет найти массу азота:

    \[m_{N_2}=\frac{p_{N_2} VM_{N_2} } {RT} =\frac{2\cdot 10^5\cdot10^{-3}\cdot28\cdot10^{-3} } {8,31\cdot(273+100)} =18\cdot10^{-4}\]

Итак, азота 1,8 г. Таким же образом определим массу пара:

    \[m_{H_2O}=\frac{p_{H_2O} VM_{H_2O} } {RT} =\frac{10^5\cdot10^{-3}\cdot18\cdot10^{-3} } {8,31\cdot(273+100)} =5,8\cdot10^{-4}\]

То есть масса пара всего 0,58 г.

Определим количество вещества для обоих составляющих:

    \[\nu_{N_2}=\frac{m_{N_2}}{M_{N_2}}=\frac{1,8}{28}=0,064\]

    \[\nu_{H_2O}=\frac{m_{H_2O}}{M_{H_2O}}=\frac{0,58}{18}=0,032\]

    \[\nu_{N_2}+\nu_{H_2O}=0,064+0,032=0,096\]

Осталось ответить на последний вопрос. Пар создаст давление 0,6 кПа, так как при более низкой температуре он точно насыщен. Тогда осталось найти давление азота и сложить с давлением пара:

    \[p_2=\frac{ m_{N_2}}{ M_{N_2} V}RT_2=\frac{0,0018}{28\cdot10^{-3}\cdot 10^{-3}}8,31\cdot273=145,8\cdot10^{3}\]

    \[p_{ob}= p_2+p_{nas_0}=145,8\cdot10^{3}+0,6\cdot10^{3}=146,4\cdot10^3\]

Ответ с округлением: А) 0,096 моль; В) 200 кПа; С) 0,58 г; D) 1,8 г; Е) 150 кПа.

 

ЗАДАЧА 3. («Физтех›, 2017, 10 -11) Поршень делит объём герметичного вертикально расположенного цилиндра на две части. Стенки цилиндра хорошо проводят теплоту. Снаружи цилиндра поддерживается постоянная температура Т = 373 К. Поршень создаёт своим весом дополнительное давление p = \frac{p_0}{5}, где p_o – нормальное атмосферное давление. Под поршнем в объёме V_0 = 1 л находится воздух, над поршнем в объёме V_0 – вода массой m_1= 1,2 г и водяной пар. Система в равновесии. Цилиндр переворачивают вверх дном. После наступления равновесия под поршнем находится вода и водяной пар, над поршнем воздух.

  • Найти объём пара в конечном состоянии.
  • Найти массу воды в конечном состоянии.

Объём воды значительно меньше объёма цилиндра, масса воды значительно меньше массы поршня. Трением поршня о цилиндр пренебречь. Молярная масса водяного пара M = 18 г / моль, универсальная газовая постоянная R= 8,31 Дж/ (моль К).

Так как цилиндр хорошо проводит теплоту, то температура внутри него, очевидно, равна температуре снаружи. Температура равна температуре кипения воды, и, так как в верхней части содержится и вода, и пар, то, следовательно, пар насыщен и его давление равно p_0.

Давление воздуха вначале будет равно

    \[p_1=p_0+\frac{p_0}{5}=1,2p_0\]

Когда цилиндр перевернут, давление воздуха станет равным

    \[p_2=p_0-\frac{p_0}{5}=0,8p_0\]

Процесс изотермический, следовательно,

    \[p_1V_1=p_2V_2\]

    \[V_2=\frac{ p_1V_1}{p_2}=\frac{1,2p_0V_1}{0,8p_0}=1,5V_1\]

Получается, что воздух займет 1,5 л, оставив воде и пару только 0,5. Это значит, что сконденсируется ровно половина количества пара.

Найдем его массу вначале:

    \[m_p=\frac{p VM } {RT} =\frac{10^5\cdot10^{-3}\cdot18\cdot10^{-3} } {8,31\cdot 373} =0,00058\]

То есть пара было 0,6 г. Если сконденсировалась половина, то воды стало 1,2+0,3=1,5 г.

Ответ: 1) 0,5 л; 2) 1,5 г.

ЗАДАЧА 4. (МФТИ, 1991) В цилиндре под поршнем находятся \nu молей жидкости и \nu молей её насыщенного пара при температуре T_0. К содержимому цилиндра подвели количество теплоты Q, медленно и изобарически нагревая его, и температура внутри цилиндра увеличилась на \Delta T. Найти изменение внутренней энергии содержимого цилиндра. Начальным объёмом жидкости пренебречь.

Так как пар изначально был насыщен, то при нагреве вода будет испаряться до тех пор, пока не испарится вся, при этом давление не меняется: пар расширяется, его температура тоже не меняется. И только когда вся вода испарится, пар начнет греться. То есть в конечном состоянии имеем 2\nu молей пара с большей температурой.

Так как пар расширяется, он совершает работу. Работа будет состоять из двух частей: из первой части, связанной с расширением пара при испарении, и второй части, связанной с нагревом пара на \Delta T и его расширением при нагреве.

Первая часть равна

    \[A_1=pV=\nu R T_0\]

Вторая часть

    \[A_2=2\nuR\Delta T\]

Полная работа

    \[A=A_1+A_2=\nu R(T_0+2\Delta T)\]

Изменение внутренней энергии по первому началу равно

    \[\Delta U=Q-A=Q-\nu R(T_0+2\Delta T)\]

Ответ: \Delta U=Q-\nu R(T_0+2\Delta T).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *