Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Статика

Метод виртуальных перемещений-1

Метод основан на вычислении работы по перемещению малой массы (выделенного отрезка).

Задача 1. На гладком блоке радиуса R висит однородный гибкий канат массы m и длины l . Найдите максимальную силу натяжения каната.

К задаче 1

Решение. Чем выше расположена точка каната, тем сильнее в ней натяжение – канат весомый. Применим метод виртуальных перемещений. Для этого возьмем половину каната. И переместим эту половину на малую величину \Delta x.

Рассматриваем половину каната

Такое перемещение эквивалентно тому, как если бы мы взяли кусочек \Delta x, отрезали его от каната снизу и переставили бы его наверх, приставив к верхней его части. Работа по такому перемещению кусочка \Delta x может быть записана:

    \[T_{max}\Delta x=\Delta m g \left(\frac{L}{2}-\frac{\pi R}{2}+R\right)\]

Здесь \Delta m – масса этого малого перемещаемого кусочка, \frac{L}{2}-\frac{\pi R}{2}+R – высота, на которую он переместился.

    \[T_{max}=\frac{\Delta m g }{\Delta x }\left(\frac{L}{2}-R\left(\frac{\pi }{2}+1\right)\right)\]

Отношение \frac{\Delta m }{\Delta x }=\frac{m}{l}

Поэтому

    \[T_{max}=\frac{mg }{l}\left(\frac{L}{2}-R\left(\frac{\pi }{2}+1\right)\right)\]

Мы не забыли здесь о силе реакции опоры и ее работе: каждый малый кусочек перемещается по дуге окружности, а сила реакции направлена по радиусу, то есть перпендикулярна перемещению кусочка, и ее работа при этом равна нулю.

Ответ: T_{max}=\frac{mg }{l}\left(\frac{L}{2}-R\left(\frac{\pi }{2}+1\right)\right)

 

Задача 2. На рисунке схематически изображен дифференциальный ворот. Определите, какую силу нужно приложить к рукоятке, чтобы груз массы m оставался в равновесии. Вал имеет радиусы r_1 и r_2 , а рукоятка – R.

К задаче 2

Решение. Рассмотрим перемещение на малый угол (поворачиваем на \Delta \varphi рукоятку, ворот поворачивается на такой же угол).

Силы в задаче 2

При этом перемещение конца рукояти составит \Delta \varphi \cdot R, левая нить укоротится на \Delta \varphi r_2, правая – на \Delta \varphi r_1.

Тогда работа по перемещению рукояти равна работе по подъему груза:

    \[F\cdot \Delta \varphi \cdot R=mg\frac{\Delta \varphi (r_1+r_2)}{2}\]

    \[F=mg\cdot \frac{r_1+r_2}{2R}\]

Ответ: F=mg\cdot \frac{r_1+r_2}{2R}

Задача 3. Определите,    какую     силу     надо приложить к рукоятке, чтобы удержать систему в равновесии. Масса груза равна m. Радиус вала, на который намотан трос и радиус рукоятки равны R и r соответственно.

К задаче 3

Решение. У шестеренки на рисунке – 12 зубьев. Значит, поворачивая ручку на полный оборот, мы повернем шестеренку на \frac{1}{12} полного оборота – на один зуб. Тогда

    \[F\cdot 2\pi r=mg\cdot \frac{2 \pi R}{12}\]

    \[F=mg\frac{R}{12r}\]

Ответ: F=mg\frac{R}{12r}

 

Задача 4. Шарнирная конструкция, состоящая из четырёх лёгких одинаковых стержней, удерживается нитью, привязанной к потолку, и опирается на гладкую горизонтальную поверхность. Если к шарнирам, соединяющим центры стержней, подвесить грузы массой m и M, сила натяжения нити окажется равной T_1=30 Н . При уменьшении массы верхнего груза вдвое сила натяжения верхней нити   уменьшится до T_2=20 Н . Определите массы грузов m , M и силы реакции N , действующие на стержни со стороны горизонтальной поверхности.

К задаче 4

Решение. Применим метод виртуальных перемещений. Заметим, что груз вверху расположен на высоте, втрое большей, чем груз внизу. Поэтому, если переместить нижний груз на x, верхний переместится на  3x. При равновесии системы сумма работ внешних сил при любых малых перемещениях системы равна нулю. Тогда

    \[3Tx-3mgx-Mgx=0\]

Преобразуем это уравнение

    \[T_1=mg+\frac{Mg}{3}\]

А если изменить массу верхнего груза, получим

    \[T_2=\frac{mg}{2}+\frac{Mg}{3}\]

Получаем, решая систему:

    \[\frac{mg}{2}=T_1-T_2=10\]

    \[mg=20\]

    \[m=2\]

Тогда

    \[\frac{Mg}{3}=T_1-mg=30-20=10\]

    \[Mg=30\]

    \[M=3\]

Равновесие системы возможно, если

    \[Mg+mg=T+2N\]

Откуда

    \[N=\frac{ Mg+mg-T }{2}=\frac{30+20-30}{2}=10\]

Ответ: m=2 кг, M=3 кг, N=10 Н.

Задача 5. В горах проведена линия электропередачи. Масса провода между двумя опорами m, его длина L. Расстояние по вертикали между нижней точкой B провода и местом крепления его к верхней опоре в точке A равно H. Длина участка AB провода равна l . Найдите максимальную силу натяжения провода.

К задаче 5

Решение. Это известная задача про цепочку, концы которой закреплены на разной высоте. Опоры расположены не на одинаковой высоте и поэтому длина провода между точкой крепления к верхней опоре и нижней точкой не равна половине длины провода, но известна и равна l.

Силы на часть провода

Возьмем малый кусочек провода массой \Delta m

    \[\Delta m=\frac{m}{L}\Delta x\]

Переместим этот кусочек из точки B в точку A. Работа, которую мы совершим, равна приобретенной кусочком потенциальной энергии:

    \[E=\Delta m g (H_A-H_B)=mgH\frac{\Delta x}{L}\]

Эта же работа равна

    \[T_A \Delta x- T_B \Delta x=(T_A-T_B)\Delta x\]

    \[mgH\frac{\Delta x}{L}=(T_A-T_B)\Delta x\]

    \[T_A-T_B=\frac{mgH}{L}\]

Силы T_A и T_B уравновешиваются силой m_1g, следовательно, образуется прямоугольный треугольник сил и для него можно записать

    \[T_A^2-T_B^2=\left(\frac{mgl}{L}\right)^2\]

Перепишем:

    \[(T_A-T_B)(T_A+T_B)= \left(\frac{mgl}{L}\right)^2\]

Подставим разность сил:

    \[\frac{mgH}{L}\cdot (T_A+T_B)= \left(\frac{mgl}{L}\right)^2\]

Откуда

    \[T_A+T_B=\frac{mgl^2}{HL}\]

Осталось сложить данное уравнение с этим:

    \[T_A-T_B=\frac{mgH}{L}\]

Получаем

    \[2T_A=\frac{mg}{L}\left(H+\frac{l^2}{H}\right)\]

    \[T_A=\frac{mg}{2HL}\left(H^2+l^2\right)\]

Ответ: T_A=\frac{mg}{2HL}\left(H^2+l^2\right)

Комментариев - 3

  • |

    Задача 5 dm=m/L, а не m/l
    Работа по перемещению из точки В в точку А равна всему пути т.е. l ,а не [T_A \Delta x- T_B \Delta x=(T_A-T_B)\Delta x\] т.к Вы берёте изменение потенциальной энергии от точки В в А Необходим переход от дельта Х к всему пути l.

    Ответить
    • Анна
      |

      Оставлю как есть. Считаю решение верным.

      Ответить
    • Евгения
      |

      Вы не поняли суть метода виртуальных перемещений.
      Мы перемещаем веревку АВ на маленький x и смотрим, как изменилась энергия всей веревки. Так как почти вся веревка просто переместилась на то место, где была, то не надо считать изменение потенциальной энергии всей веревки. Достаточно заметить, что это перемещение равносильно отрезанию кусочка длиной x c cамого низа и приклеивание его на самый верх.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *