Механика. Подготовка к олимпиадам, 9 класс

Здесь задачи на кинематику и динамику, поэтому я дала такое объединяющее их название статье. Все задачи довольно старые, некоторые уже были разобраны в вариантах, другие – еще, возможно, будут.

Задача 1. При выполнении трюка «Летающий велосипедист» гонщик движется по трамплину под действием силы тяжести, начиная движение из состояния покоя с высоты м. На краю трамплина скорость гонщика направлена под углом к горизонту. Пролетев по воздуху, гонщик приземляется на горизонтальный стол, находящийся на той же высоте, что и край трамплина. Какова дальность полёта на этом трамплине? Сопротивлением воздуха и трением пренебречь. Ответ выразить в м, округлив до целых.

К задаче 1

Решение.

Дальность полета можно записать как

За время гонщик достигнет наивысшей точки подъема, где его вертикальная составляющая скорости равна нулю:

Тогда

Модуль начальной скорости определяется из закона сохранения энергии по формуле , следовательно . При получаем, что искомая дальность полёта равна м.

Ответ: 30 м.

Задача 2. Груз массой кг падает с некоторой высоты на плиту массой кг, укреплённую на пружине с жёсткостью Н/м. Чему равно наибольшее сжатие пружины , если в момент удара груз обладал скоростью м/с? Удар считать неупругим. Ответ выразить в см, округлив до десятых. Ускорение свободного падения принять равным м/c.

Решение.

Пусть кинетическая энергия плиты и груза после соударения , потенциальная энергия начального сжатия пружины и конечная энергия сжатия

По закону сохранения энергии

Приводя подобные члены и учитывая, что имеем

Из закона сохранения импульса имеем

Подставляя в (2), получаем

Решаем получившееся квадратное уравнение

Ответ: 7,0 см.

Задача 3. В преддверии летнего сезона пожаров двое пожарных в одной из деревень решили заполнить одинаковые ёмкости для воды, расположенные на вышках высотой . Емкости — это открытые сверху кубические баки объёмом , стоящие на вышках. Один из пожарных стал заполнять бак при помощи насоса водой из большого водоёма, находящегося на уровне земли, из брандспойта, попадая струёй воды, направленной снизу вверх, прямо в верхнюю, открытую часть бака. Другой пожарный проложил от насоса до верхней части бака трубу и подавал в неё воду с той же скоростью, что и первый пожарный. Оба заполнили баки за одинаковое время. Во сколько раз минимальные затраты энергии на заполнение баков во втором случае больше, чем в первом? Потерями энергии в насосах и из-за трения в трубах и о воздух пренебречь. Ответ округлить до целых.

Решение.

Поскольку потерь энергии нет, механическая энергия при подъёме струи воды наверх сохраняется. Запишем закон сохранения энергии для всего объёма поднятой воды в первом случае, когда струя воды с плотностью для попадания в бак должна подняться с уровня земли на высоту, как минимум равную – чтобы вода преодолела и высоту стенки бака тоже. Для этого воде нужно сообщить кинетическую энергию

(здесь — скорость воды на выходе из брандспойта). Вся она перейдет в потенциальную, равную

Во втором случае вода обладает одинаковой кинетической энергией и на входе в брандспойт, и на выходе из него (времена заполнения баков и скорости воды на выходе из брандспойта и на входе в трубу одинаковы). Пренебрегая трением, мы можем записать с учётом первого соотношения минимальные затраты энергии. Они равны

Таким образом, во втором случае минимальные затраты энергии в два раза больше.

Ответ: в 2 раза.

Задача 4. Система из грузов массами и и связывающей их лёгкой нерастяжимой нити в начальный момент покоится в вертикальной плоскости, проходящей через центр закреплённой сферы. Груз массой находится в точке на вершине сферы. В ходе возникшего движения груз массой отрывается от поверхности сферы, пройдя по ней дугу 30. Найдите массу , если г. Размеры груза массой ничтожно малы по сравнению с радиусом сферы. Трением пренебречь. Ответ выразить в г, округлив до целых.

К задаче 4

Решение.

Найдём модуль скорости груза массой в точке его отрыва от поверхности сферы. Для этого приравняем друг другу значения механической энергии системы грузов в начальном состоянии и в состоянии, когда груз массой находится в точке отрыва (потенциальную энергию грузов в поле тяжести отсчитываем от уровня центра сферы, в начальном состоянии груз массой находится ниже центра сферы на величину ).

Расставим силы

Тогда

где – радиус трубы, Отсюда

Груз в точке отрыва ещё движется по окружности радиусом , но уже не давит на сферу. Поэтому его центростремительное ускорение вызвано только силой тяжести, так как сила направлена по касательной к сфере. Таким образом,

Подставляя сюда значение , получим, что искомая масса груза равна

Ответ: 30 г.

Задача была представлена в видеоразборе варианта 28, номер задачи – 29.

Задача 5. Небольшая шайба после удара скользит вверх по наклонной плоскости из точки . В точке наклонная плоскость без излома переходит в наружную поверхность горизонтальной трубы радиусом . Если в точке скорость шайбы превосходит м/с, то в точке шайба отрывается от опоры. Длина наклонной плоскости м, угол . Коэффициент трения между наклонной плоскостью и шайбой . Найдите внешний радиус трубы . Ответ выразить в м, округлив до десятых. Ускорение свободного падения принять равным м/c.

К задаче 5

Решение.

Запишем закон сохранения энергии  для движения шайбы от точки до точки . Разность кинетической энергии шайбы вначале движения и работы силы трения равна сумме кинетической и потенциальной энергий шайбы в точке :

Условие отрыва шайбы — равенство нулю силы реакции опоры, действующей на неё. Из второго закона Ньютона, написанного для шайбы в момент отрыва в проекции на направление, перпендикулярное скорости,

Решая систему, находим внешний радиус трубы:

Ответ: 0,3 м.