Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематические связи, Олимпиадная физика

Муфта, кольцо и пластина

Представляю пару задач с известных олимпиад. Первая решается геометрически, вторая посложнее.

Задача 1. По горизонтальной плоскости скользит квадратная пластина ABCD. В некоторый момент скорости вершин A и B оказались перпендикулярными друг другу, а скорость вершины C \upsilon составляла с вектором CD угол, тангенс которого равен 0,5. Какую скорость в этот момент имела точка M, являющаяся серединой отрезка AB?

К задаче 1

Решение.

Пусть перпендикуляры к векторам скоростей точек A и B пересекаются в точке O. Проведем OC. OC перпендикулярна вектору скорости точки C.  Тогда угол \alpha, который скорость вершины C \upsilon составляет с вектором CD, и угол BCO равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Поэтому продолжение отрезка CO пересечет сторону AB именно в точке M – так как тангенс \alpha равен 0,5.

Тогда, если сторону квадрата принять равной a,

    \[CM=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\]

    \[\upsilon=\omega \cdot OC\]

    \[\upsilon_M=\omega \cdot OM=\frac{\upsilon}{OC}\cdot OM\]

Так как O – центр вращения, то и скорость точки C должна быть перпендикулярной отрезку OC, а скорость точки M – отрезку OM, длина которого равна

    \[OM=\frac{a}{2}\]

так как OM – медиана прямоугольного треугольника.

    \[OC=\frac{a}{2}(\sqrt{5}-1)\]

    \[\upsilon_M=\frac{\upsilon}{OC}\cdot OM=\frac{2\upsilon}{a(\sqrt{5}-1)}\cdot \frac{a}{2}=\frac{\upsilon}{\sqrt{5}-1}\]

Ответ: \upsilon_M=\frac{\upsilon}{\sqrt{5}-1}.

Задача 2. Муфту M двигают со скоростью \upsilon=68 см/с по горизонтальной направляющей AB. Кольцо K массой m=0,1 кг может двигаться без трения по проволоке CD в виде дуги окружности радиусом R=1,9 м. Кольцо и муфта связаны легкой нитью длиной l=\frac{5R}{3}. Система находится в одной горизонтальной плоскости. В некоторый момент нить составляет угол  \alpha (\cos \alpha=\frac{15}{17}) с направлением движения муфты и угол \beta  (\cos \beta=\frac{4}{5}) с направлением движения кольца.

– найти скорость кольца в этот момент;

– найти скорость кольца относительно муфты в этот момент;

– найти силу натяжения нити в этот момент.

К задаче 2

Решение.

Нить натянута, поэтому проекции скоростей муфты и кольца на нее одинаковы:

    \[\upsilon \cos \alpha=\upsilon_k \cos \beta\]

Откуда

    \[\upsilon_k=\frac{\upsilon \cos \alpha }{\cos \beta }=68\cdot \frac{15}{17}\cdot \frac{5}{4}=75\]

Скорость кольца относительно муфты – это разность скоростей кольца и муфты (векторная).

    \[\vec{\upsilon_k }-\vec{\upsilon_m }=\vec{\upsilon_{k~\parallel} }+\vec{\upsilon_{k~\perp} }-(\vec{\upsilon_{m~\parallel} }+\vec{\upsilon_{m~\perp} })\]

Это внутри разности мы разложили оба вектора на составляющие: параллельную нити и перпендикулярную. Понятно, что параллельные составляющие скоростей равны, поэтому

    \[\vec{\upsilon_k }-\vec{\upsilon_m }=\vec{\upsilon_{k~\perp} }-\vec{\upsilon_{m~\perp} }\]

Для определения перпендикулярных составляющих понадобятся синусы углов \alpha и \beta:

    \[\sin \alpha=\frac{8}{17}\]

    \[\sin \beta=\frac{3}{5}\]

От векторной разности переходим к сумме:

    \[\upsilon_{km}=\upsilon_{k~\perp}+\upsilon_{m~\perp}=\upsilon_k \sin \beta+\upsilon_m \sin \alpha=75\cdot \frac{3}{5}+ 68\cdot\frac{8}{17}=45+32=77\]

В системе отсчета муфты

    \[T-N\cos \gamma=\frac{m\upsilon_{km}^2}{l}\]

В системе отсчета кольца нормальное ускорение совпадает с силой реакции N:

    \[N+T\cos \gamma=\frac{m\upsilon_1^2}{R}\]

    \[\gamma=90^{\circ}-\beta\]

    \[N=\frac{m\upsilon_1^2}{R}-T\sin \beta\]

И подставим это в уравнение, составленное в СО муфты:

    \[T+(\frac{m\upsilon_1^2}{R}-T\sin \beta)\sin \beta=\frac{m\upsilon_{km}^2}{l}\]

    \[T+\frac{m\upsilon_1^2}{R}\sin \beta-T\sin^2 \beta=\frac{m\upsilon_{km}^2}{l}\]

    \[T(1-\sin^2 \beta)=\frac{m\upsilon_{km}^2}{l}-\frac{m\upsilon_1^2}{R}\sin \beta\]

    \[T=\frac{\frac{m\upsilon_{km}^2}{\frac{5R}{3}}-\frac{m\upsilon_1^2}{R}\sin \beta}{1-\sin^2 \beta}=0,0015\]

Ответ: а) 75 см/с;  б) 77 см/с; в) 0,0015 Н.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *