Механическая работа. Закон сохранения энергии.

[latexpage]

Задачи на работу неразрывно связаны с задачами на закон сохранения энергии. Потому что энергия тратится на работу и наоборот, тело приобретает энергию в результате выполнения кем-то или чем-то работы.

Задача 1. Какая работа совершается при подъеме на крышу веревки массой 6 кг длиной  50 м? Первоначально веревка свешивается вниз с края крыши.

Верхний конец веревки нам поднимать не надо: он и так закреплен на высоте крыши, а нижний предстоит поднять на полную высоту. Поэтому можно представить графиком зависимость силы от длины веревки графиком и определить работу как площадь под ним, а можно считать, что масса веревки сосредоточена в ее центре и тогда центр масс поднимать предстоит на половину длины веревки.

При вычислении и первым, и вторым способами:

$$A=\frac{1}{2}mgL=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot10\cdot50=1500 $$

Ответ: 1500 Дж.

Задача 2. На дороге лежала гигантская змея длиной $L$ и массой $M$. Чтобы освободить дорогу, змею пришлось перетащить на траву. Какую работу при этом совершили? Коэффициент трения о дорогу $\mu_1$, о траву – $\mu_2$.

Если предположить, что трения о траву нет, то сила по перетаскиванию будет меняться так:

К задаче 2

И работу мы вычислили бы как

$$A_1=\frac{1}{2}mg\mu_1L$$

Теперь предположим, что коэффициент трения о дорогу – ноль, тогда работа вычислялась бы

$$A_2=\frac{1}{2}mg\mu_2L$$

То есть суммарная работа по перетаскиванию

$$A=A_1+A_2=mgL\frac{\mu_1+\mu_2}{2}$$

Ответ: $A= mgL\frac{\mu_1+\mu_2}{2}$.

Задача 3. Санки массой 20 кг поднимают по гладкому склону на высоту 2,5 м, прикладывая силу 100 Н, направленную вдоль склона. Санки движутся с ускорением 3 м/с$^2$. Какая работа совершается при подъеме?

В итоге совершения  работы санки приобрели скорость, а значит, кинетическую энергию, и поднялись на склон, следовательно, приобрели потенциальную энергию. Трения нет, значит, на работу против силы трения мы энергию не тратили.

Потенциальная энергия:

$$E_p=mgh=20\cdot10\cdot2,5=500$$

Запишем второй закон Ньютона для санок

$$ma=F-mg\sin{\alpha}$$

Откуда

$$\sin{\alpha}=\frac{F-ma}{mg}=\frac{100-60}{200}=0,2$$

Тогда можно определить длину склона:

$$\sin{\alpha}=\frac{h}{L}$$

$$L=\frac{h}{\sin{\alpha}}=\frac{2,5}{0,2}=12,5$$

На склоне такой длины санки успеют приобрести скорость

$$\upsilon^2=2aS=2\cdot3\12,5=75$$

Кинетическая энергия санок равна

$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{20\cdot75}{2}=750$$

Тогда работа по подъему санок равна

$$A=E_p+E_k=500+750=1250$$

Ответ: 1250 Дж.

Задача 4. Определить работу, которую нужно совершить, чтобы сжать пружину на 10 см, если для сжатия этой пружины на 1 см нужно приложить силу 100 Н.

Определим жесткость пружины:

$$k=\frac{F}{\Delta x}=\frac{100}{0,01}=10000$$

Теперь определяем работу по сжатию это пружины на 10 см:

$$E_p=\frac{k \Delta x^2}{2}=\frac{10^4\cdot 0,1^2}{2}=50$$

Ответ: 50 Дж.

Задача 5. Лифт массой 1000 кг равноускоренно поднимается лебедкой. На некотором отрезке пути длиной 1 м лифт двигался со средней скоростью 5 м/c и его скорость возросла на 0,5 м/с. Какую работу совершила сила, перемещающая лифт на указанном отрезке пути?

Если средняя скорость равна 5 м/с, а путь равен 1 м, то время движения на этом участке, очевидно, равно 1 с. Следовательно, ускорение равно 0,5 м/с$^2$. Составим уравнение по второму закону Ньютона для лифта:

$$ma=F-mg$$

$$F= m(a+g)$$

Тогда работа этой силы равна

$$A=Fh= m(a+g)h=1000\cdot10,5\cdot1=10,5\cdot10^3$$

Ответ: 10,5 кДж.

Задача 6. Какую работу совершит сила $F=30$ Н, подняв по наклонной плоскости груз массой 2 кг на высоту 2,5 м с ускорением 10 м/с$^2$. Сила действует параллельно наклонной плоскости. Трением о плоскость пренебречь.

Потенциальная энергия, приобретенная грузом:

$$E_p=mgh=2\cdot10\cdot2,5=50$$

Запишем второй закон Ньютона для груза

$$ma=F-mg\sin{\alpha}$$

Откуда

$$\sin{\alpha}=\frac{F-ma}{mg}=\frac{30-20}{20}=0,5$$

Тогда можно определить длину склона:

$$\sin{\alpha}=\frac{h}{L}$$

$$L=\frac{h}{\sin{\alpha}}=\frac{2,5}{0,5}=5$$

На склоне такой длины груз успеет приобрести скорость

$$\upsilon^2=2aS=2\cdot10\cdot 5=100$$

Кинетическая энергия груза равна

$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{2\cdot100}{2}=100$$

Тогда работа по подъему санок равна

$$A=E_p+E_k=50+100=150$$

Ответ: 150 Дж.