Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Олимпиадная физика

Метод телескопирования – 2

Продолжение статьи “Метод телескопирования”. По сути этот метод – метод малых сумм, который вполне хорошо заменяет интеграл у сильных учеников средней школы. Метод наиболее часто применим при решении олимпиадных задач.

Задача 7. Изогнутая трубка состоит из одного горизонтального колена и двух вертикальных. Трубка укреплена на платформе, вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси. Вертикальные колена находятся на расстояниях  и от оси вращения. Установившаяся разность уровней (по высоте) налитой в трубку жидкости в вертикальных коленах равна . Найти угловую скорость вращения трубки. Диаметр трубки значительно меньше ее длины.

Решим эту задачу сначала одним способом, а затем уже методом телескопирования.

К задаче 7

Уровень жидкости будет выше в том колене, которое ближе к оси вращения.

Тогда

   

Где – масса жидкости в горизонтальной более длинной части трубки, –  масса жидкости в горизонтальной короткой  части трубки, – среднее нормальное ускорение массы жидкости в горизонтальной более длинной части трубки, – среднее нормальное ускорение массы жидкости в горизонтальной более короткой части трубки.

   

   

   

Тогда

   

   

Сократим

   

Откуда

   

Решим теперь задачу методом телескопирования:

Выделим малый кусочек . Тогда можно записать, что слева на него действует сила , а справа – :

   

   

   

   

   

   

   

   

Сокращаем:

   

Ответ: .

Задача 8. Один моль идеального газа расширяется в процессе , где – известная постоянная. Какую работу совершает газ при расширении от объема до объема ?

К задаче 8

Площадь под графиком – трапеция – это и есть работа:

   

Также можно взять среднее давление (это второй способ, которым можно воспользоваться), считая процесс изобарным:

   

Работа

   

Третий способ – телескопирование.

   

Задача 9. Газообразный гелий нагревается (постоянно повышается температура) от температуры в процессе, где молярная теплоемкость газа зависит от температуры по закону .

А) Найти температуру , при нагревании до которой газ совершает работу, равную нулю.

Б) Найти температуру , при достижении которой газ занимал минимальный объем в процессе нагревания.

К задаче 9

Здесь нельзя считать процесс изохорным. Возможно, сначала газ расширялся, а затем сжимался. Просто работа при расширении оказалась равной по модулю работе при сжатии, и в итоге суммарная работа – ноль. Применим первое начало термодинамики ко всему процессу:

   

Но это тепло можно посчитать иначе. Так как молярная теплоемкость меняется линейно, то можно взять среднее:

   

   

   

   

С помощью телескопирования:

   

   

Тогда

   

   

   

Второй вопрос задачи. Предположим, мы оказались в состоянии, где объем минимален. Пусть этому состоянию соответствует температура .

Тогда, если температура изменится на – очень мало, то объем практически не изменится и мы вправе записать, что

   

И тогда работа на этом участке тоже равна нулю.

Следовательно,

   

   

Откуда

   

   

И, наконец,

   

Ответ: , .

Задача 10. Бусинка массой и положительным зарядом может скользить вдоль закрепленной длинной спицы. Бусинка на спице помещена в однородное магнитное поле с индукцией . Бусинке сообщают скорость . Коэффициент трения между бусинкой и спицей равен . Действие силы тяжести не учитывать.

А) Найти зависимость скорости бусинки от ее перемещения.

Б) На какое максимальное расстояние сместится бусинка вдоль спицы?

К задаче 10

Обозначим все силы, которые действуют на бусинку. Так как она тормозит, то ускорение направлено против скорости. На бусинку будет действовать сила Лоренца, направленная на нас по правилу левой руки. Тогда возникнет сила реакции опоры, направленная от нас. Эти две силы обозначены кружками с точкой  и крестиком соответственно. Сила реакции опоры –причина возникновения силы трения. Тогда

   

Сила реакции опоры зависит от скорости: следовательно, сила трения тоже, а главное, ускорение! То есть ускорение переменно.

   

   

   

А ускорение – скорость изменения скорости.

   

Тогда

   

Домножим на время :

   

Но

   

Возьмем промежуточное положение бусинки на расстоянии . Разобьем это расстояние на много маленьких кусочков и суммируем:

   

   

Тогда

   

Это ответ на первый вопрос задачи.

Подставим в место скорости ноль и получим ответ на второй вопрос:

   

   

Задача 11. Альфа-частица влетает в область неоднородного магнитного поля с начальной скоростью , направленной вдоль оси . Индукция магнитного поля зависит только от координаты и определяется соотношением , , где – известная постоянная. Определите максимальное смещение частицы вдоль оси , если ее масса и заряд составляют и соответственно. Силу тяжести не учитывать.(Всеросс, 11 класс).

К задаче 11

Так как индукция зависит от , то поле неоднородно и траектория движения частицы – не окружность!

Сила Лоренца будет разворачивать вектор скорости, не меняя его по модулю. В результате в некоторый момент времени вектор скорости будет горизонтален. Сила Лоренца не совершает работу, следовательно, кинетическая энергия частицы будет сохраняться.

   

   

Пусть скорость в промежуточном положении . Вектор скорости составляет угол с вертикалью. Этот угол меняется от 0 до . Обозначим силу Лоренца на рисунке.

По второму закону Ньютона

   

Проецируем на ось :

   

   

Но :

   

   

   

Домножаем на :

   

Здесь .

Подставляем и телескопируем:

   

   

   

Но , поэтому

   

   

   

Ответ: .

Задача 12. Вакуумный плоский диод, в котором расстояние между катодом и анодом равно , находится в однородном магнитном поле, индукция которого равна и направлена параллельно плоскости электродов. При каком минимальном напряжении на диоде электроны с поверхности катода смогут достичь анода? Электроны у поверхности катода можно считать неподвижными, силой тяжести пренебречь.

Пусть ось вводимой системы координат направлена вдоль поверхности катода, а ось – перпендикулярно. Скорость электронов у катода нулевая по оси , и по достижении анода – тоже нулевая, потому что в критическом случае вектор скорости должен быть развернут силой Лоренца параллельно поверхности анода.

Тогда по второму закону Ньютона

   

   

Домножая на , получим

   

Но , тогда

   

Суммируя справа и слева, имеем:

   

   

   

Тогда для этой конечной скорости по закону сохранения энергии

   

Или

   

Следовательно,

   

И тогда

   

Ответ: .

Задача 13. В электрической цепи, схема которой приведена на рисунке, все элементы можно считать идеальными. Параметры цепи приведены на рисунке. До замыкания ключа ток в цепи отсутствовал. Ключ К замыкают на некоторое время, а затем размыкают. Оказалось, что после размыкания ключа К в цепи выделилось в два раза больше теплоты, чем при замкнутом ключе К. Найти отношение заряда, протекшего через источник при замкнутом ключе К, к заряду, протекшему через резистор после размыкания ключа К. (Физтех, 2010).

   

Где – при разомкнутом ключе, – при замкнутом.

К задаче 13

При замкнутом ключе через резистор протекает ток . Но на катушке ЭДС самоиндукции равно ЭДС. То есть ток через катушку есть, обозначим его . Тогда через источник течет ток .

ЭДС самоиндукции запишем так:

   

Домножив на получим:

   

Пусть – момент времени, когда ключ размыкают.  Возьмем момент времени . Просуммируем последнее выражение от 0 до .

   

   

   

Теперь хорошо видно, что ток через катушку меняется линейно. Далее можно опять применять несколько способов решения. Первый: нарисовать график линейной зависимости тока от времени и найти заряд как площадь под графиком:

   

Второй способ – взять среднее значение тока и умножить на – получим то же самое.

Ну и третий способ – телескопирование.

   

   

   

   

   

Заряд через резистор равен (ток постоянен)

   

Следовательно,

   

Определим теперь количество теплоты, выделившееся через резистор при замкнутом ключе. Так как ток постоянен, то применяем закон Джоуля-Ленца:

   

При разомкнутом ключе ток через резистор будет убывать. Обозначим его . Тогда

   

   

Суммируем от момента размыкания ключа до установления нулевого тока:

   

   

   

   

Так как , то

   

   

Наконец,

   

Подставим :

   

Ответ: 3.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *