Разделы сайта

Категория:

...

Метод телескопирования-1

26.02.2018 06:32:19 | Автор: Анна

В этой статье рассмотрен метод телескопирования (суммирования). По сути это - интегрирование линейных функций, но в средней школе об интегрировании еще не знают, поэтому слово "интеграл" опустим. Метод применим при решении олимпиадных задач по физике, в которых некоторая величина линейно изменяется: например, имеется раствор с переменной плотностью, или сила сопротивления зависит от скорости, или меняется ускорение. Статья является конспектом лекций М.А. Пенкина.

Давайте разберемся, что же это за метод такой – телескопирование. На самом деле это – просто суммирование. Давайте возьмем отрезок и разделим его на $n$ частей:

Рисунок 1

Тогда расстояния между двумя соседними точками можно обозначить $\Delta x$ :

Рисунок 2

Если сложить теперь данные промежутки, то получим:

$Метод телескопирования-1$

Иначе записать можно так:

$Метод телескопирования-1$

Также в физических задачах часто встречаются суммы вида

$Метод телескопирования-1$

Возьмем другую ось:

Рисунок 3

Тогда

$Метод телескопирования-1$

Если раскрыть скобки и пренебречь очень малой величиной $(\Delta x)^2$ , то получим:

$Метод телескопирования-1$

Отсюда

$Метод телескопирования-1$

А если суммировать такие произведения, то получим:

$Метод телескопирования-1$

Задача 1.

Доказать теорему об изменении кинетической энергии. Вывести потенциальную энергию для силы упругости.

Теорема о кинетической энергии гласит, что

$Метод телескопирования-1$

Докажем это с помощью нового метода. Примем $\cos{\alpha}=1$ - угол между перемещением и силой равен нулю.

$Метод телескопирования-1$

Для силы упругости имеем:

$Метод телескопирования-1$

Задача 2.

Лодку массой $m=100$ кг тянули за веревку по озеру с постоянной скоростью $\upsilon_0=1$ м/с. В некоторый момент времени веревка оторвалась. Какой путь $L$ пройдет лодка после этого? Считать, что сила сопротивления зависит только от скорости $\upsilon$ и ускорения $a$ лодки и определяется выражением $F_c=-\alpha \upsilon-\beta a$ , $\alpha=10$ Н $\cdot$ c/ м, $\beta=50$ Н $\cdot$ c $^2$ / м.

Для начала сделаем рисунок. Лучше всего, если в задачах этого типа нарисовано начальное, конечное и обязательно промежуточное положение объекта. Отметим важные моменты: расстояние, пройденное лодкой, начальную скорость, ускорение, силу сопротивления.

Рисунок 4

Теперь задумаемся о том, является ли ускорение постоянным. В этой задаче – нет. Следовательно, такую задачу можно и нужно решать с помощью метода телескопирования.

Сила сопротивления равна

$Метод телескопирования-1$

Спроецируем на ось $x$ :

$Метод телескопирования-1$

Как раз из формулы выше и видно, что ускорение переменно: скорость меняется, а все остальное – константы.

Ускорение по определению равно

$Метод телескопирования-1$

Тогда

$Метод телескопирования-1$

Домножаем на $\Delta t$ :

$Метод телескопирования-1$

Разобьем наше перемещение на маленькие кусочки, для каждого запишем формулу выше и все их сложим. Получим:

$Метод телескопирования-1$

Тогда

$Метод телескопирования-1$

Ответ: $L=15$ м.

Задача 3.

Проехав «лежачего полицейского» со скоростью $\upsilon_0=5$ км/ч, автомобиль, двигаясь далее прямолинейно по горизонтальной дороге, увеличивает скорость таким образом, что сила тяги, развиваемая двигателем, оказыватся пропорциональна скорости автомобиля. На расстоянии $S_1=30$ м от «полицейского» автомобиль достиг скорости $\upsilon_1=20$ км/ч. На каком расстоянии от полицейского у автомобиля будет скорость $\upsilon_2=30$ км/ч? Сопротивлением движению пренебречь. (Олимпиада Физтех, 2016 г.)

«Сила тяги пропорциональна скорости» - эту фразу надо понимать так, что ускорение пропорционально скорости.

$Метод телескопирования-1$

Тогда

$Метод телескопирования-1$

Тогда

$Метод телескопирования-1$

Или

$Метод телескопирования-1$

Применяем метод телескопирования:

$Метод телескопирования-1$

Если просуммировать на промежутке $S_1$ , то

$Метод телескопирования-1$

А если на промежутке $S_2$ , то

$Метод телескопирования-1$

Теперь разделим первое на второе:

$Метод телескопирования-1$

Откуда

$Метод телескопирования-1$

Ответ: 50 м.

Другой способ. Вспомним, что $k$ - постоянная. Тогда малые отрезки можно заменить на большие, и

$Метод телескопирования-1$

Далее понятно.

Задача 4.

С поверхности земли вертикально вверх бросают шарик массой $m$ . Если учитывать сопротивление воздуха, то шарик достигает наивысшей точки траектории на $\tau$ с раньше, чем если бы мы им пренебрегли. На какую максимальную высоту поднимется шарик, если учесть сопротивление воздуха? Считать, что сила сопротивления $F_c$ движению шарика пропорциональна его скорости $\upsilon$ , то есть $F_c=-k\upsilon$ , $k$ - постоянная (автор задачи – Пенкин М.А.)

Рисунок 5

$Метод телескопирования-1$

Введем ось $y$ , направленную вверх перпендикулярно поверхности. Тогда в проекциях на нее

$Метод телескопирования-1$

Поделим на массу:

$Метод телескопирования-1$

Пусть $t_1$ - время подъема, если присутствует сопротивление воздуха.

Ускорение по определению равно

$Метод телескопирования-1$

Тогда, подставляя и умножая на $\Delta t$ :

$Метод телескопирования-1$

Но

$Метод телескопирования-1$

Тогда

$Метод телескопирования-1$

Разбиваем время подъема на малые промежутки, записываем для каждого эту формулу. Имеем:

$Метод телескопирования-1$

Так как

$Метод телескопирования-1$

То

$Метод телескопирования-1$

Откуда

$Метод телескопирования-1$

Если силы сопротивления нет, то тело в полете будет находиться дольше, и поднимется выше.

В этом случае

$Метод телескопирования-1$

Пусть $t_2$ - время подъема в этом случае.

$Метод телескопирования-1$

Следовательно,

$Метод телескопирования-1$

Ответ: $h=\frac{mg\tau}{k}$ .

Лирическое отступление.

Какое давление оказывает столбик жидкости высотой $h$ ?

Гидростатическое давление определяется соотношением:

$Метод телескопирования-1$

Где $m_0$ - масса столбика жидкости. Но если плотность жидкости меняется (возрастает с глубиной), то масса – переменная величина. Если плотность меняется линейно, то при вычислениях можно взять ее среднее значение:

$Метод телескопирования-1$

$\rho_0$ - плотность у поверхности, $rho_h$ - на глубине $h$ .

Тогда давление столбика жидкости можно записать так:

$Метод телескопирования-1$

Чтобы определить то же самое, но методом телескопирования, нужно разбить столбик на столбики малой высоты. Пусть $\Delta m$ - масса некоторого столбика. Считаем, что плотность внутри такого столбика не меняется. Тогда масса большого столба – сумма масс малых столбиков.

$Метод телескопирования-1$

Здесь

$Метод телескопирования-1$

Тогда

$Метод телескопирования-1$

Задача 5.

Цилиндрическое тело плотностью $\rho=1,6$ г/см $^3$ и объемом $V=10^3$ см $^3$ подвешено на нити и опущено в жидкость, плотность которой изменяется с глубиной $h$ по закону $\rho(h)=\rho_0+\alpha h$ , где $\rho_0=1$ г/ см $^3$ , $\alpha=10^{-3}$ г/ см $^4$ . Найдите силу натяжения нити, если верхняя грань тела находится на глубине $h_1=1$ м, а нижняя на глубине $h_2=2$ м. (С.М. Козел)

Рисунок 6

Записываем уравнение по второму закону Ньютона:

$Метод телескопирования-1$

Масса тела:

$Метод телескопирования-1$

Первый способ:

$Метод телескопирования-1$

Где $m_V$ - масса вытолкнутой жидкости, которая равна:

$Метод телескопирования-1$

Тогда сила натяжения равна

$Метод телескопирования-1$

Ответ: $T=4,5$ Н

Второй способ – через гидростатическое давление. Тут надо быть внимательным и правильно посчитать:

$Метод телескопирования-1$

Ну и далее подставить и посчитать силу натяжения нити.

Задача 6. Однородный канат длиной $L$ и массой $m_0$ находится на гладкой горизонтальной поверхности стола и вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Чему равна сила натяжения каната на расстоянии $\frac{L}{3}$ от оси вращения?