Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Олимпиадная физика

Метод телескопирования-1

В этой статье рассмотрен метод телескопирования (суммирования). По сути это – интегрирование линейных функций, но в средней школе об интегрировании еще не знают, поэтому слово “интеграл” опустим. Метод применим при решении олимпиадных задач по физике, в которых некоторая величина линейно изменяется: например, имеется раствор с переменной плотностью, или сила сопротивления зависит от скорости, или меняется ускорение.

Давайте разберемся, что же это за метод такой – телескопирование. На самом деле это – просто суммирование. Давайте возьмем отрезок и разделим его на частей:

Рисунок 1

Тогда расстояния между двумя соседними точками можно обозначить :

Рисунок 2

Если сложить теперь данные промежутки, то получим:

   

Иначе записать можно так:

   

Также в физических задачах часто встречаются суммы вида

   

Возьмем другую ось:

Рисунок 3

Тогда

   

Если раскрыть скобки и пренебречь очень малой величиной , то получим:

   

Отсюда

   

А если суммировать такие произведения, то получим:

   

 

Задача 1. Доказать теорему об изменении кинетической энергии. Вывести потенциальную энергию для силы упругости.

Теорема о кинетической энергии гласит, что

   

Докажем это с помощью нового метода. Примем   – угол между перемещением и силой равен нулю.

   

Для силы упругости имеем:

   

Задача 2. Лодку массой кг тянули за веревку по озеру с постоянной скоростью м/с. В некоторый момент времени веревка оторвалась. Какой путь пройдет лодка после этого? Считать, что сила сопротивления зависит только от скорости и ускорения лодки и определяется выражением , Н c/ м, Нc/ м.

Для начала сделаем рисунок. Лучше всего, если в задачах этого типа нарисовано начальное, конечное и обязательно промежуточное положение объекта. Отметим важные моменты: расстояние, пройденное лодкой, начальную скорость, ускорение, силу сопротивления.

Рисунок 4

Теперь задумаемся о том, является ли ускорение постоянным. В этой задаче – нет. Следовательно, такую задачу можно и нужно решать с помощью метода телескопирования.

Сила сопротивления равна

   

   

   

Спроецируем на ось :

   

Как раз из формулы выше и видно, что ускорение переменно: скорость меняется, а все остальное – константы.

Ускорение по определению равно

   

Тогда

   

Домножаем на :

   

   

Разобьем наше перемещение на маленькие кусочки, для каждого запишем формулу выше и все их сложим. Получим:

   

   

Тогда

   

Ответ: м.

Задача 3. Проехав «лежачего полицейского» со скоростью км/ч, автомобиль, двигаясь далее прямолинейно по горизонтальной дороге, увеличивает скорость таким образом, что сила тяги, развиваемая двигателем, оказыватся пропорциональна скорости автомобиля. На расстоянии м от «полицейского» автомобиль достиг скорости км/ч. На каком расстоянии от полицейского у автомобиля будет скорость км/ч? Сопротивлением движению пренебречь. (Олимпиада Физтех, 2016 г.)

«Сила тяги пропорциональна скорости» – эту фразу надо понимать  так, что ускорение пропорционально скорости.

   

Тогда

   

   

Тогда

   

Или

   

Применяем метод телескопирования:

   

Если просуммировать на промежутке , то

   

А если на промежутке , то

   

Теперь разделим первое на второе:

   

Откуда

   

Ответ: 50 м.

Другой способ. Вспомним, что – постоянная. Тогда малые отрезки можно заменить на большие, и

   

Далее понятно.

Задача 4. С поверхности земли вертикально вверх бросают шарик массой . Если учитывать сопротивление воздуха, то шарик достигает наивысшей точки траектории на с раньше, чем если бы мы им пренебрегли. На какую максимальную высоту поднимется шарик, если учесть сопротивление воздуха? Считать, что сила сопротивления движению шарика пропорциональна его скорости , то есть , – постоянная (автор задачи – Пенкин М.А.)

Рисунок 5

   

   

Введем ось , направленную вверх перпендикулярно поверхности. Тогда в проекциях на нее

   

Поделим на массу:

   

   

Пусть – время подъема, если присутствует сопротивление воздуха.

Ускорение по определению равно

   

Тогда, подставляя и умножая на :

   

Но

   

Тогда

   

Разбиваем время подъема на малые промежутки, записываем для каждого эту формулу. Имеем:

   

Так как

   

   

   

То

   

Откуда

   

Если силы сопротивления нет,  то тело в полете будет находиться дольше, и поднимется выше.

В этом случае

   

   

Пусть – время подъема в этом случае.

   

И

   

Следовательно,

   

Ответ: .

 

Лирическое отступление.

Какое давление оказывает столбик жидкости высотой ?

Гидростатическое давление определяется соотношением:

   

Где – масса столбика жидкости. Но если плотность жидкости меняется (возрастает с глубиной), то масса – переменная величина. Если плотность меняется линейно, то при вычислениях можно взять ее среднее значение:

   

– плотность у поверхности, – на глубине .

Тогда давление столбика жидкости можно записать так:

   

Чтобы определить то же самое, но методом телескопирования, нужно разбить столбик на столбики  малой высоты. Пусть – масса некоторого столбика. Считаем, что плотность внутри такого столбика не меняется. Тогда масса большого столба – сумма масс малых столбиков.

   

Здесь

   

   

Тогда

   

 

Задача 5. Цилиндрическое тело плотностью г/см и объемом см подвешено на нити  и опущено в жидкость, плотность которой изменяется с глубиной по закону , где г/ см, г/ см. Найдите силу натяжения нити, если верхняя грань тела находится на глубине м, а нижняя на глубине м. (С.М. Козел)

Рисунок 6

Записываем уравнение  по второму закону Ньютона:

   

   

Масса тела:

   

Первый способ:

   

Где – масса вытолкнутой жидкости, которая равна:

   

   

Тогда сила натяжения равна

   

Ответ: Н

Второй способ – через гидростатическое давление. Тут надо быть внимательным и правильно посчитать:

   

   

Ну и далее подставить и посчитать силу натяжения нити.

Задача  6. Однородный канат длиной и массой находится на гладкой горизонтальной поверхности стола и вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Чему равна сила натяжения каната на расстоянии от оси вращения?

Рисунок 7

Сначала решим задачу через центр масс.

Нормальное ускорение

   

   

Масса – это масса той части каната, которая расположена «за» расстоянием ,

   

Центр масс расположен по центру этого куска, то есть на расстоянии от оси вращения.

   

Тогда

   

Но давайте решим задачу иначе, с применением  метода телескопирования.

Разделим наш канат на малые кусочки длиной , масса кусочка .

Тогда слева на этот кусочек действует сила , а справа – .

   

   

   

А масса кусочка может быть определена так:

   

   

   

   

   

Запишем это выражение для всех кусочков и суммируем:

   

   

   

   

Ответ: .

Продолжение следует.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *