Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика

Метод телескопирования-1

В этой статье рассмотрен метод телескопирования (суммирования). По сути это – интегрирование линейных функций, но в средней школе об интегрировании еще не знают, поэтому слово “интеграл” опустим. Метод применим при решении олимпиадных задач по физике, в которых некоторая величина линейно изменяется: например, имеется раствор с переменной плотностью, или сила сопротивления зависит от скорости, или меняется ускорение.

Давайте разберемся, что же это за метод такой – телескопирование. На самом деле это – просто суммирование. Давайте возьмем отрезок и разделим его на n частей:

Рисунок 1

Тогда расстояния между двумя соседними точками можно обозначить \Delta x:

Рисунок 2

Если сложить теперь данные промежутки, то получим:

    \[\Delta x_1+\Delta x_2+\Delta x_3+ \ldots + \Delta x_{n-1}+\Delta x_n=x_n-x_0\]

Иначе записать можно так:

    \[\sum \Delta x=x_n-x_0\]

Также в физических задачах часто встречаются суммы вида

    \[x_0\cdot\Delta x_1+x_1\cdot\Delta x_2+\ldots+x_{n-1}\cdot\Delta x_n\]

Возьмем другую ось:

Рисунок 3

Тогда

    \[\Delta(x^2)=(x+\Delta x)^2-x^2=\Delta x(2x+\Delta x)\]

Если раскрыть скобки и пренебречь очень малой величиной (\Delta x)^2, то получим:

    \[\Delta(x^2)=(x+\Delta x)^2-x^2=\Delta x(2x+\Delta x)=2x\cdot\Delta x\]

Отсюда

    \[x\cdot\Delta x=\frac{\Delta(x^2)}{2}\]

А если суммировать такие произведения, то получим:

    \[\sum (x\cdot\Delta x )= \sum\Delta \left(\frac{ x^2}{2}\right)=\frac{x_n^2}{2}-\frac{x_0^2}{2}\]

 

Задача 1. Доказать теорему об изменении кинетической энергии. Вывести потенциальную энергию для силы упругости.

Теорема о кинетической энергии гласит, что

    \[A=\frac{m\upsilon_2^2}{2}-\frac{m\upsilon_1^2}{2}\]

Докажем это с помощью нового метода. Примем \cos{\alpha}=1  – угол между перемещением и силой равен нулю.

    \[A=\sum \Delta A=\sum F\Delta S=\sum ma\Delta S=\sum m\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}\Delta S=\sum m\Delta\upsilon\cdot \upsilon=m\sum\Delta(\frac{\upsilon^2}{2})=m\left(\frac{\upsilon_2^2}{2}-\frac{\upsilon_1^2}{2}\right)=\frac{m\upsilon_2^2}{2}-\frac{m\upsilon_1^2}{2}\]

Для силы упругости имеем:

    \[A=\sum \Delta A=\sum kx\Delta x\cos(180^{\circ})=-k\sum x\Delta x=-k\sum\Delta(\frac{x^2}{2})=-k\left(\frac{x_2^2}{2}-\frac{x_1^2}{2}\right)=\frac{kx_1^2}{2}-\frac{kx_2^2}{2}\]

Задача 2. Лодку массой m=100 кг тянули за веревку по озеру с постоянной скоростью \upsilon_0=1 м/с. В некоторый момент времени веревка оторвалась. Какой путь L пройдет лодка после этого? Считать, что сила сопротивления зависит только от скорости \upsilon и ускорения a лодки и определяется выражением F_c=-\alpha \upsilon-\beta a, \alpha=10 Н\cdot c/ м, \beta=50 Н\cdotc^2/ м.

Для начала сделаем рисунок. Лучше всего, если в задачах этого типа нарисовано начальное, конечное и обязательно промежуточное положение объекта. Отметим важные моменты: расстояние, пройденное лодкой, начальную скорость, ускорение, силу сопротивления.

Рисунок 4

Теперь задумаемся о том, является ли ускорение постоянным. В этой задаче – нет. Следовательно, такую задачу можно и нужно решать с помощью метода телескопирования.

Сила сопротивления равна

    \[F_c=ma\]

    \[-\alpha \upsilon-\beta a= ma\]

    \[-\alpha \upsilon=(\beta + m)a\]

Спроецируем на ось x:

    \[-\alpha \upsilon_x=(\beta + m)a_x\]

Как раз из формулы выше и видно, что ускорение переменно: скорость меняется, а все остальное – константы.

Ускорение по определению равно

    \[a_x=\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}\]

Тогда

    \[-\alpha \upsilon_x=(\beta + m)\cdot \frac{\Delta \upsilon_x}{\Delta t}\]

Домножаем на \Delta t:

    \[-\alpha \upsilon_x \Delta t =(\beta + m)\cdot \Delta \upsilon_x\]

    \[-\alpha \Delta S_x =(\beta + m)\cdot \Delta \upsilon_x\]

Разобьем наше перемещение на маленькие кусочки, для каждого запишем формулу выше и все их сложим. Получим:

    \[-\alpha \sum\Delta S_x =(\beta + m)\cdot \sum\Delta \upsilon_x\]

    \[-\alpha  L =(\beta + m)\cdot (0-\upsilon_0)\]

Тогда

    \[L=\frac{(\beta + m)\cdot \upsilon_0}{ \alpha }=15\]

Ответ: L=15 м.

Задача 3. Проехав «лежачего полицейского» со скоростью \upsilon_0=5 км/ч, автомобиль, двигаясь далее прямолинейно по горизонтальной дороге, увеличивает скорость таким образом, что сила тяги, развиваемая двигателем, оказыватся пропорциональна скорости автомобиля. На расстоянии S_1=30 м от «полицейского» автомобиль достиг скорости \upsilon_1=20 км/ч. На каком расстоянии от полицейского у автомобиля будет скорость \upsilon_2=30 км/ч? Сопротивлением движению пренебречь. (Олимпиада Физтех, 2016 г.)

«Сила тяги пропорциональна скорости» – эту фразу надо понимать  так, что ускорение пропорционально скорости.

    \[a=k\upsilon\]

Тогда

    \[a=\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}\]

    \[\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}= k\upsilon\]

Тогда

    \[\Delta \upsilon= k\upsilon \Delta t\]

Или

    \[\Delta \upsilon= k\Delta S\]

Применяем метод телескопирования:

    \[\sum\Delta \upsilon= k\sum\Delta S\]

Если просуммировать на промежутке S_1, то

    \[\upsilon_1-\upsilon_0=kS_1\]

А если на промежутке S_2, то

    \[\upsilon_2-\upsilon_0=kS_2\]

Теперь разделим первое на второе:

    \[\frac{\upsilon_1-\upsilon_0}{\upsilon_2-\upsilon_0}=\frac{S_1}{S_2}\]

Откуда

    \[S_2=S_1\frac{\upsilon_2-\upsilon_0}{\upsilon_1-\upsilon_0}=30\frac{30-5}{20-5}=50\]

Ответ: 50 м.

Другой способ. Вспомним, что k – постоянная. Тогда малые отрезки можно заменить на большие, и

    \[k=\frac{\Delta \upsilon}{\Delta S}=\frac{\upsilon_1-\upsilon_0}{S_1}=\frac{\upsilon_2-\upsilon_0}{S_2}\]

Далее понятно.

Задача 4. С поверхности земли вертикально вверх бросают шарик массой m. Если учитывать сопротивление воздуха, то шарик достигает наивысшей точки траектории на \tau с раньше, чем если бы мы им пренебрегли. На какую максимальную высоту поднимется шарик, если учесть сопротивление воздуха? Считать, что сила сопротивления F_c движению шарика пропорциональна его скорости \upsilon, то есть F_c=-k\upsilon, k – постоянная (автор задачи – Пенкин М.А.)

Рисунок 5

    \[\vec{F_c}+m\vec{g}=m\vec{a}\]

    \[-k\vec{\upsilon}+m\vec{g}=m\vec{a}\]

Введем ось y, направленную вверх перпендикулярно поверхности. Тогда в проекциях на нее

    \[-k\upsilon_y-mg=ma_y\]

Поделим на массу:

    \[-\frac{k\upsilon_y}{m}-g=a_y\]

    \[a_y=-a\]

Пусть t_1 – время подъема, если присутствует сопротивление воздуха.

Ускорение по определению равно

    \[a_y=\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t }\]

Тогда, подставляя и умножая на \Delta t:

    \[-\frac{k}{m}\upsilon_y \Delta t -g\Delta t =\Delta \upsilon _y\]

Но

    \[\upsilon_y \Delta t=\Delta y\]

Тогда

    \[-\frac{k}{m}\Delta y -g\Delta t =\Delta \upsilon _y\]

Разбиваем время подъема на малые промежутки, записываем для каждого эту формулу. Имеем:

    \[-\frac{k}{m}\sum\Delta y -g\sum\Delta t =\sum\Delta \upsilon _y\]

Так как

    \[\sum\Delta y=h-0\]

    \[\sum\Delta t=t_1-0\]

    \[\sum\Delta \upsilon _y=0-\upsilon_0\]

То

    \[-\frac{k}{m}h -gt_1 =-\upsilon_0\]

Откуда

    \[h=\frac{m}{k}(\upsilon_0-gt_1)\]

Если силы сопротивления нет,  то тело в полете будет находиться дольше, и поднимется выше.

В этом случае

    \[m\vec{g}=m\vec{a}\]

    \[\vec{g}=\vec{a}\]

Пусть t_2 – время подъема в этом случае.

    \[0=\upsilon_0-gt_2\]

И

    \[\upsilon_0=gt_2\]

Следовательно,

    \[h=\frac{mg}{k}(t_2-t_1)=\frac{mg\tau}{k}\]

Ответ: h=\frac{mg\tau}{k}.

 

Лирическое отступление.

Какое давление оказывает столбик жидкости высотой h?

Гидростатическое давление определяется соотношением:

    \[p_{gidr}=\frac{m_0 g}{S}\]

Где m_0 – масса столбика жидкости. Но если плотность жидкости меняется (возрастает с глубиной), то масса – переменная величина. Если плотность меняется линейно, то при вычислениях можно взять ее среднее значение:

    \[m=\frac{\rho_0+\rho_h}{2}Sh\]

\rho_0 – плотность у поверхности, rho_h – на глубине h.

Тогда давление столбика жидкости можно записать так:

    \[p_{gidr} =\frac{\rho_0+\rho_h}{2}gh=\frac{2\rho_0+\alpha h }{2}gh=\left(\rho_0+\frac{\alpha h}{2}\right)gh=\rho_0 g h+\frac{\alpha g h^2}{2}\]

Чтобы определить то же самое, но методом телескопирования, нужно разбить столбик на столбики  малой высоты. Пусть \Delta m – масса некоторого столбика. Считаем, что плотность внутри такого столбика не меняется. Тогда масса большого столба – сумма масс малых столбиков.

    \[m=\sum \Delta m=\sum \rho(h)\cdot S\cdot \Delta h=\sum(\rho_0+\alpha h) \cdot S\cdot \Delta h=\rho_0 \cdot S \sum \Delta h+\alpha \sum h\Delta h\]

Здесь

    \[\sum \Delta h=h-0\]

    \[\sum h\Delta h=\frac{h^2}{2}-\frac{0^2}{2}\]

Тогда

    \[p_{gidr}=\rho_0 S h+\alpha g\frac{h^2}{2}\]

 

Задача 5. Цилиндрическое тело плотностью \rho=1,6 г/см^3 и объемом V=10^3 см^3 подвешено на нити  и опущено в жидкость, плотность которой изменяется с глубиной h по закону \rho(h)=\rho_0+\alpha h, где \rho_0=1 г/ см^3, \alpha=10^{-3} г/ см^4. Найдите силу натяжения нити, если верхняя грань тела находится на глубине h_1=1 м, а нижняя на глубине h_2=2 м. (С.М. Козел)

Рисунок 6

Записываем уравнение  по второму закону Ньютона:

    \[T+F_a=mg\]

    \[T=mg-F_a\]

Масса тела:

    \[m=\rho_t\cdot V\]

Первый способ:

    \[F_a=m_Vg\]

Где m_V – масса вытолкнутой жидкости, которая равна:

    \[m_V=\frac{\rho(h_1)+\rho(h_2)}{2}\cdot V\]

    \[F_a=\left(\rho_0+\alpha\frac{h_1+h_2}{2}\right)gV=11,5\]

Тогда сила натяжения равна

    \[T= mg-F_a=16-11,5=4,5\]

Ответ: T=4,5 Н

Второй способ – через гидростатическое давление. Тут надо быть внимательным и правильно посчитать:

    \[F_a=(p_2-p_1)S\]

    \[F_a=\left(\frac{\rho_0+\rho(h_2)}{2}\cdot gh_2-\frac{\rho_0+\rho(h_1)}{2}\cdot gh_1\right)S=\left(\frac{2200}{2}\cdot 20-\frac{2100}{2}\cdot 10\right)10^{-2}=11,5\]

Ну и далее подставить и посчитать силу натяжения нити.

Задача  6. Однородный канат длиной L и массой m_0 находится на гладкой горизонтальной поверхности стола и вращается с угловой скоростью \omega вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Чему равна сила натяжения каната на расстоянии \frac{L}{3} от оси вращения?

Рисунок 7

Сначала решим задачу через центр масс.

Нормальное ускорение

    \[a_n=\omega^2 r\]

    \[T=m a_n\]

Масса m – это масса той части каната, которая расположена «за» расстоянием \frac{L}{3},

    \[m=\frac{2}{3}m_0\]

Центр масс расположен по центру этого куска, то есть на расстоянии \frac{2}{3}L от оси вращения.

    \[r=\frac{2}{3}L\]

Тогда

    \[T=\frac{2}{3}m_0\cdot\omega^2\frac{2}{3}L=\frac{4}{9}m_0\omega^2L\]

Но давайте решим задачу иначе, с применением  метода телескопирования.

Разделим наш канат на малые кусочки длиной \Delta r, масса кусочка \Delta m.

Тогда слева на этот кусочек действует сила T(r), а справа – T(r+\Delta r).

    \[\Delta m a= T(r)- T(r+\Delta r)\]

    \[\Delta T= T(r+\Delta r)-T(r)\]

    \[\Delta m a=-\Delta T\]

А масса кусочка может быть определена так:

    \[\frac{\Delta m }{\Delta r}=\frac{m_0}{L}\]

    \[\Delta m=\frac{m_0}{L}\Delta r\]

    \[-\Delta T=\frac{m_0}{L}\Delta r\cdot \omega^2r\]

    \[-\Delta T=\frac{m_0}{L} \cdot \omega^2\Delta r r\]

    \[-\Delta T=\frac{m_0}{L} \cdot \omega^2\Delta \left(\frac{r^2}{2}\right)\]

Запишем это выражение для всех кусочков и суммируем:

    \[-\sum\Delta T=\frac{m_0}{L} \cdot \omega^2\sum\Delta \left(\frac{r^2}{2}\right)\]

    \[-(0-T)= \frac{m_0}{L} \cdot \omega^2\left(\frac{L^2}{2}-\frac{L^2}{18}\right)\]

    \[T=\frac{m_0}{L} \cdot \omega^2\cdot\frac{4L^2}{9}\]

    \[T=\frac{4}{9}m_0\omega^2L\]

Ответ: T=\frac{4}{9}m_0\omega^2L.

Продолжение следует.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *