Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту

Мячик и две наклонные плоскости

Задача из книги “Отличник ЕГЭ. Решение сложных задач.” Задача требует внимательного перехода из одной системы координат в другую и грамотной записи уравнений с использованием проекций скоростей и ускорений.

Маленький шарик падает с нулевой начальной скоростью с некоторой высоты H на наклонную плоскость. После удара он попадает на вторую плоскость. Точка первого удара находится на расстоянии L=1,73 м от линии соприкосновения плоскостей (см. рисунок). С какой высоты H упал шарик, если после двух упругих ударов он снова поднялся на ту же высоту? Угол наклона плоскостей к горизонту равен \alpha=15^{\circ}.

По условию, удары упругие, то есть потерь энергии нет и угол падения равен углу отскока. Кроме того, чтобы шарик достиг той же высоты, он должен двигаться  после второго отскока  строго вертикально.

Рисунок

При падении с высоты H скорость мячика будет

    \[\upsilon^2-\upsilon_0^2=2gH\]

    \[\upsilon^2=2gH\]

    \[\upsilon=\sqrt{2gH}\]

Если угол падения и угол отскока от первой плоскости равны, то угол, под которым направлена скорость мячика по отношению к плоскости, равен \beta=90^{\circ}-2\alpha.

Тогда проекция этой скорости на плоскость будет равна \upsilon \cos{\beta}, и с этой скоростью шарик пролетит расстояние L. За какое время? Очевидно, что в точке максимального подъема проекция скорости на перпендикуляр к плоскости равна нулю:

    \[\upsilon \sin{\beta}-g\cos{\alpha}t=0\]

Здесь использована проекция ускорения на ось, перпендикулярную плоскости.

    \[t=\frac{\upsilon \sin{\beta}}{ g\cos{\alpha}}\]

Итак, для оси x, совпадающей с плоскостью, можем записать:

    \[\frac{L}{\cos{\alpha}}=\upsilon \cos{\beta} t=\upsilon \cos{\beta}\frac{\upsilon \sin{\beta}}{ g\cos{\alpha}}=\]

    \[=\upsilon^2\frac{\sin{2\beta}}{2g\cos{\alpha}}=\upsilon^2\frac{\sin(180-4\alpha)}{2g\cos{\alpha}}=\upsilon^2\frac{\sin{4\alpha}}{2g\cos{\alpha}}=2gH\frac{\sin{4\alpha}}{2g\cos{\alpha}}=\frac{H\sin{4\alpha}}{\cos{\alpha}}\]

    \[L= H\sin{4\alpha}\]

Подставим числа:

    \[H=\frac{L}{\sin{4\alpha}}=2\]

Ответ: 2 м.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *