Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (13(С2))

Метод внутреннего проецирования

Всем привет, давайте поработаем? Освоим метод внутреннего проецирования при построении сечений различных объемных фигур. Вообще построить сечение можно следующими методами: аксиоматическим, методом следов, методом внутреннего проецирования.

Аксиоматический метод применяется чаще всего, когда плоскость задана неявно (например, одной точкой или одной прямой и условием: построить плоскость через данную точку (прямую) параллельно или перпендикулярно какому-либо ребру, прямой, плоскости). Метод следов применяется при явном задании плоскости (тремя точками или прямой и точкой, пересекающимися прямыми, параллельными прямыми), и при возможности построить след секущей плоскости (когда проекция прямой и сама прямая пересекаются в пределах чертежа, то есть секущая плоскость не параллельна основанию многогранника). Наконец, метод внутреннего проецирования применяется, когда секущая плоскость параллельна или почти параллельна основанию, и построить след невозможно.

[latexpage]

Задача 1. Построить сечение прямой призмы $ACDEA_1C_1D_1E_1$ плоскостью, проходящей через точки  $Q, S, R$.

Задача 1. Дано.

Шаг 1. Проведем прямые $QR$ и $RS$ – прямые, по которым плоскость рассечет грани $ACC_1A_1$ и $DCC_1D_1$ призмы.

Задача 1. Шаг 1.

Шаг 2. Проведем прямую $QS$ секущей плоскости и ее проекцию $A_1D_1$ в плоскости основания.

Задача 1. Шаг 2.

Шаг 3. Проведем прямую $E_1C_1$ – это проекция будущей прямой секущей плоскости, которую мы пытаемся восстановить, получив недостающую точку этой прямой (и секущей плоскости). Построенная нами проекция $E_1C_1$ пересечет проекцию $A_1D_1$ в точке $T$.

Задача 1. Шаг 3.

Шаг 4. Из точки $T$ построим перпендикуляр к основанию, и доведем его  до пересечения с прямой $QS$, получив, таким образом, точку $U$, принадлежащую сечению.

Задача 1. Шаг 4.

Шаг 5. Через точки $R$ и $U$ секущей плоскости проведем прямую до пересечения ею ребра $EE_1$. Таким образом получим последнюю точку искомого многоугольника сечения.

Задача 1. Шаг 5.

Шаг 6. Строим сечение.

Соединяем точки $Q$ и $V$, $V$ и $S$  -и готово!

Задача 1. Шаг 6.

 

Задача 2. Построить сечение правильной пятиугольной призмы $ABCDEA_1B_1C_1D_1E_1$ плоскостью, проходящей через точки  $N,O,P$ методом внутреннего проецирования.

На первом рисунке показаны уже линии, по которым плоскость рассечет грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$.

Задача 2. Дано.

Шаг 1. Проведем прямую $NP$ секущей плоскости и ее проекцию в плоскости основания $A_1C_1$.

Задача 2. Шаг 1.

Шаг 2. Проводим проекции будущих прямых секущей плоскости $B_1E_1$ и $B_1D_1$ – просто соединяем вершины основания. Находим точки пересечения этих прямых с  $A_1C_1$ – Точки $Q$ и $R$.

Задача 2. Шаг 2.

Шаг 3. Из точек $Q$ и $R$ восставим перпендикуляры к плоскости основания, и определим точки их пересечения с прямой $NP$ – это точки прокола секущей плоскости перпендикулярами. Точки $S$ и $T$ принадлежат плоскости.

Задача 2. Шаг 3. Шаг 4.

Шаг 4. Проводим прямые $OS$ и $OT$. Эти прямые принадлежат секущей плоскости и пересекут ребра призмы в точках $V$ и $U$ – это последние нужные нам точки, чтобы мы могли полностью восстановить сечение.

Окончательный вид сечения

Задача 3. Построим сечение шестиугольной правильной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ плоскостью, проходящей через точки  $N,O, M$ методом внутреннего проецирования.

Задача 3. Дано.

Шаг 1. Проведем прямую $MO$ и ее проекцию в плоскости основания $A_1E_1$.

Задача 3. Шаг 1.

Шаг 2. Проводим аналогично прямую $NO$ секущей плоскости и ее проекцию $C_1E_1$.

Задача 3. Шаг 2.

Шаг 3. То же проделываем с точками $M$ и $N$: проводим прямую $MN$ и ее проекцию $A_1C_1$ в плоскости основания.

Задача 3. Шаг 3.

Шаг 4. Проводим проекцию будущей прямой секущей плоскости – $F_1B_1$. Находим точки пересечения $F_1B_1$ с проекциями $A_1C_1$ и $A_1E_1$ – $P$ и $Q$.

Шаг 5. Из полученных точек $P$ и $Q$ поднимаем перпендикуляры до пересечения с соответствующими прямыми плоскости сечения: из точки $Q$ – до пересечения с $MO$, из точки $P$ – до пересечения с прямой $MN$ – получим точки $V$ и $W$.

Задача 3. Шаг 4.

Задача 3. Шаг 5.

Шаг 6. Аналогично соединяем вершины $F_1$ и $D_1$, получаем проекцию будущей прямой секущей плоскости. Находим точки пересечения $F_1D_1$ с проекциями $A_1E_1$ и $E_1C_1$ – $U$ и $T$.

Шаг 7. Из точки $U$ поднимаем перпендикуляр до пересечения с прямой $MO$ – точка $H$.

Шаг 8. Из точки $T$ поднимаем перпендикуляр до пересечения с прямой $NO$ – точка $Z$.

Задача 3. Шаги 6-8

Шаг 9. Проводим прямую $VW$, находим точку пересечения этой прямой с ребром $FF_1$ -точку $I$.

Шаг 10. Проводим прямую $HZ$, находим точку ее пересечения с ребром $DD_1$ – точку $J$.

 

Задача 3. Шаги 9-10.

Шаг 11. Проводим прямые $MI$, $IO$, $OJ$, $JN$.

Шаг 12. Продлеваем ребро $B_1B$ вверх до пересечения с прямой $VW$ – нужно получить их пересечение, точку $K$.

Шаги 13-14. Проводим прямые $MK$ и $NK$. Находим точки $E_1$ и $F_1$, в которых эти прямые пересекут ребра $AB$ и $BC$ соответственно.

Задача 3. Шаги 11-14.

Шаг 15. Проводим $E_1F_1$, завершая сечение.

Задача 3. Шаг 15.

Окончательный вид сечения:

Задача 3. Завершение построения

Невозможно освоить метод внутреннего проецирования, не научившись работать с пирамидами, ведь их боковые грани наклонены к основанию. Поэтому при построении сечений пирамид метод внутреннего проецирования имеет свои особенности.

Задача 4. Построить сечение правильной шестиугольной пирамиды методом внутреннего проецирования. Плоскость сечения провести через точки $O,Q,P$.

Задача 4. Дано

Шаг 1. Проводим сразу же отрезок $PQ$, по этой прямой плоскость рассечет грань $SDE$. Проведем прямую $OQ$ плоскости, и ее проекцию $AD$ в плоскости основания.

Задача 4. Шаг 1.

Шаг 2. Соединяем вершину $B$ с вершиной $F$, а вершину $C$ с вершиной $E$, получая проекции будущих прямых искомой плоскости сечения. Прямая $BF$ пересекает $AD$ в точке $R$, прямая $EC$ пересекает $AD$ в точке $K$.

Задача 4. Шаг 2.

Шаг 3. Вот здесь как раз проявят себя особенности построения: так как боковые грани имеют наклон к основанию, то из полученных точек неверно восстанавливать перпендикуляры. Необходимо соединить точки $R$ и $K$ с вершиной пирамиды. Тогда пересечение прямой $SR$ с прямой $OQ$ плоскости – точка $V$ – будет принадлежать сечению. Аналогично, пересечение прямой $SK$ и прямой $OQ$ даст нам точку $W$ сечения.

Задача 4. Шаг 3

Шаг 4. Получим аналогичным образом точку $Y$. Проведем BE, пересечение $BE$ и $AD$ даст нам основание высоты пирамиды – точку $Y$.

Задача 4. Шаг 4.

Шаг 5. Определим место пересечения высоты пирамиды с прямой $OQ$ – точку $Z$.

Шаг 6. Проводим прямую $PZ$. Так как обе точки принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости и пересечет противоположное ребро $SB$ в точке $L$.

Задача 4. Шаги 5-6.

Шаг 7. Проводим прямую секущей плоскости  $LV$. Ее пересечение с ребром $SF$  – точка $N$.

Задача 4. Шаг 7

Шаг 8. Проводим прямую секущей плоскости  $PW$. Ее пересечение с ребром $SC$  – точка $M$.

Задача 4. Шаг 8.

Шаг 9. Теперь у нас есть все точки, в которых сечение пересечет ребра пирамиды. Просто соединим их.

Задача 4. Шаг 9.

Окончательный вид сечения:

Задача 4. Сечение

Задача 5. Построить сечение правильной четырехугольной призмы методом внутреннего проецирования. Две из трех точек,  через которые надо провести сечение, лежат в гранях пирамиды. Чтобы четко показать это, я провела через данные точки сечения и вершину пирамиды прямые $SN$ и $SO$.

Задача 5. Дано.

Шаг 1. Проведем прямую через точки секущей плоскости $N$ и $O$. Через точки $P$ и $Q$ проведем проекцию $NO$. Важно, что прямые $NO$ и $PQ$ принадлежат одной плоскости.

Задача 5. Шаг 1.

Шаг 2. Соединяем вершины $A$ и $C$. Это проекция будущей прямой секущей плоскости  – $AC$.  Проекция $PQ$ пересечет проекцию $AC$ в точке $R$. Соединим точку $R$ с вершиной пирамиды. Полученная прямая $SR$ пересечет прямую $NO$ в точке $L$.

Задача 5. Шаг 2.

Шаг 3. Точка $L$ принадлежит плоскости $ASC$, так как принадлежит прямой этой плоскости $SR$. Также вследствие принадлежности прямой $NO$ точка $L$ принадлежит искомому сечению. Поэтому можем соединить точки $M$ и $L$. Полученная прямая пересечет ребро $SC$ в точке $T$.

Задача 5. Шаг 3.

Шаг 4. Дальнейшее построение очевидно, и не требует пояснений:

Задача 5. Шаг 4.

Шаг 5.

Задача 5. Шаг 5

Окончательный вид полученного сечения:

Окончание построения

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *