Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Равнопеременное движение

Мячик в лифте и камешек, упавший на землю

Задачи, предложенные в статье, взяты из книги “Отличник ЕГЭ. Решение сложных задач.” Первая задача относительно простая, вторая – довольно сложная. Сложность состоит, например, в том, чтобы не запутаться с самого начала и четко различать понятия “путь” и “перемещение”.

Задача 1.  Подъемный кран опускает бетонную плиту с постоянной скоростью \upsilon=1 м/с. Когда плита находилась на расстоянии h=4 м над поверхностью земли, с нее упал небольшой камень. Каков промежуток времени \tau между моментами, в которые камень и плита достигли земли? Толщиной плиты по сравнению с h пренебречь.

Плита движется равномерно и достигнет земли за время t_p=\frac{h}{\upsilon }.

Определим время падения камня. Камень падает с ускорением свободного падения с высоты h, начальная его скорость равна \upsilon.

    \[\upsilon t+\frac{gt^2}{2}=h\]

Получили квадратное уравнение относительно времени:

    \[t^2+\frac{2\upsilon t}{g}-\frac{2h}{g}=0\]

    \[t_k=\frac{-\frac{2\upsilon t}{g}\pm \sqrt{\frac{4\upsilon^2}{g^2}-\frac{8h}{g}}}{2}=-\frac{\upsilon}{g} \pm \frac{\upsilon}{g}\sqrt{1-\frac{2gh}{\upsilon^2 }}\]

Нас, очевидно, устроит только положительный корень:

    \[t_k=-\frac{\upsilon}{g} + \frac{\upsilon}{g}\sqrt{1-\frac{2gh}{\upsilon^2 }}\]

Тогда разность между t_p и t_k:

    \[\tau=t_p-t_k=\frac{h}{\upsilon }+\frac{\upsilon}{g}\left(1-\sqrt{1-\frac{2gh}{\upsilon^2 }}\right)\]

Ответ: \tau=t_p-t_k=\frac{h}{\upsilon }+\frac{\upsilon}{g}\left(1-\sqrt{1-\frac{2gh}{\upsilon^2 }}\right)

 

Задача 2. На пол кабины лифта, движущегося вертикально вверх с постоянной скоростью, падает вертикально вниз упругий шарик. Определить скорость лифта, если после каждого удара шарик, не касаясь потолка, удаляется от пола лифта на максимальное расстояние за \tau=0,6 с, а за время между двумя последовательными ударами о пол проходит путь L=4 м относительно земли.

Обращу ваше внимание на то, что нам дан именно путь, а не перемещение. В этой задаче это очень важно.

Шарик движется с ускорением g, поскольку лифт имеет постоянную скорость. Он поднимается на максимальную высоту

    \[h_{max}=\frac{g\tau^2}{2}\]

При падении скорость шарика будет равна \upsilon=g\tau, направлена она вниз, после удара скорость меняет направление, но остается такой же по модулю, так как шарик по условию упругий.

Если в какой-то момент времени шарик ударяется о пол, то и он, и кабина находятся на высоте h над землей. Скорость шарика относительно земли равна его скорости относительно подвижной системы отсчета (кабины лифта) – g\tau, плюс скорость самой системы отсчета – u.

    \[\upsilon=g\tau+u\]

В наивысшей точке скорость шарика относительно земли станет равной нулю:

    \[\upsilon-gt=0\]

Время подъема шарика на максимальную высоту

    \[t=\frac{\upsilon }{g}=\frac{ g\tau+u }{g}=\tau+\frac{u}{g}\]

За это время шарик поднимется вверх на высоту \frac{gt^2}{2} и его координата станет равна h+\frac{gt^2}{2}.

После этого шарик начнет падать. Он ударится о пол кабины через время 2\tau.

Кабина лифта тоже не стоит на месте. Она перемещается со скоростью u, поэтому ее координата станет равна h+2u \tau.

К задаче 2.

Теперь определяем путь, проделанный шариком. Он прошел путь вверх, равный \frac{gt^2}{2}, и путь вниз, равный \frac{gt^2}{2}-2u\tau, их сумма равна L (выделено красной дугой).

    \[\frac{gt^2}{2}+\frac{gt^2}{2}-2u\tau=L\]

    \[gt^2-2u \tau=L\]

Подставим t=\tau+\frac{u}{g}:

    \[g(\tau+\frac{u}{g})^2-2u \tau-L=0\]

Раскроем скобки:

    \[g(\tau^2+2\tau \frac{u}{g}+\frac{u^2}{g^2})-2u \tau-L=0\]

Упрощаем:

    \[g\tau^2+2\tau u+\frac{u^2}{g}-2u \tau-L=0\]

    \[g\tau^2+\frac{u^2}{g}-L=0\]

    \[g^2\tau^2+u^2-Lg=0\]

    \[u^2=Lg- g^2\tau^2\]

    \[u=\sqrt{ Lg- g^2\tau^2}\]

Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательно, то решение существует при L-g \tau^2>0

Подставим числа:

    \[u=\sqrt{ 4\cdot10- 100 \cdot0,36}=2\]

Ответ: 2 м/с.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *