Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Законы сохранения энергии, Работа и мощность

Механическая работа: поднимаем ведра и бросаемся льдинками

Задачи на работу неразрывно связаны с задачами на закон сохранения энергии. Потому что энергия тратится на работу и наоборот, тело приобретает энергию в результате выполнения кем-то или чем-то работы.

Задача 1. Ведро с водой массой 10 кг поднимают на высоту 10 м, прикладывая постоянную силу 200 Н. Какую работу при этом совершают? Чему равно изменение потенциальной энергии? Чему равна кинетическая энергия груза в конце подъема?

Запишем уравнение по второму закону Ньютона:

    \[ma=F-mg\]

Окуда

    \[a=\frac{F}{m}-g=\frac{200}{10}-10=10\]

Тогда квадрат скорости ведра найдем, зная высоту подъема:

    \[\upsilon^2=2aS=2\cdot10\cdot10=200\]

Кинетическая энергия ведра равна тогда

    \[E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{10\cdot200}{2}=1000\]

А потенциальная

    \[E_p=mgh=10\cdot10\cdot10=1000\]

Следовательно, работа по подъему равна

    \[A=E_p+E_k=2000\]

Ответ: E_k=1000 Дж, E_p=1000 Дж, A=2000 Дж.

Задача 2. Кусок льда сначала бросают под углом 45^{\circ} к горизонту, а второй раз пускают с такой же скоростью скользить по льду. Найти коэффициент трения, если во втором случае кусок льда переместился на расстояние, в 10 раз большее, чем в первом случае.

Сначала определим горизонтальное расстояние при броске под углом к горизонту. Горизонтальная проекция скорости \upsilon_x=\upsilon_0\cos{\alpha}, вертикальная \upsilon_y=\upsilon_0\sin{\alpha}. За время t полета до наивысшей точки траектории эта составляющая погасится силой тяжести:

    \[0=\upsilon_0\sin{\alpha}-gt\]

    \[t=\frac{\upsilon_0\sin{\alpha}}{g}\]

Тогда расстояние, на которое по горизонтали улетит льдинка, равно

    \[S=\upsilon_x \cdot 2t=\upsilon_0\cos{\alpha}\cdot \frac{2\upsilon_0\sin{\alpha}}{g}=\frac{\upsilon_0^2\sin{2\alpha}}{g}=\frac{\upsilon_0^2}{g}\]

По условию, пущенная по льду льдинка прошла в 10 раз большее расстояние: \frac{10\upsilon_0^2}{g}.

Сила трения равна

    \[F_{tr}=\mu m g\]

Работа этой силы равна изначальной кинетической энергии льдинки:

    \[E_k=\frac{m\upsilon_0^2}{2}=F_{tr}S\]

    \[F_{tr}=\frac{m\upsilon_0^2}{2S}\]

    \[\mu m g=\frac{m\upsilon_0^2 g}{2\cdot 10\upsilon_0^2}=\frac{mg}{20}\]

    \[\mu=\frac{1}{20}=0,05\]

Ответ: \mu=0,05.

Задача 3. Тело брошено в горизонтальном направлении с начальной скоростью 15 м/с. Через сколько секунд кинетическая энергия тела увеличится вдвое? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Увеличение кинетической энергии вдвое означает, что скорость возросла в \sqrt{2} раз. Эта скорость – результат сложения  горизонтальной составляющей  скорости и вертикальной. То есть вертикальная составляющая тоже равна 15 м/с. Такая вертикальная составляющая вырастет за время:

    \[gt=\upsilon_y\]

    \[t=\frac{\upsilon_y }{g}=\frac{15}{10}=1,5\]

Ответ: 1,5 с.

Задача 4. Определить кинетическую энергию тела, брошенного горизонтально с высоты 100 м, в момент приземления, если масса тела 0,5 кг и начальная скорость 10 м/с?

Начальная горизонтальная составляющая скорость тела сохраняется. По вертикали тело наберет скорость

    \[\upsilon_y=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot10\cdot100}=\sqrt{2000}=44,7\]

Скорость тела при падении равна

    \[\upsilon^2=\upsilon_y^2+\upsilon_x^2=2000+100=2100\]

Кинетическая энергия тела равна

    \[E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}=525\]

Ответ: E_k=525 Дж.

Задача 5. Горизонтально направленный пучок атомов серебра вылетает из источника. Кинетическая энергия атома равна 9,8\cdot10^{-11} Дж. Определить изменение высоты атомов пучка под действием силы тяжести на расстоянии 5 м от источника. Атомная масса серебра 108.

Найдем массу атома:

    \[m_0=\frac{M}{N_A}=\frac{108}{6\cdot10^{23}}=18\cdot10^{-23}\]

Определим скорость атомов пучка:

    \[\upsilon=\sqrt{\frac{2E_k}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot9,8\cdot10^{-11}}{18\cdot10^{-23}}}=1,04\cdot10^6\]

Определим время, за которое атому пролетят 5 м:

    \[t=\frac{S}{\upsilon }=\frac{5}{1,04\cdot10^6}=4,8\cdot10^{-6}\]

За это время атомы пройдут по вертикали расстояние

    \[H=\frac{gt^2}{2}=\frac{10\cdot4,8^2\cdot10^{-12}}{2}=1,16\cdot10^{-10}\]

Ответ: H=1,16\cdot10^{-10} м.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *