Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту

Мячи и камушки в воздухе

В статье предложены задачи из книги “Отличник ЕГЭ. Решение сложных задач”. Задачи подобрались несложные, вполне решаемые. Можно использовать их как базу для подготовки к ЕГЭ или олимпиадам районного уровня.

Задача 1. Небольшой камень, брошенный с ровной горизонтальной поверхности земли под углом к горизонту, упал обратно на землю через время t=2 c на расстоянии s=20 м от места броска. Чему равна минимальная скорость камня за время полета?

Поскольку камень брошен под углом к горизонту, то скорость его может быть разложена на две составляющие: вертикальную и горизонтальную. Причем горизонтальная составляющая все время сохраняет свой модуль, не меняется, поскольку движение по горизонтальной оси – равномерное. Вертикальная же составляющая уменьшается все время под действием ускорения свободного падения до достижения камнем максимальной высоты подъема, а затем начинает увеличиваться (камень падает). На максимальной высоте вертикальная составляющая скорости камня равна 0. Поскольку скорость камня – результат векторного сложения обеих составляющих, то очевидно, что минимальной скорость будет тогда, когда вертикальная составляющая нулевая. А горизонтальная составляющая может быть рассчитана по известной формуле для равномерного движения:

    \[\upsilon_{min}=\frac{s}{t}=\frac{20}{2}=10\]

Ответ: 10 м/с.

 

Задача 2. Из одной точки одновременно брошены два маленьких камушка с одинаковой начальной скоростью \upsilon_0=10 м/с под углами \alpha=30^{\circ} и 2\alpha к горизонту. Камушки смещаются в горизонтальном направлении в одну сторону и в течение полета все время находятся в одной вертикальной плоскости. Найти расстояние между камушками спустя время \t=0,5 с после начала полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Закон движения первого камушка по оси x:

    \[x_1=\upsilon_0 \cos{\alpha} t\]

Закон движения второго  по той же оси:

    \[x_2=\upsilon_0 \cos{2\alpha} t\]

Закон движения первого камушка по оси y:

    \[y_1=\upsilon_0 \sin{\alpha} t-\frac{gt^2}{2}\]

Для второго:

    \[y_2=\upsilon_0 \sin{2\alpha} t-\frac{gt^2}{2}\]

Расстояние найдем по теореме Пифагора, катеты – это разности координат камушков по осям:

К задаче 2

    \[x_1-x_2=\upsilon_0 \cos{\alpha} t-\upsilon_0 \cos{2\alpha} t=\upsilon_0 t(\cos{\alpha}-\cos{2\alpha})\]

    \[y_2-y_1=\upsilon_0 \sin{2\alpha} t-\upsilon_0 \sin{\alpha} t=\upsilon_0 t(\sin{2\alpha}-\sin{\alpha})\]

Применяем Пифагора:

    \[l^2=( x_1-x_2)^2+( y_2-y_1)^2=\upsilon_0^2 t^2(\cos{\alpha}-\cos{2\alpha})^2+\upsilon_0^2 t^2(\sin{2\alpha}-\sin{\alpha})^2\]

    \[l^2=\upsilon_0^2 t^2\left(\cos^2{\alpha}-2\cos{\alpha}\cos{2\alpha}+\cos^2{2\alpha}+\sin^2{2\alpha}-2\sin{2\alpha}\sin{\alpha}+\sin^2{\alpha}\right)=\]

    \[\upsilon_0^2 t^2\left(2-2(\sin{2\alpha}\sin{\alpha}+\cos{\alpha}\cos{2\alpha})\right)\]

    \[l=\upsilon_0 t\sqrt{2-2\cos{\alpha}}=\upsilon_0 t\sqrt{2(1-\cos{\alpha})}=\upsilon_0 t\sqrt{2\cdot 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=2\upsilon_0 t\sin(\frac{\alpha}{2})\]

Подставляем числа:

    \[l=2\cdot 10 \cdot 0,5\sin(15^{\circ})=2,58\]

Ответ: 2,6 м.

 

Задача 3. Мальчик бросает мяч в направлении вертикальной стены так, чтобы мяч, отскочив, упал точно к его ногам. Какова должна быть начальная скорость мяча \upsilon_0, если бросок производится с высоты h=1,5 м под углом \alpha=45^{\circ} к горизонту? Расстояние от мальчика до стены l=6 м. Удар мяча о стену считать абсолютно упругим.

Движение мяча по оси x равномерное, скорость по оси x – проекция \upsilon_0 \cos{\alpha}. Так как мяч отскакивает абсолютно упруго, то угол падения равен углу отскока. Поэтому траектория, по которой мяч будет двигаться после отскока – это просто отражение траектории, по которой он двигался бы, не будь стенки на его пути. Таким образом, можно пользоваться вторым рисунком – многим это сильно облегчает решение.

К задаче 3

По оси x, таким образом, мяч пролетит расстояние 2l:

    \[\upsilon_0 \cos{\alpha} t=2l\]

Закон движения по оси y:

    \[h+\upsilon_0 \sin{\alpha} t-\frac{gt^2}{2}=0\]

Получим время t из первого уравнения:

    \[t=\frac{2l}{\upsilon_0 \cos{\alpha} }\]

И подставим во второе:

    \[h+\frac{2l\upsilon_0 \sin{\alpha} }{\upsilon_0 \cos{\alpha}}-\frac{2gl^2}{\upsilon_0^2 \cos^2{\alpha}}=0\]

    \[h+2l\operatorname{tg}{\alpha}-\frac{2gl^2}{\upsilon_0^2 \cos^2{\alpha}}=0\]

Получим начальную скорость из этого уравнения:

    \[\upsilon_0^2=\frac{2gl^2}{\cos^2{\alpha} (h+2l\operatorname{tg}{\alpha})}\]

Извлекаем корень:

    \[\upsilon_0=\frac{l}{\cos{\alpha}}\sqrt{\frac{2g}{h+2l\operatorname{tg}{\alpha}}}\]

Теперь можно подставить численные данные:

    \[\upsilon_0=\frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\sqrt{\frac{20}{1,5+12}}=10,35\]

Ответ: 10,35 м/с

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *