Мячик в лифте и камешек, упавший на землю

Задачи, предложенные в статье, взяты из книги “Отличник ЕГЭ. Решение сложных задач.” Первая задача относительно простая, вторая – довольно сложная. Сложность состоит, например, в том, чтобы не запутаться с самого начала и четко различать понятия “путь” и “перемещение”.

Задача 1.  Подъемный кран опускает бетонную плиту с постоянной скоростью м/с. Когда плита находилась на расстоянии м над поверхностью земли, с нее упал небольшой камень. Каков промежуток времени между моментами, в которые камень и плита достигли земли? Толщиной плиты по сравнению с пренебречь.

Плита движется равномерно и достигнет земли за время .

Определим время падения камня. Камень падает с ускорением свободного падения с высоты , начальная его скорость равна .

Получили квадратное уравнение относительно времени:

Нас, очевидно, устроит только положительный корень:

Тогда разность между и :

Ответ:

Задача 2. На пол кабины лифта, движущегося вертикально вверх с постоянной скоростью, падает вертикально вниз упругий шарик. Определить скорость лифта, если после каждого удара шарик, не касаясь потолка, удаляется от пола лифта на максимальное расстояние за с, а за время между двумя последовательными ударами о пол проходит путь м относительно земли.

Обращу ваше внимание на то, что нам дан именно путь, а не перемещение. В этой задаче это очень важно.

Шарик движется с ускорением , поскольку лифт имеет постоянную скорость. Он поднимается на максимальную высоту

При падении скорость шарика будет равна , направлена она вниз, после удара скорость меняет направление, но остается такой же по модулю, так как шарик по условию упругий.

Если в какой-то момент времени шарик ударяется о пол, то и он, и кабина находятся на высоте над землей. Скорость шарика относительно земли равна его скорости относительно подвижной системы отсчета (кабины лифта) – , плюс скорость самой системы отсчета – .

В наивысшей точке скорость шарика относительно земли станет равной нулю:

Время подъема шарика на максимальную высоту

За это время шарик поднимется вверх на высоту и его координата станет равна .

После этого шарик начнет падать. Он ударится о пол кабины через время .

Кабина лифта тоже не стоит на месте. Она перемещается со скоростью , поэтому ее координата станет равна .

К задаче 2.

Теперь определяем путь, проделанный шариком. Он прошел путь вверх, равный , и путь вниз, равный , их сумма равна (выделено красной дугой).

Подставим :

Раскроем скобки:

Упрощаем:

Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательно, то решение существует при

Подставим числа:

Ответ: 2 м/с.