Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Напряженность поля

Напряженность поля: простые задачи

Решим несколько несложных задач на расчет напряженности поля, создаваемого зарядом. Среди них есть несколько довольно интересных, которые допускают два решения. Также придется вспомнить правила работы с векторами и подобие треугольников.

Задача 1. Напряженность электрического поля, создаваемого зарядом на расстоянии r=10 см от него, равна E=90 В/м. На каком расстоянии от заряда напряженность электрического поля на \Delta E=30 В/м меньше?

Напряженность поля равна:

    \[E=\frac{kq}{r^2}\]

Тогда заряд

    \[q=\frac{Er^2}{k}\]

Напряженность поля меняется с расстоянием, а заряд – нет, поэтому мы на него обопремся:

    \[q=\frac{(E-\Delta E)l^2}{k}\]

Приравняв оба выражения, можно определить искомое расстояние l:

    \[l^2=\frac{r^2E}{E-\Delta E}\]

    \[l=\sqrt{\frac{r^2E}{E-\Delta E}}\]

    \[l=r\sqrt{\frac{E}{E-\Delta E}}=0,1\sqrt{1,5}=0,122\]

Ответ: 12,2 см

 

Задача 2. Заряд маленького шарика увеличивают на \eta=44%. Как и насколько следует изменить расстояние от заряда до точки наблюдения, чтобы напряженность электрического поля в ней не изменилась? Первоначальное расстояние r=15 см.

Запишем изменение заряда «математическим языком»:

    \[q_1=1,44q\]

Первоначальная напряженность поля равна:

    \[E=\frac{kq}{r^2}\]

Напряженность поля при изменении заряда и расстояния:

    \[E_1=\frac{kq_1}{l^2}\]

Приравняем напряженности, ведь по условию в том и другом случае они равны:

    \[\frac{kq}{r^2}=\frac{kq_1}{l^2}\]

    \[\frac{q}{r^2}=\frac{1,44q}{l^2}\]

    \[l^2=1,44r^2\]

Или l=1,2r. То есть увеличить расстояние нужно на 20%, а это 3 см.

Ответ: 3 см.

 

Задача 3. Заряд, создающий поле, уменьшили на \eta_1=30%, расстояние до точки наблюдения увеличили на  \eta_2=20%. Как и на сколько процентов изменилась напряженность электрического поля?

Первоначальная напряженность поля равна:

    \[E=\frac{kq}{r^2}\]

Заряд изменили: q_1=0,7q, расстояние – тоже: r_1=1,2r.

Напряженность поля стала равна:

    \[E_1=\frac{kq_1}{r_1^2}=\frac{k0,7q}{1,44r^2}=0,48E\]

Таким образом, понятно, что напряженность изменилась на 52%.

Ответ: 52%.

 

Задача 4. Заряд q=50 мкКл находится на плоскости XOY  в точке с радиус-вектором \vec{r_0}=2\vec{i}+3\vec{j}. Найти вектор напряженности электрического поля и его модуль в точке с радиус-вектором \vec{r}=8\vec{i}-5\vec{j}.

Задача 2.

Из рисунка понятно, что расстояние между зарядом и заданной точкой равно 10 (это следует из теоремы Пифагора). Тогда модуль напряженности найти легко:

    \[E=\frac{kq}{r^2}=\frac{9\cdot10^9\cdot50\cdot10^{-6}}{100}=4500\]

Направление вектора напряженности поля совпадает с вектором: \vec{r}-\vec{r_0}.

Тогда, умножив модуль на направление, как раз и получим напряженность поля:

    \[\vec{E}=\mid E \mid \cdot\frac{(\vec{r}-\vec{r_0})}{\mid\vec{r}-\vec{r_0}\mid}\]

    \[\vec{r}-\vec{r_0}=8\vec{i}-5\vec{j}-(2\vec{i}+3\vec{j})=6\vec{i}-8\vec{j}\]

    \[\vec{E}=\frac{kq(\vec{r}-\vec{r_0})}{{\mid\vec{r}-\vec{r_0}\mid}^3}=\frac{9\cdot10^9\cdot50\cdot10^{-6}(6\vec{i}-8\vec{j})}{10^3}=450(6\vec{i}-8\vec{j})=2700\vec{i}-3600\vec{j}\]

Ответ: \vec{E}=2,7\vec{i}-3,6\vec{j} кВ/м,  E=4500 В/м.

 

Задача 5. Положительный заряд q=130 нКл  расположен в некоторой точке C плоскости XOY. При этом в точке A с координатами (2; -3) напряженность электрического поля E_A=32,5 В/м, а в точке B с координатами (-3; 2) – E_B=45 В/м. Найти координаты точки C, где расположен заряд.

Запишем напряженность поля в обеих точках:

    \[E_A=\frac{kq}{r_A^2}\]

    \[E_B=\frac{kq}{r_B^2}\]

Примем обозначения x и y для координат точки C, где расположен заряд. Расстояние от точки A до заряда тогда равно:

    \[r_A=\sqrt{(x-2)^2+(y+3)^2}\]

Расстояние от точки B до заряда:

    \[r_B=\sqrt{(x+3)^2+(y-2)^2}\]

Напряженность поля в точке A:

    \[E_A=\frac{kq}{(x-2)^2+(y+3)^2}\]

    \[32,5=\frac{9\cdot10^9\cdot130\cdot10^{-9}}{(x-2)^2+(y+3)^2}\]

Напряженность поля в точке B:

    \[E_B=\frac{kq}{(x+3)^2+(y-2)^2}\]

    \[45=\frac{9\cdot10^9\cdot130\cdot10^{-9}}{(x+3)^2+(y-2)^2}\]

Имеем систему:

    \[\begin{Bmatrix}{(x-2)^2+(y+3)^2=36}\\(x+3)^2+(y-2)^2=26}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{x^2-4x+4+y^2+6y+9=36}\\{x^2+6x+9+y^2-4y+4=26}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{x^2-4x+y^2+6y=23}\\{x^2+6x+y^2-4y=13}\end{matrix}\]

Вычтем из одного уравнения другое:

    \[-10x+10y=10\]

Или

    \[y-x=1\]

Можно выразить y=x+1 и подставить в исходное уравнение:

    \[x^2+6x+9+(x-1)^2=26\]

    \[2x^2+4x-16=0\]

x_1=2x_2=-4

Тогда y_1=3, y_2=-3.

Ответ: или точка с координатами (2; 3), или с координатами (-4;-3).

 

Задача 6. В точке A  напряженность электрического поля, создаваемого зарядом,  E_A=36 В/м, а в точке B  – E_B=9 В/м. Найти напряженность в точке C, расположенной посередине между точками A и B.

Запишем напряженность поля в обеих точках:

    \[E_A=\frac{kq}{r_A^2}\]

    \[E_B=\frac{kq}{r_B^2}\]

Напряженность поля в точке C:

    \[E_С=\frac{kq}{r_С^2}=\frac{kq}{(\frac{r_B-r_A}{2}+r_A)^2}=\frac{kq}{(\frac{r_B+r_A}{2})^2}=\frac{4kq}{(r_B+r_A)^2}\]

Определим расстояния от заряда до точек A и B:

    \[r_A=\sqrt{\frac{kq}{E_A}}\]

    \[r_B=\sqrt{\frac{kq}{E_B}}\]

Теперь найдем их сумму и возведем ее в квадрат:

    \[(r_A+ r_B)^2=\frac{kq}{E_A}+2\sqrt{\frac{kq}{E_A}}\sqrt{\frac{kq}{E_B}}+\frac{kq}{E_B}\]

    \[(r_A+ r_B)^2=kq\left(\frac{1}{E_A}+2\sqrt{\frac{1}{E_AE_B}}+\frac{1}{E_B}\right)\]

    \[(r_A+ r_B)^2=kq\left(\frac{ E_A +2\sqrt{E_AE_B}+E_B}{E_AE_B}\right)\]

    \[(r_A+ r_B)^2=kq\left(\frac{ \left(\sqrt{E_A} +\sqrt{E_B}\right)^2}{E_AE_B}\right)\]

Ну и наконец, напряженность в точке C равна:

    \[E_С=\frac{4kq}{ kq\left(\frac{ \left(\sqrt{E_A} +\sqrt{E_B}\right)^2}{E_AE_B}\right)}=\frac{4E_AE_B}{\left(\sqrt{E_A} +\sqrt{E_B}\right)^2}\]

    \[E_С=\frac{4\cdot36\cdot9}{\left(\sqrt{36} +\sqrt{9}\right)^2}=16\]

Ответ: 16 В/м

 

Задача 7. Напряженность электрического поля, создаваемого зарядом q в точках A и B соответственно E_A=0,2 кВ/м, E_B=0,1 кВ/м. Определить напряженность поля в точке C.

Задача 7.

Запишем напряженность поля в обеих точках:

    \[E_A=\frac{kq}{r^2}\]

    \[E_B=\frac{kq}{l^2}\]

Тогда расстояния равны:

    \[r^2=\frac{kq}{E_A}\]

    \[l^2=\frac{kq}{E_B}\]

Расстояние между точками A и B:

    \[m=\sqrt{r^2+l^2}=\sqrt{kq(\frac{1}{E_A}+\frac{1}{E_B})}\]

Запишем соотношения для сходственных сторон в подобных треугольниках AOC и AOB:

    \[\frac{x}{r}=\frac{l}{m}\]

    \[x=\frac{rl}{m}=\frac{kq\sqrt{E_AE_B}}{\sqrt{kq(\frac{1}{E_A}+\frac{1}{E_B})}}\]

    \[x=\sqrt{\frac{kq}{E_A+E_B}}\]

Тогда напряженность поля в точке C:

    \[E_C=\frac{kq}{x^2}=\frac{kq}{\frac{kq}{E_A+E_B}}=E_A+E_B=0,3\]

Ответ: 0,3 кВ/м.

Комментариев - 2

  • Екатерина
    |

    добрый день.
    в 6й задаче заряд ( некая точка, где он располагается, и откуда меряются все расстояния), судя из решения, находится на одной линии АСВ
    Как это определили? в условии задачи это не оговорено.

    Ответить
    • Анна
      |

      Прочитайте задачу внимательнее: “посередине между точками” – следовательно, на середине отрезка, соединяющего точки.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *