Напряженность поля: шарики на нитках и работа поля

 

В этой статье собраны задачи, где необходимо применить закон сохранения энергии для того, чтобы найти требуемую силу. Кроме того, нужно вспомнить, что такое центростремительное ускорение, и правильно записать второй закон Ньютона в проекциях на оси. Если все это сделать внимательно – успех гарантирован.

Задача 1. Тело массой г, имеющее заряд мкКл, подвешено на нити. Тело отклоняют на и отпускают. Чему равна сила натяжения нити в тот момент, когда нить составляет угол с вертикалью? Тело находится  в однородном электрическом поле с напряженностью кВ/м, направленном вертикально вниз.

Решение.

Когда шарик находился вверху, он обладал потенциальной энергией, во-первых, гравитационного взаимодействия, во-вторых, электрического. Определим, на какое расстояние по высоте переместился шарик, когда перешел из начальной точки в конечную:

   

Энергия шарика переходит из потенциальной в кинетическую:

   

   

   

Таким образом, скорость шарика в конечном положении равна

   

   

В конечном положении на шарик действуют силы: тяжести, кулонова, центробежная, сила натяжения нити. Составим уравнения по второму закону для каждой координатной оси, причем систему координат введем, направив ось ординат вдоль нити вверх. Тогда:

   

   

Подставим скорость, найденную ранее:

   

   

Задача решена, считаем:

   

Ответ: Н.

 

Задача 2. В однородном электрическом поле с напряженностью кВ/м на нити прикреплен шарик массой г и  зарядом  мкКл. Шарик отклоняют от положения равновесия на угол и отпускают. Найти натяжение нити в тот момент, когда шарик проходит положение равновесия. Силовые линии поля вертикальны.

В верхнем положении равновесия на шарик действует сила тяжести, кулонова сила воздействия электрического поля, сила натяжения нити и центробежная сила. Уравнение по второму закону Ньютона будет записано так:

   

   

Скорость найдем из уравнения для энергий: шарик приобретает потенциальную энергию гравитационного взаимодействия и кинетическую, но теряет потенциальную энергию взаимодействия с электрическим полем, так как двигается вдоль его линий:

   

   

Тогда:

   

   

Определим теперь силу натяжения нити:

   

   

   

   

Задача решена, подставляем числа:

   

Ответ: Н

 

Задача 3. В однородном электрическом поле с напряженностью , направление силовых линий которого совпадает с направлением силы тяжести, на нити длиной висит шарик массой , имеющий заряд . Какую минимальную горизонтальную скорость надо сообщить шарику, чтобы он смог вращаться в вертикальной плоскости?

Решение.

Так как шарик подвешен на нити, а не на стержне, то ему обязательно обладать скоростью в верхней точке траектории, чтобы не упасть. Эта скорость может быть определена из условия равенства нулю равнодействующей всех сил: на шарик действует сила тяжести и кулонова сила, а также центробежная сила. Силу натяжения нити считаем равной нулю.

   

   

   

С другой стороны, чтобы шарик мог забраться наверх, да еще преодолев силу, с которой поле на него воздействует, ему надо сообщить достаточную энергию: потенциальную, чтобы он поднялся на высоту

   

Кинетическую:

   

Да еще потенциальную энергию на преодоление воздействия поля:

   

Тогда ему нужно сообщить суммарную энергию:

   

Упростим:

   

   

   

Извлечем корень:

   

Ответ:

 

Задача 4. В однородном электрическом поле с напряженностью на нити длиной вращается вокруг вертикальной оси шарик массой , имеющий заряд . Направление силовых линий электрического поля совпадает с направлением силы тяжести. Определить минимальную работу , которую нужно произвести для разгона шарика из состояния покоя до угловой скорости .

Решение.

Поскольку шарик разогнали, следовательно, ему сообщили кинетическую энергию:

   

Пока шарик не вращался, а просто висел, он находился на расстоянии от точки крепления нити.

Можно считать, что его потенциальная энергия гравитационного взаимодействия на данной высоте – нулевая. Когда угловая скорость шарика достигла  , то очевидно, что, вращаясь по окружности радиуса , он приподнялся, и его потенциальная энергия перестала быть нулевой – ведь теперь он поднялся на высоту , где . Тогда потенциальная энергия шарика, связанная с гравитацией, равна:

   

Также, приподнявшись, шарик приобрел потенциальную энергию, связанную с перемещением его в поле против силовых линий этого поля. Работа поля при этом отрицательна, но энергия, приобретенная шариком – положительна: при движении по линиям поля потенциальная энергия уменьшается, зато растет кинетическая,  и наоборот.

Тогда потенциальная энергия электростатического взаимодействия заряда и поля равна:

   

В итоге минимальная работа, которую потребуется выполнить,  – это сумма всех трех видов энергии, которые приобрел шарик:

   

Осталось совсем немного: определить радиус окружности, по которой вращается шарик.

   

   

Разделим второе уравнение на первое:

   

   

С другой стороны,

   

Тогда:

   

Или

   

Возведем в квадрат:

   

Теперь по теореме Пифагора определим радиус:

   

   

Теперь можем записывать окончательное выражение для работы:

   

   

   

   

   

Ответ: