Метод рационализации – 5

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{ x^2\neq 1}\\{ x+100>0}\\{x^2>0}\\{x+10 \neq10-x}\\{x+10 \geqslant 0}\\{10-x \geqslant 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ x\neq 1}\\{x \neq -1}\\{ x\geqslant -10}\\{x\neq 0}\\{x \leqslant 10}\end{matrix}$$

ОДЗ системы неравенств: $x \in [-10; -1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1; 10]$

Рационализация (второе неравенство системы):

$$\frac{(x+5-(x+8))(x+5+x+8)}{(x+10-(10-x))}<0$$

$$\frac{2x+13}{2x}>0$$

Решение этого (второго) неравенства: $x \in (-\infty; -6,5)\cup(0; \infty)$

Рационализация (первое неравенство системы):

$$(x^2-1)(x+100-10)>0$$

$$(x+1)(x-1)(x+90)>0$$

Все точки выколоты, расставляем знаки:

Рис

Решение первого неравенства: $x \in (-90; -1)\cup(1; \infty)$

Накладываем решения друг на друга, учитываем ОДЗ:

$x \in [-10; -6,5)\cup(1; 10]$

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{ x^2>0}\\{x+1 \neq1}\\{x+1> 0}\end{matrix}$$

ОДЗ:  $ x>0$

Рационализация:

$$\begin{Bmatrix}{(\sqrt{x})^x-\sqrt{x})^0 >0}\\{(5-1)(x+1)(x^2-1)(x-4)>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x(x-1) >0}\\{x(x-1)(x+1)(x-4)>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x \in (-\infty;0)\cup (1; \infty)}\\{x \in(0;1] \cup (4; \infty)}\end{matrix}$$

Решение системы с учетом ОДЗ: $x \in (4; \infty)$

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{ 2x+1\geqslant 0}\\{x \neq 3}\\{x+1\neq 1}\\{x+1>0}\\{(x+3)^2>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ x\geqslant -0,5}\\{x \neq 3}\\{x\neq 0}\\{x>-1}\\{x \neq -3}\end{matrix}$$

ОДЗ:  $ x \in [-0,5; 0) \cup (0; +\infty)$

Рационализация:

$$\begin{Bmatrix}{\frac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{4}}{3-x}<0}\\{x(x^2+6x+9-1)\leqslant 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{\frac{2x+1-4}{3-x}<0}\\{x(x^2+6x+8)\leqslant 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{\frac{2x-3}{3-x}<0}\\{x(x+2)(x+4)\leqslant 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x \in (-\infty;1,5)\cup (3; \infty)}\\{x \in(-\infty;-4] \cup [-2; 0)}\end{matrix}$$

Решение системы с учетом ОДЗ: $x \in [-0,5; 0)$

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{ x^2+6x\geqslant 0}\\{4x+2 \geqslant 0}\\{x\neq -3}\\{\log_2 \mid x \mid-5\neq 0}\\{x \neq 100}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ x(x+6)\geqslant 0}\\{x \geqslant -0,5}\\{x\neq -3}\\{\mid x \mid \neq 32}\\{x \neq 100}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ x(x+6)\geqslant 0}\\{x \geqslant -0,5}\\{x\neq -3}\\{x \neq 32}\\{x \neq -32}\\{x \neq 100}\end{matrix}$$

ОДЗ:  $ x \in [ 0; 32) \cup (32; +\infty)$

Рационализация:

$$\begin{Bmatrix}{ \frac{( x-3+ x-5)(x-3-(x-5))}{100-x}<0}\\{\frac{x^2+6x-(4x+2)}{(x+3)(2-1)(\mid x \mid -32)} \geqslant 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ \frac{2x-8}{100-x}<0}\\{\frac{x^2+2x-2)}{(x+3)(2-1)(x -32)(32-x)} \geqslant 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ \frac{x-4}{100-x}<0}\\{\frac{(x+1-\sqrt{3})(x+1-\sqrt{3})}{(x+3)(x -32)(32-x)} \geqslant 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x \in (-\infty;4)\cup (100; \infty)}\\{x \in(0;\sqrt{3}-1] \cup (32; \infty)}\end{matrix}$$

Решение системы с учетом ОДЗ:  $x \in(0;\sqrt{3}-1] \cup (100; \infty)}$

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{ x^3\neq 1}\\{x^3 >0}\\{\frac{x+2}{x-7}>0}\\{x+3 \neg 1}\\{3+x>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ x\neq 1}\\{x >0}\\{\frac{x+2}{x-7}>0}\\{x \neg -2}\\{x>-3}\end{matrix}$$

ОДЗ:  $ x \in (7; +\infty)$

Рационализация:

$$\begin{Bmatrix}{(x^3-1) \left(\frac{x+2}{x-7}-1\right) \geqslant 0}\\{ \frac{(3+x)^{-9-x^2}-(3+x)^{-10}}{\log^3_{3+x} 5} \leqslant 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{(x^3-1) \left(\frac{x+2-(x-7)}{x-7}\right) \geqslant 0}\\{ \frac{(3+x-1)(-9-x^2-(-10)}{(3+x-1)^3( 5-1)} \leqslant 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{(x-1)(x^2+x+1) \left(\frac{9}{x-7}\right) \geqslant 0}\\{ \frac{(x+2)(1-x^2)}{(x+2)^3} \leqslant 0}\end{matrix}$$

Трехчлен $x^2+x+1$ больше 0 всегда – дискриминант отрицателен. $-2$ – корень четной кратности.

$$\begin{Bmatrix}{(x-1) \left(\frac{9}{x-7}\right) \geqslant 0}\\{ \frac{(x+2)(1-x)(1+x)}{(x+2)^3} \leqslant 0}\end{matrix}$$

Решение:

$$\begin{Bmatrix}{x \in (-\infty;1)\cup (7; \infty)}\\{x \in (-\infty;-2) \cup (-2; -1) \cup(1;\infty)}\end{matrix}$$

Ответ: $x>7$.

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{ x^2-8\geqslant 0}\\{x+6>0}\\{x\neq 53}\end{matrix}$$

ОДЗ:  $ x \in [-6; -2\sqrt{2}] \cup [2\sqrt{2};53)\cup(53; +\infty)$

Рационализация:

$$\begin{Bmatrix}{{(\sqrt{x^2-8} –(x+6))( \sqrt{x^2-8} +(x+6))} \leqslant 0

}\\{ \frac{(3-1)(\mid x^2-4 \mid}-4}{x-53} \leqslant 0}\end{matrix}$$

В первом неравенстве второй множитель положителен на ОДЗ, поэтому

$$\begin{Bmatrix}{(x^2-8 –(x+6)^2) \leqslant 0

}\\{ \frac{( x^2-4 -4}{x-53} \leqslant 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{(x^2-8 –(x^2+12x+36)) \leqslant 0

}\\{ \frac{( x^2-8}{x-53} \leqslant 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x^2-8 –x^2-12x-36 \leqslant 0

}\\{ \frac{( x^2-8}{x-53} \leqslant 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{12x+44 \geqslant 0

}\\{ \frac{( x^2-8}{x-53} \leqslant 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x \in (-\frac{11}{3};\infty)}\\{x \in(-\infty;-2\sqrt{2}] \cup [2\

sqrt{2}; 53)}\end{matrix}$$

Решение системы с учетом ОДЗ: $x \in (-\frac{11}{3};-2\sqrt{2}] \cup [2\

sqrt{2}; 53)$